【例1】?jī)芍本€的位置關(guān)系兩直線的位置關(guān)系 23()|12()|(1)(1)115yAxyaxBxyaxayaAB集合 ， ， ，當(dāng) 為何值時(shí)，【變式練習(xí) 】？ 22(1)210(2,3 )(1)( 1)(1)(1)12,32,3(1)(1)155425142AaxyaaaaaBaxayaaaAB注意到集合 表示直線 除去點(diǎn)，故兩直線平行，則應(yīng)有 ，所以 ，若直線 過(guò)點(diǎn)，則將點(diǎn)代入 ，得 或綜上，當(dāng) ，或 或 時(shí)，【析】解對(duì)稱問(wèn)題對(duì)稱問(wèn)題 【例2】一條光線經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(2,3)，射在直線l：xy10上，反射后穿過(guò)點(diǎn)Q(1,1)(1)求光線的入射光線方程；(2)求這條光線從P到Q的長(zhǎng)度 【解析】先求出Q關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)Q的坐標(biāo)，從而可確定過(guò)PQ的直線方程(1)設(shè)點(diǎn)Q(x，y)為Q關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)，且QQ交l于M點(diǎn)，因?yàn)閗l1，所以kQQ1，所以QQ所在直線方程為xy0. 21011(,)02211(1)22,(22)11(1)22225420.3222|,|3222xyMMQQxyxQylNPNQyxxylQQNQNQPNNQPNNQPQ 由得點(diǎn)坐標(biāo)為，又因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，故由 ， 設(shè)入射光線與 交點(diǎn)為 ，且 ， ，共線，得入射光線方程為，即 因?yàn)?是的垂直平分線，因而：所以224141PQ 即這條光線從 到 的長(zhǎng)度是 無(wú)論是求曲線關(guān)于直線的對(duì)稱方程，還是解答涉及對(duì)稱性的問(wèn)題，關(guān)鍵在于掌握點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的求法 【變式練習(xí)2】有一條光線從點(diǎn)A(2,1)射到直線l：xy0上后再反射到點(diǎn)B(3,4)，求反射光線的方程 ()11112221022(12)350.AlAabbaababABxy 設(shè)點(diǎn) 關(guān)于直線 的對(duì)稱點(diǎn) 的坐標(biāo)為 ， ，則有，解得即 的坐標(biāo)為 ， ，又反射光線經(jīng)過(guò)點(diǎn) ，則得反射光線的方程為 【】解析直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題 【例3】當(dāng)實(shí)數(shù)a變化時(shí)，直線l1：(2a1)x(a1)y(a1)0與直線l2：m2x2y2n60都過(guò)同一個(gè)定點(diǎn).(1)當(dāng)實(shí)數(shù)m、n變化時(shí)，求P(m，n)所在曲線C的方程;(2)過(guò)點(diǎn)(2,0)的直線l與(1)中所求曲線C交于E、F兩點(diǎn)，又過(guò)E、F作曲線C的切線l1、l2，當(dāng)l1l2時(shí)，求直線l的方程 1122222(21)(1)0.2102103(2,3)(2,3)26260.1 lxyaxyxyxxyyllmnnmPCyxCyx ： 令，得，所以直線 過(guò)點(diǎn) 因?yàn)辄c(diǎn) 在直線 上，所以 ，所以 ，即點(diǎn) 在曲線 ： 上所以曲線 的方程為析【解】 112221222212121212(2)()()222 .20.(2)802 .122128180.1(2)820.8lyk xE xyF xyyxyxxxxyxkxkyk xkkxxkx xkllxxkklyxxy 設(shè)直線 的方程為 ，因?yàn)?，所以 ，所以兩切線的斜率為、由，得 則 ， ，當(dāng)時(shí)， ，所以 ，得 符合所以直線 的方程為 ，即 (1)對(duì)求動(dòng)直線過(guò)定點(diǎn)的問(wèn)題，也可以對(duì)參數(shù)a取兩個(gè)不同值后得到的兩直線，求出它們的交點(diǎn)，得到定點(diǎn)坐標(biāo)； (2)曲線yf(x)在點(diǎn)(x0，y0)處的切線l的斜率kf(x0) 【變式練習(xí)3】已知直線l：(2ab)x(ab)yab0及點(diǎn)P(3,4)(1)證明直線l過(guò)某定點(diǎn)，并求該定點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)當(dāng)點(diǎn)P到直線l的距離最大時(shí)，求直線l的方程 (21)(1)0210102102103(2,3)535(2)570.12laxyb xyabxyxyxyxxyylQlPQPlllyxxy 【解將直線 的方程化為： ，所以無(wú)論 ， 如何變化，該直線系都恒過(guò)直線 與直線 的交點(diǎn)由，得所以直線 過(guò)定點(diǎn)當(dāng)時(shí)，點(diǎn) 到直線 的距離最大，此時(shí)直線 的斜率為 ，所以直線 的方程為 ，即 析】1.設(shè)A(x，y)|y4x6，B(x，y)|y3x8，則AB_(2，2) 46()|38(22)yxABxyyx ，【，解析】2.已知直線l1：xay60和l2：(a2)x3y2a0，則l1l2的充要條件是a_. 1(2)326(2)1.a aaaa【解析】根據(jù)題意得，解得 1231212135.20047 52101010121225lxyaalxylxyllaPPPPlPlPlPlP已知三條直線 ： ，直線 ： 和直線 ： ，且 與 的距離是求 的值；能否找到一點(diǎn) ，使得 點(diǎn)同時(shí)滿足下列三個(gè)條件： 是第一象限的點(diǎn)； 點(diǎn)到 的距離是 點(diǎn)到 的距離的 ； 點(diǎn)到 的距離與 到 的距離之比是 ；若能，求 點(diǎn)坐標(biāo)；若不能，說(shuō)明理由 212220012000012021|7 52102117|03.22()120(3)21|3|13112265513112020.2612lxylladaaaP xyPPlll xycccccccxyxy 由 ： ，所以 與 的距離化簡(jiǎn)得： ，因?yàn)椋?設(shè)點(diǎn)，若 點(diǎn)滿足條件，則 點(diǎn)在與 ，平行的直線系 ： ，且上，且，即 或 所以 或 【】解析00000000000000000000000| 23|2 |1|552| 23|1|24032032013320()2124021112092240PxyxyxyxyxyxPxxxyyxyxxyxyy 若 點(diǎn)滿足條件，由點(diǎn)到直線的距離公式，有：即 ，所以 ，或 ，由 在第一象限，所以 不可能， 由方程組：舍去 ， 由得 01 37()379 1818P，所以，即為同時(shí)滿足三個(gè)條件的點(diǎn) 1212121212121212 “ 1.1”llkkllllllll 兩條直線平行的條件是：和 是兩條不重合的直線;在 和 的斜率都存在的前提下得到的因此，應(yīng)特別注意，抽掉或忽視其中任一個(gè)前提 都會(huì)導(dǎo)致結(jié)論的錯(cuò)誤 如果兩條直線 ， 的傾斜角為，, 兩條直線平行 ：推則論： 1212121 212121221 1.020llkkllk kllllklkl兩條直線垂直的條件：設(shè)兩條直線 和 的斜率分別為 和 ，則有 這里的前提是 ， 的斜 兩率都存在 ，且 的斜率 不存在或 ，且 條的直線垂直斜率 ：不存在 2點(diǎn)到直線的距離公式：設(shè)點(diǎn)P(x0，y0)，則 距離公式點(diǎn)P到直線AxByC0點(diǎn)P到直線xad|x0a|點(diǎn)P到直線ybd|y0b|0022|AxByCdAB11122122200()00()| 3 4AxByCAxByCCCCAxByCBxAyCCCCdABxy與直線 平行的直線系方程為 為參數(shù)且，與直線 垂直的直線系方程為為參數(shù) 用公式 求兩平行線的距離時(shí)，要先將兩個(gè)方程中 、 項(xiàng)系數(shù)化為相同解決對(duì)稱問(wèn)題的常用方法是：待定系數(shù)法、軌跡法