以立體幾何的定義、公理和定理為出發(fā)點(diǎn)，認(rèn)識(shí)和理解空間中線面垂直的有關(guān)性質(zhì)與判定定理；能運(yùn)用公理、定理和已獲得的結(jié)論證明一些有關(guān)空間圖形的垂直關(guān)系的簡單命題 AB1.CDlmnmnllmln 設(shè) 、 、 均為直線，其中 、在平面 內(nèi)，則“”是“且”的充分不必要條件必要不充分條件充要條件既不充分也不必要條件A A.B.C.D2.(201.0)在空間，下列命題正確的是平行直線的平行投影重合平行于同一直線的兩個(gè)平面平行垂直于同一平面的兩個(gè)平面平行垂直于同一平面的兩條山東卷直線平行C D.AB選項(xiàng)平行直線的平行投影也可能是平行的；選項(xiàng)中的兩個(gè)平面也可以相交；選項(xiàng)的兩個(gè)平面也可以解相交，析：故選/ . A. BC .D3mnmnm nmnmnmnmnmnm n 關(guān)于直線 ， 與平面 ， ，有以下四個(gè)命題：若，且，則；若，且，則；若，且，則；若，且，則其中真命題的序號(hào)是.D. .4.mnmnnm已知 ， 是兩個(gè)不同的平面， ， 是平面及 之外的兩條不同直線，給出四個(gè)論斷：；以其中三個(gè)論斷作為條件，余下的一個(gè)論斷作為結(jié)論，寫出你認(rèn)為正確的一個(gè)命題：或 5. PABCPOPAPBPCOABCPAPBPCOABC三棱錐的頂點(diǎn) 在底面的射影為 ，若，則點(diǎn) 為的，若、兩兩垂直，則 為的垂心外心 1_.2_.3_.1llllllbabla 定義定義：如果直線 與平面 內(nèi)的每一條直線都垂直，就說直線 與平面 互相垂直，記作特別提醒：若已知，則 垂直于平面 內(nèi)的所有直線，即“線面線線”判定定理：一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的直線都垂直，則該直線與此平面垂直用符號(hào)表示為：，性質(zhì)定理：垂直于同一平面的兩條直線用符號(hào)直線與平面表示：垂直_.b，1_2.2定義：如果兩個(gè)平面相交，且它們所成的二面角是，就說這兩個(gè)平面互相垂直畫法：記作平面與平面垂直 _. _._34_.alaall 若一個(gè)平面過另一個(gè)平面的，則這兩個(gè)平面垂直符號(hào)表示：兩個(gè)平面垂直，則一個(gè)平面內(nèi)垂直于它們交線的直線與另一個(gè)平面用符號(hào)表示為：，歸納拓展：兩個(gè)平面 、 都垂直于平面 ，則 與可能平行也面面垂直的判定定理面面垂直的性質(zhì)可定理能相交，若：，則.l/lAaa；兩條相交；互相平行【；要點(diǎn)指南】；直角；垂線；垂直；41.5.PAABCDMNABPCPDAMNPCD如圖，已知垂直于矩形所在的平面，、 分別是、的中點(diǎn)，若，求證：平面例題型一題型一 直線和平面垂直的判定和性質(zhì)直線和平面垂直的判定和性質(zhì) 可考慮用線面垂直的判定定理分析：來證明- . . ./.PDEAENEENPDPCENCDMABAMCDENAMAMNEMN AE如圖，取的中點(diǎn) ，連接、因?yàn)?、 分別為、的中點(diǎn)，所以又因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，所以所以四邊形為平行四邊形，所以解析：/=/=/=-/.45.AMNEMN AEPAABCDPDAADAEPDCDADCDPAADAACDPADAEPADCDAECDPDDAEMNPCDPCD所以四邊形為平行四邊形，所以因?yàn)槠矫?，所以為等腰直角三角形，所以又因?yàn)?，所以平面，而平面，所以又所以平面，所以平面?a證明線面垂直，常用證法有兩種：一是利用面面垂直的性質(zhì)，二是利用線面垂直的判定定理，即證明直線與平面內(nèi)的兩條相交直評(píng)析：線都垂直1?PAABCDABCDPCBD已知垂直于矩形所在的平面，當(dāng)矩形滿足什么條件時(shí)，有素材 ： . P CB DP AB DP AP CPB DP A CBA B C DPDA CA B C DA B C DCB D若又，所 以平 面， 所 以，即 矩 形的 對(duì) 角 線 互 相 垂 直 解 析 ：即 當(dāng) 矩 形為 正 方 形 時(shí) ，所 以 矩 形為 正 方 形 ， 11111111111112.2.(2010)ABCA BCABBCBCBCABBCEFGACACBBABCABCFGABC例蘇北四市調(diào)研 如圖，在三棱柱中， 、 、 分別為線段、的中點(diǎn)，求證： 平面平面；平面題型二題型二 平面與平面垂直的判定與性質(zhì)平面與平面垂直的判定與性質(zhì) 111111111112/FGACBC BCBCBEBCABCFGBC由面面垂直判定定理易證；分先證，再證明，析： ，平面，可得，則結(jié)論得證 111111111111111 .112/.2 .ABBCBCBCABBCBBCABCBCABCAACEFACACEF AAEFAAABCDABCABCABCGBB因?yàn)?，所以平面又因?yàn)槠矫?，在中，因?yàn)?、 分別為、的中點(diǎn)，所以，在三棱柱中，為解析：所以平面平面的中點(diǎn)，111111111111111111111111/2/././. BG AABGAAEF BGEFBGBEFGFG EBABBCEACBEACFGACBCABBCBCBCBCBCABBCBCABBCBBCABCBEABCBCBEBCFGAC所以，所以，且所以四邊形為平行四邊形，所以因?yàn)椋?為的中點(diǎn)，所以，則因?yàn)?，所以，又，所以平面，又平面，所以，則解因?yàn)槲觯?11111.FGBCBACC所以平面， 證明面面垂直的關(guān)鍵是證明線面垂直，證明線面垂直的關(guān)鍵是證明線評(píng)析：線垂直.2aa已知，求證：素材 . .bcPPAbAPBcBPAaPAaPBaPBPAPPAPBa如圖所示，設(shè)，過平面 內(nèi)一點(diǎn) 作于點(diǎn) ，作于點(diǎn)因?yàn)?，所以又，所以同理可證解析：所以因?yàn)椋?/28234 5.12PABCDPADABCDAB DCPADBDADABDCMPCMBDPADPABCD如圖，在四棱錐中，平面平面，是等邊三角形已知，設(shè)是上一點(diǎn)，證明：平面平面；求四棱錐例的體積題型三題型三 垂直的綜合應(yīng)用垂直的綜合應(yīng)用 1.2MMBDPADMBDBDPADPABCD因?yàn)閮善矫娲怪迸c點(diǎn)位置無關(guān)，所以在平面內(nèi)一定有一條直線垂直于平面，當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)，不動(dòng)，考慮證明平面四棱錐底面為一梯形分析： ，高為 到面的距離 222484 5.1.ABDADBDABADBDABADBDPADABCDPADABCDADBDABCDBDPADBDMBDMBDPAD證明：在中，因?yàn)椋?，故又平面平面，平面平面，平面，所以平面又平面，故平面平面證明： .4342 3.22PPOADADOPADABCDPOABCDPOPABCDPADPO過點(diǎn) 作交于 ，由于平面平面，所以平面因此為四棱錐的高又是邊長為的等邊三角形，因此解析： /24 88 554 52 54 58 524.2516 32 3.1243P ABCDABCDAB DCABDCABCDRt ADBABABCDABCDSV在底面四邊形中，所以四邊形是梯形在中，斜邊邊上的高為，此即為梯形的高，所以四邊形的面積為故解析： 當(dāng)兩個(gè)平面垂直時(shí)，常作的輔助線是在其中一個(gè)面內(nèi)作交線的垂直線，把面面垂直轉(zhuǎn)化為線面垂直，進(jìn)而可以證明線線垂直，構(gòu)造二面角的平面角或得到點(diǎn)到面的評(píng)析：距離等 111111111111113.12.ABCABCABACBBC CABCDBCADCCBBC CBCAAMAMMAMBCBBC C在斜三棱柱中，底面是等腰三角形，側(cè)面底面若 是的中點(diǎn)，求證：；過側(cè)面的對(duì)角線的平面交側(cè)棱于，若，求證：截面?zhèn)让嫠夭?1111111111 . 1. ABACDBCADBCABCBBC CABCBBC CBCADBBAC CCCBBC CDCC證明：因?yàn)?，是的中點(diǎn)，所以因?yàn)榈酌鎮(zhèn)让妫矫嫫矫娼馕觯核?，所以?cè)面因?yàn)槠矫妫?1111111111111111111111111111111111111111. . . 2.B ABMNC NAMMANAABABACACA NABC NC BNBCBBC CNBCBBC CC BC NBBC CC NC NBC NBBBCMBCBCCBC證明：延長與交于 ，連接因?yàn)?，所以因?yàn)?，所以，所以因?yàn)槠矫鎮(zhèn)让?，解析：所以截面且平面平面，所?cè)面以側(cè)面而平面，所以截面?zhèn)让妫?1245 .ABCDPAABCDMNABPCABMNPDCABCDACACOMNOPDC如圖，四邊形為矩形，平面，、 分別為、的中點(diǎn)證明：；若平面與平面成角，連接，取的中點(diǎn) ，證明平面平面?zhèn)溥x例題 /.1/.NPCON PAPAABCDONABCDONABABCDMABOMABABOMNABMN因?yàn)?為的中點(diǎn)，所以而平面，所以平面所以又四邊形為矩形，為的中點(diǎn)，所以，所以平面，所以解析： .45.2. .MNOPCDPAABCDADDCPDDCPDAPDCABCDPDAPAADBCMCRt BCMRtAPMMCMPMNPCABMNMNCDMNPCD平面，則故為平面與平面所成銳二面角的平面角，即，所以連接解析： 所以平面，由知，所以平面因?yàn)?，所以，所以平面?1213251.4aamnmnAllmlnaalaala 線面垂直的定義： 與 內(nèi)任何直線都垂直；、，判定定理 ：；，判定定理 ：，；面面平行的性質(zhì)：，；證明線面垂直的方法面面垂直的性質(zhì)：，12233/ /.ababababaa平面幾何中證明線線垂直的方法；線面垂直的性質(zhì)：，；線面垂直的性質(zhì)：，判定定理：證明線線垂直的方法證明面面垂直，的方法在證明兩平面垂直時(shí)一般先從現(xiàn)有的直線中尋找平面的垂線，若這樣的直線圖中不存在，則可通過作輔助線來解決如有平面垂直時(shí)，一般要用性質(zhì)定理，在一個(gè)平面內(nèi)作交線的垂線，使之轉(zhuǎn)化為線面垂直，然后進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為線線垂直，故熟練掌握“線線垂直”、“面面垂直”間的轉(zhuǎn)化條件是解決這類問題的關(guān)鍵4垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化線線垂直線面垂直面面垂直5面 面 垂 直 的 性 質(zhì) 定 理 是 作 輔 助 線的 一 個(gè) 重 要 依 據(jù) ， 我 們 要 作 一 個(gè) 平 面的 一 條 垂 線 ， 通 常 是 先 找 這 個(gè) 平 面 的一 個(gè) 垂 面 ， 在 這 個(gè) 垂 面 中 ， 作 交 線 的垂線 即 可 / .aabba已知直線平面 ，求證：()/ ./ .bbQaQQaaabbaaba aaaa 由題設(shè)知直線 與平面 有交點(diǎn)，設(shè)交點(diǎn)為 ，過直線 和點(diǎn) 作平面 交平面于過點(diǎn) 的一條直線 ，則如圖所示 因?yàn)椋?，又因?yàn)椋砸驗(yàn)?，所以錯(cuò)解： / /aaaab在錯(cuò)解中，應(yīng)用平面幾何中的定理“同垂直于一條直線的兩條直線平行”，得導(dǎo)致錯(cuò)誤，該定理要求涉及的三條直線都在同一平面內(nèi)，而現(xiàn)在僅有和在平面內(nèi)，直線不能保證也在平面內(nèi)，因而不能滿足使用定理的條件，從而給出了錯(cuò)錯(cuò)解誤分析： 的證明/././ .:/ .bOOaaabblbbla abababala lala 在直線 上任取一點(diǎn) ，過 作，則 與 確定一平面設(shè)，因?yàn)?，所以，又，所以在平?內(nèi)有，所以因?yàn)槠矫?，平面 ，所以正解