不等式與函數(shù)不等式與函數(shù)【例1】 本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)、含有絕對值不等式的性質(zhì)，解答的關(guān)鍵是對函數(shù)f(x)的單調(diào)性的深刻理解，以及對條件“1x1時(shí)|f(x)|1”的運(yùn)用；絕對值不等式的性質(zhì)使用不當(dāng)，會使解題過程空洞，缺乏嚴(yán)密，從而使題目陷于僵局不等式與方程不等式與方程【例2】已知關(guān)于x的方程x2ax20的兩根為x1，x2，試問是否存在實(shí)數(shù)m，使得不等式m2lm1|x1x2|對任意實(shí)數(shù)a1,1及l(fā)1,1恒成立？若存在，求m的取值范圍；若不存在，說明理由121222121212212212222|48. 1,1|82 2 31 | 1,1 1,113 1,120 1,1xxax xxxxxx xaaxxamlmxxalmlmlmlml 由題意有 ， ，所以因?yàn)?，所以，要使不等式對任意及恒成立，?dāng)且僅當(dāng)對任意恒成立，即對任意【解析】恒成立 222212(2)12012022.1 | 1,1 1,1(22)g lmlmgmmgmmmmmmlmxxalm 設(shè) 由，解得 或故存在實(shí)數(shù) ，使得不等式對任意實(shí)數(shù)及恒成立，且 的取值范圍是 ， 含參數(shù)的不等式在指定區(qū)間內(nèi)恒成立，求參數(shù)的取值范圍是不等式中常見的問題，解題過程充分體現(xiàn)了函數(shù)與方程的思想通法是構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的性質(zhì)與圖象來分析求解；巧法是分離參數(shù)，得出af(x)或a0”，命題q：“xR，使x22ax2a0”若命題“pq”是真命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_.a|a2【解析】當(dāng)x1,2時(shí)，x21,4x1,2，x2a0，即a1.xR，使x22ax2a0，即4a24(2a)0，解得a1或a2.因?yàn)椤皃q”是真命題，所以a2.2163.0_.abab ab 已知，則 的最小值是1622222()24166416.2b abab abaab abaab 因?yàn)?，所?當(dāng)且【僅當(dāng) ， 時(shí)取解析】“”5.某建筑的金屬支架如圖所示，根據(jù)要求AB至少長2.8 m，C為AB的中點(diǎn)，B到D的距離比CD的長度小0.5 m，BCD60.已知建筑支架的材料每米的價(jià)格一定，問怎樣設(shè)計(jì)AB，CD的長度，可使建造這個(gè)支架的成本最低？22222m(1.4)m.1()2cos60214.11422 .1BCaaCDbBDCDBbbaababaabaaa設(shè)，連結(jié)，則在中， ，所以 所以 析【解】211.410.411422(1)334740.50.41.54.3 m4 mtattbatttttabABCD 設(shè) ，則 ，所以 ，上式等號成立時(shí)， ，則 ， 答：當(dāng)，時(shí)，建造這個(gè)支架的成本最低 不等式的應(yīng)用是利用不等式的基本性質(zhì)和基本方法解決一些綜合性問題和生活實(shí)際問題，大致有兩種考查方式：一是利用基本不等式求函數(shù)的最大值和最小值，這首先要考慮適不適合“正、定、等”三個(gè)要素；二是將實(shí)際問題建立數(shù)學(xué)模型，轉(zhuǎn)化為不等式，再用解不等式或利用基本不等式求變量的取值范圍，進(jìn)而求得問題所需要的結(jié)果22 1(122)xyxxyxyxyyxyxyyx利用基本不等式解決應(yīng)用問題時(shí)，首先要判明是否可以用我們熟悉的模型 如：， ， 等 ，還要注意不等式成立的條件和等號成立的條件，同時(shí)要在練習(xí)過程中學(xué)會創(chuàng)設(shè)條件，靈活運(yùn)用合理拆分項(xiàng)或湊配因式等常用的解題技巧 這里要提醒的是，利用基本不等式處理問題時(shí)，列出等號成立的條件是一個(gè)非常好的習(xí)慣(盡管有時(shí)題目并沒有要求這樣做)，因?yàn)樗菣z驗(yàn)轉(zhuǎn)換是否有誤的有力保障，特別是變量給出范圍時(shí)，更要注意 2應(yīng)用不等式解決實(shí)際問題的一般步驟： (1)閱讀、理解材料：審清題意(尤其是帶小括號說明的地方)，領(lǐng)悟問題的實(shí)際背景，從中找出數(shù)學(xué)量，確定量與量之間的相等和不等關(guān)系，初步判明用怎樣的數(shù)學(xué)模型才能夠解決這一問題； (2)建立數(shù)學(xué)模型：通過(1)的分析，將題目中的“文字語言”用“符號語言”表達(dá)，并將問題抽象成數(shù)學(xué)模型，判明是解不等式問題，還是基本不等式問題，或者是其他問題列出數(shù)學(xué)式子(函數(shù)、等式、不等式等)； (3)用數(shù)學(xué)知識解得問題所需要的數(shù)值或范圍，最后別忘了下結(jié)論 3(00)0(0)1bf xaxxabbxf xaba在利用基本不等式解決應(yīng)用問題時(shí)，經(jīng)常會碰到這樣一個(gè)函數(shù)，用導(dǎo)數(shù)的方法可以求得它的單調(diào)性： 當(dāng)時(shí)，在 ，上是單調(diào)減函數(shù)，在，上是單調(diào)增函數(shù)； 0(120)bxf xababbaxax當(dāng)時(shí)，在，上是單調(diào)減函數(shù)，在 ，上是單調(diào)增函數(shù)記住它們可以給解題帶來方便，尤其是而是由 解得的，因而不 難記住