直線與圓相切直線與圓相切 【例1】已知圓C：(x1)2(y2)22，P點的坐標為(2，1)，過點P作圓C的切線，切點為A、B.求：(1)直線PA、PB的方程；(2)過P點的圓的切線長；(3)直線AB的方程 221(2)210.1,22|3|2,167071.7150.110Pyk xkxykkkkkkkxyxy 如圖，設(shè)過 點的圓的切線方程為 ，即 因為圓心到切線的距離為，即所以 ，解得 或 所以所求的切線方程為 或 【】解析 2222222.Rt82 2.715012 9,(, )5 5(1)(2)210,0,1(1)(2)233.230PCCAPCAPAPCCAPCxyAxyxyBxyABxy 連結(jié)，在中， ，所以過 點的圓 的切線長為由解得又由解得所以直線的方程為 (1)過圓上一點作圓的切線只有一條；(2)過圓外一點作圓的切線必有兩條在求圓的切線方程時，會遇到切線的斜率不存在的情況如過圓x2y24外一點(2,3)作圓的切線，切線方程為5x12y260或x20，此時要注意斜率不存在的切線不能漏掉；(3)本題中求直線AB的方程是通過求切點，根據(jù)兩切點A、B的坐標寫出來的事實上，過圓(xa)2(yb)2r2外一點P(x0，y0)作圓的切線，經(jīng)過兩切點的直線方程為(x0a)(xa)(y0b)(yb)r2.其證明思路為：設(shè)切點A(x1，y1)、B(x2，y2)，P點坐標滿足切線PA、PB的方程，從而得出過A、B兩點的直線方程 22(2)114 223MxyQxQAQBMABQAMBABMQ已知圓： ， 是 軸上的動點，、分別切圓于 ， 兩點求四邊【變式練形的面積的最小值；若，求習1】直線的方程 222222221132 211331Rt13.3,0295(5 0)252 5 0252 510.2MAQBMAAQSMAQAQAMQMAMQMQABMQPMPABMBBQMPMBQMBMP MQMQMQQ xxxQMQxyxy四邊形因為，所以設(shè)與交于點 ，則，在中，即 ，所以設(shè)，則 ， ，所以，所以直線的方程為 或】析【解【例2】直線與圓相交直線與圓相交 本題考查了直線與圓相離與相交問題，側(cè)重考查直線與圓相交的相關(guān)問題垂徑定理是解決直線與圓相交的重要工具，應(yīng)熟練掌握圓與圓的位置關(guān)系圓與圓的位置關(guān)系 225( 1,2)2 52xyP求與圓 外切于點，且半徑為的【例 】圓的方程2222222()(1)(2)(2 5)3,261(3)(6)20.()311,( 1,2)()633(3)(6)2012.C abababbaxyC abaOPOCabbxy 設(shè)所求圓的圓方法 ：方法【解析】心為， ，則解得故所求圓的方程為 設(shè)所求圓的圓心為， 因為所以 ， ，所以故所求圓的方程為 ： 本題的關(guān)鍵是采用待定系數(shù)法求圓心的坐標，步驟是：根據(jù)兩圓相外切的位置關(guān)系，尋找圓心滿足的條件，列出方程組求解方法2利用向量溝通兩個圓心的位置關(guān)系，既有共線關(guān)系又有長度關(guān)系，顯得更簡潔明快，值得借鑒 ( 31)33MxyxABNMxyxCDMN如圖，已知圓心坐標為，的圓與 軸及直線分別相切于 、 兩點，另一圓 與圓外切、且與 軸及直線 分別相切于 、 兩點【變式求圓和圓練習3】的方程【解析】連結(jié)OM.由于 M與BOA的兩邊均相切，故點M到直線OA及直線OB的距離均為 M的半徑，則點M在BOA的角平分線上同理，點N也在BOA的角平分線上，即O，M，N三點共線，且直線OMN為BOA的角平分線 2222( 31)11(3)(1)1.RtRt2133 33(3 3)(3)9.MMxMMxyNrxCMANCOAMOCNOM ONMA NCrOCrrNxy因為點的坐標為，所以點到 軸的距離為 ，即的半徑為 ，則的方程為 設(shè)的半徑為 ，它與 軸的切點為 ，連結(jié)、由可知，即，得 ，則故的方程為 1.已知直線5x12ya0與圓x22xy20相切，則a的值為_. 18或822(1)11,01|5|1|5|1313188.xyaaa圓的方程可化為 ，所以圓心坐標為，半徑為 ，由已知可得，所以 的值為【解或析】2.圓x2y22x2y10上的動點Q到直線 3 x 4 y 8 0 的 距 離 的 最 小 值 是_. 22222101,1|348|35312.xyxyCdQ知圓 的圓心因為圓心到直線的距離 ，所以點 到直線的距【離的最小值為 】解析 225.261040012OxyxyPQxmyOP OQmPQ 設(shè) 為坐標原點，曲線 上有兩點 、 ，滿足關(guān)于直線 對稱，又滿足求 的值；求直線的方程. 112222(1)2(3)29( 1,3)340( 1,3)1.4()().22(4)61210.xyPQxmymPQyxP xyQ xyPQyxbyxbxb xbb曲線方程為 表示圓心為，半徑為 的圓因為點 、 在圓上且關(guān)于直線 對稱，所以圓心 在直線上，代入得 因為直線與直線 【解析垂直，所以設(shè)，、，方程為 將直線 代】入圓方程，得 222121222121212121224(4)42(61)023 223 261(4)261()4 .2006140.1(23 2 23 2)1.bbbbbbxxbxxbbyybb xxxxbOP OQx xy ybbbbyx ，得 由韋達定理得 ， 因為 ，所以 ，即 解得 ，所以所求的直線方程為 本節(jié)內(nèi)容很好地體現(xiàn)了運算、推理、數(shù)形結(jié)合、分類討論等數(shù)學思想和方法，因而在近幾年的高考試題中出現(xiàn)的頻率相當高，主要反映在三個方面： 一是利用直線與圓相交時半徑、弦心距、弦長的一半的勾股關(guān)系，以及直線與圓相切時圓心到直線的距離等于半徑等關(guān)系，可以求得一些相關(guān)的量，進而求得圓的方程或直線的方程； 二是通過對給出的直線和圓的方程進行分析和計算，可以判斷直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系； 三是運用直線與圓的基礎(chǔ)知識和基本方法考查諸如求參數(shù)的取值范圍、求最值等一些實際問題復習備考時要注意理順關(guān)系，全面掌握，小心求證，細心求解 2221.00400120drdrdrdraxbxcaybycbac 幾何法：代數(shù)法：直線與圓的三種位置關(guān)系的判斷方法有兩種: 將圓心到直線的距離 與圓的半徑 進比較：相交；相切 ；相離 將直線方程代入圓的方程后得到一元二次方程 或 ，然后用判別式 判斷：相交； 相切；相離 2兩圓的位置關(guān)系由兩圓心之間的距離d與兩圓半徑r1、r2的關(guān)系來判斷：位置關(guān)系數(shù)學式子位置關(guān)系數(shù)學式子兩圓外離dr1r2兩圓內(nèi)切d|r1r2|兩圓外切dr1r2兩圓內(nèi)含d|r1r2|兩圓相交|r1r2|dr1r2 3.用坐標方法解決平面幾何問題的“三步曲”： 第一步：建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼?，用坐標和方程表示問題中的元素，將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題； 第二步：通過代數(shù)運算，解決代數(shù)問題； 第三步：把代數(shù)結(jié)果“翻譯”成幾何結(jié)論 4數(shù)形結(jié)合是解決本節(jié)內(nèi)容非常有效的方法涉及到圓上的點(x，y)的最值用數(shù)形結(jié)合；直線與圓的一部分的交點情況的判斷也是用數(shù)形結(jié)合；相交弦問題還是用數(shù)形結(jié)合 222 50 6)21(223drrdllrd直線與圓相切的問題是考得比較多的內(nèi)容，因而要重視 過圓上的點作圓的切線只有一條； 過圓外一點作圓的切線肯定有兩條，如果只求到一條，要考慮是否把斜率不存在的情況漏掉了 判斷或利用直線與圓相切時，用 比用 更簡便一些直線與圓相交時，半徑 、弦心距 、弦長的一半 的勾股關(guān)系 非常重要