123理解相似三角形的定義，掌握相似三角形的三個判定定理的證明方法了解平行線分線段成比例定理理解并掌握直角三角形射影定理/7 3 .1. ABCMN DE BCAE ECDB AB如圖，在中，若，則的值為 3737131033.0ADAEDBECABDB ABBD解析：所因?yàn)?，以所?9 .2 . 兩個相似三角形的周長分別是 和 ，則兩個三角形的面積比是1111111214 16().891SaSabcabcabcacab解，所以因?yàn)槲觯?3 . CDABC如圖，是直角三角形斜邊上的高，則圖中相似的三角形有對3 . .4 ADBCBCEADBECE如圖，已知點(diǎn) 、 在直線上的射影分別為 、 ，點(diǎn) 為線段的中點(diǎn)，則與的大小關(guān)系為BECE /./ /.EEFBCFAB EF CDEADBEFBCEFBCCE過點(diǎn) 作于 ，則因?yàn)?為的中點(diǎn)，所以 為的中點(diǎn)，所以是的中垂線，解析：則- . 5ABCDABaBCbCCEBDEBE在矩形中，過 作于 ，則22222.BCBCBE BDbBEBDab由直角三角形解析： 所以射影定理可知，/4 3 6 . DE BCBF EFAC AE如圖，已知，且，則/4 34./3.DE BCDEFCBFBF EFBCAC AEBC DEDEDE BCADEABC因?yàn)?，所以，所以又解析?所以因?yàn)?，所以?1_.21_3_ _1_x定理：如果一組平行線在一條直線上截得的線段相等，那么在其他直線上截得的線段也推論 ： 經(jīng)過三角形一邊的中點(diǎn)與另一邊平行的直線必第三邊經(jīng)過梯形一腰平行線等分線段定理的中點(diǎn)，且與底邊平行的直線另一腰_()_2_3_ _三條平行線截任意兩條直線，所截出的成比例推論：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊或兩邊的延長線 ，所得的成比例對應(yīng)角，對平行線分線段成比例定理及推論相似三角形應(yīng)邊的兩個三角形叫做兩個相似的定義三角形 1_2_3_1_.2_.3_45_判定定理 ：兩角對應(yīng)的兩個三角形相似判定定理 ：兩邊對應(yīng)，并且夾角的兩個三角形相似判定定理 ：三邊對應(yīng) 的兩個三角形相似相似三角形對應(yīng)邊上的高、中線和對應(yīng)角平分線的比都等于 相似三角形周長的比等于 相似三角形的面積比等于 相似三角形的判定相 似三角形的性質(zhì)_._.6直角三角形中，每一條直角邊是這條直角邊在斜邊上的射影和斜邊的 ；斜邊上的高是兩條直角邊在斜邊上的射影的直角三角形射理 影定【要點(diǎn)指南】 /6 9 _1._.AB EF CDABcmCDcmEF如圖，已知，若，則例題型一題型一 相似三角形的判定與性質(zhì)相似三角形的判定與性質(zhì)/ 18 ./.11659EFCFABCEF ABABCBEFBFDBCEF CDCDBCEFEFCFBFABCDCBEFBCEmEFcF在中，因?yàn)?，所以在中，因解為，所以兩式相加，得，所，故以析?/ /.BCABCDBCAB EF CDEF分由于是與的公共邊，且，利用平行線分三角形成相似三角形可求析： 11. 1ABCDEF由證明過程我們發(fā)現(xiàn)，本題可以有以下一般結(jié)論：評析：_1.ABCDOOEBCEABFABaBCbBFcBE如右圖，平行四邊形的對角線交于點(diǎn) ，交于 ，交的延長線于 ，若，則素材 ： ”/ “ABBCBFOOG BCABGBEFGOF本題所給出的已知線段、位置分散，應(yīng)設(shè)法利用平行四邊形的等量關(guān)系，通過作輔助線將長度已知的線段 集中 到一個可解的圖形中來為此，過作，交于 ，分析：構(gòu)造求解/112211. .12/2222OOG BCABGOGABCOGBCbGBABaGOFFBcbbcBE OGBEFBBEFGOFGOFBEGOaaGFGcc過 作，交于 ，顯然是的中位線，所以，在中，所以，即所以，解析： 解決平面幾何問題時，當(dāng)條件較分散時，可適當(dāng)添作輔助線，使得分散的條件適評析：當(dāng)集中2/45.2.ABCDAD BCACBDEABCEADADFBCGEADABHFGAF DFBG CGAH BH已知，如圖，在梯形中，垂足為 ，過 作的垂線交于 ，交于 ，過 作的平行線交于求證：例題型二題型二 直角三角形射影定理及應(yīng)用直角三角形射影定理及應(yīng)用22. ACBDAEDBECEFADEGBCAF DFEFBG CGEG因?yàn)?，故、都是直角三角形又，由射影定理可知，解析?2 AF DFEFBG CGEGFGFEEGEF EGAH BH由射影定理可知，故考慮將，然后只需尋分析找：與的關(guān)系222222245222. . 2FGFEEGFEEGFE EGAF DFBG CGFE EGABCAHBCAHFEBHEGFGAF DFBG CGFE EGAF DFBAH BHEF EGG CGAH BH又，因?yàn)椋謩e過點(diǎn) 、作直線與垂直，易知，故解析：所以 做平面幾何證明題時要分析待證明的結(jié)論與已知條件的關(guān)系，逐步消評析：除差距392.0.Rt ABCBACADBCDDFACFDEABEADBC BE CF如圖，在中，于 ，于 ，于 ，求證：素材 問題題設(shè)中含有直角三角形和斜邊上的高，符合直角三角形射影定理的兩個條件中，故考慮應(yīng)用射影分析：定理求解2222243 .Rt ABCADBCADBD DCAD BCAB ACRt ABDRt ADCDEABDFACBDBE BADCCF ACADBC BEBDDCBE BA CF ACBE CF AD BCADCF在中，因?yàn)?，所以，且在和中，因?yàn)?，由射影定理，所以，證明：所以123.ABCDABADEADEFECEFABFABFCkkBCAEFECFDCEBCF如圖，在矩形中， 為的中點(diǎn)，且交于 ，連接設(shè)，是否存在實(shí)數(shù) 的值，使、與都相似？若存在，給出證明；若不存在，請例說明理由題型三題型三 相似三角形判定定理及性質(zhì)定理的應(yīng)用相似三角形判定定理及性質(zhì)定理的應(yīng)用.90.90.90kAEFDCEECFEFECAEFAEFDECDCEADAEFDCECEDECEAEDEEAEFAFEFAFCEFEAECFF 假設(shè)存在實(shí)數(shù) 的值，滿足題設(shè)先證明因?yàn)?，所以而，故故得，而，解析?所以所以又， 要證明這四個三角形都相似，可以逐次證明其中的三角形相似，由于這些三角形都是直角三角形，因此只要證明兩個三角形有一組銳角相等或兩組對應(yīng)邊成比分析：例即可2222.901211.231133().234232kAEFBCFAFEBFCAFEBCFAEFBCFAEBCAFEBFCAEBCAFBFAECDAFBFABAEFDCEAFDEABABBCABkBCBCk 再證明可以取到實(shí)數(shù) 的值，使由于，故不可能有，因此要使，應(yīng)有，此時，有，但，故得由，可知因此，所以，求得可以驗(yàn)證解析： ，當(dāng)時，60這四個三角形都是有一個銳角等于的直角三角形，故它們都相似 對于存在性問題，先假設(shè)其存在，再求解推理，若其解符合題意，則存在，否則評析：不存在./3./.ABCDABCBADAB CD如圖，在四邊形中，證：素求材 . /./ABCBADACBBDAABCDCABCDBABCBADCABDBADBACDAB CDB 由，得，故 、 、 、 四點(diǎn)共圓，從而再由，得因此，證明：所以 22 112 _.2/22_.ABCDAE EBAEFa cmCDFcmABCDE BCEF CDABADAF如圖甲，平行四邊形中，若的面積為，則的面積等于如圖乙，在中，且，則備選例題 1.2AEFCDFAEFaDCF顯然因?yàn)榈拿娣e為 ，要求的面積，運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)即可；由于題目給出了兩對平行線，求截得的線段長，用平行線分線段成比例定分析： 理可得 22221/11()()( )392/.99 .1/./AEFCCDFAEDFFAE DCAEFCDFSAEAESCDABAEAFEF CDAEFACDACADADAEDE BCADEABCABACAFASSaADADADFABAB解析： 所因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，故又因?yàn)?，所以，所以，所即以，?平行線及其性質(zhì)的運(yùn)用，在解題、證題中是比較靈活的，應(yīng)評析：好好體會11定義法：對應(yīng)邊成比例，對應(yīng)角相等；平行法；判定定理法：用得最多的是判定定理 ，即兩角對應(yīng)相等的兩個三角形相似；對直角三角形除以上方法外，還有特殊方法，兩直角邊對應(yīng)成比例，兩直角三角形相似；一條直角邊和斜邊對應(yīng)成比例，兩直角三角形相似；斜邊上的高分成的兩直角三角相似三角形的證形與原三法：角形相似23相似三角形的性質(zhì)：對應(yīng)邊成比例，對應(yīng)角相等；對應(yīng)高的比、對應(yīng)中線的比、對應(yīng)角平分線的比、周長的比都等于相似比，而面積的比等于相似比的平方；相似三角形外接圓的直徑比、周長比等于相似比，外接圓的面積比等于相似比的平方利用這些關(guān)系可以進(jìn)行各種證明、求值在探究證明中，掌握從特殊到一般和化歸的思想方法，學(xué)會解決問題的程序、模式6 4 3: :()A1:2:3 B 6:4:3C 2:3:4 D 3:4:6abca b c 若三角形三邊上的高分別為 、 、 ，這三邊長分別為 、 ，則 6 4 3: :6:4:3B.abca b c 因?yàn)槿呴L分別為 、 ，三邊上的高分別為 、 、 ，則其對應(yīng)成比例，所以錯 ，故選解：以直觀的感受來判斷線錯解段分析： 成比例6 4 3643: :2:3:.4Cabcabca b c因?yàn)槿呴L分別為 、 ，三邊上的高分別為 、 、 ，所以，從而正 ，解：故選