第第1313講講 導數及其運算導數及其運算知識梳理 1一般地，函數一般地，函數yf(x)在在xx0處的瞬時變化率是處的瞬時變化率是 _，我們稱它為函數我們稱它為函數yf(x)在在xx0處的導數，記作處的導數，記作_ _ _，即即f(x0) _._. 2當當x變化時，變化時，f(x)是是x的一個函數，我們稱它為的一個函數，我們稱它為f(x)的的_，簡稱簡稱_，有時也記作有時也記作y，即，即f(x)y_._. 第第1313講講 知識梳理知識梳理f(x0)或或y|xx0 導函數導函數 導數導數 3導數的幾何意義導數的幾何意義 (1)設函數設函數yf(x)在在x0處可導，則處可導，則f(x0)表示曲線上相應表示曲線上相應點點M(x0，y0)處的處的_，點點M處的切線方程為處的切線方程為_ (2)設設ss(t)是位移函數，則是位移函數，則s(t0)表示物體在表示物體在t0時刻的時刻的_ (3)設設vv(t)是速度函數，則是速度函數，則v(t0)表示物體在表示物體在tt0時刻時刻的的_ 第第1313講講 知識梳理知識梳理切線的斜率切線的斜率 yy0f(x0)(xx0) 瞬時速度瞬時速度 加速度加速度 第第1313講講 知識梳理知識梳理0 nxn1 cosx sinx ex axlna f(x)g(x) f(x)g(x)f(x)g(x) f(u)(x) 要點探究 探究點探究點1導數的概念導數的概念第第1313講講 要點探究要點探究思路思路 用導數的定義即可求解用導數的定義即可求解 答案答案 (1)2f(x0) (2)2f(x0) 第第1313講講 要點探究要點探究 點評點評 利用導數定義解題，要充分體會導數定義的實質，表達利用導數定義解題，要充分體會導數定義的實質，表達式不同，但表達的實質可能相同比如下面的變式題：式不同，但表達的實質可能相同比如下面的變式題： 第第1313講講 要點探究要點探究 答案答案 B解析解析根據導數定義，分子中根據導數定義，分子中x0的增量應與分母相同，故選的增量應與分母相同，故選B. 思路思路 緊扣導數定義，正確理解增量緊扣導數定義，正確理解增量x的實質的實質 探究點探究點2利用求導法則求導利用求導法則求導第第1313講講 要點探究要點探究 思路思路 先判斷原函數的類型，再套用公式求解先判斷原函數的類型，再套用公式求解 答案答案 B第第1313講講 要點探究要點探究 點評點評 利用公式求導，不能混淆利用公式求導，不能混淆“冪函數冪函數”與與“指數函數指數函數”的求導公式，不能混淆指數函數導數的系數與對數函數導數的系的求導公式，不能混淆指數函數導數的系數與對數函數導數的系數數第第1313講講 要點探究要點探究第第1313講講 要點探究要點探究 點評點評 對于函數求導，一般要遵循先化簡，對于函數求導，一般要遵循先化簡，再求導的基本原則，求導時，不但要重視求導法再求導的基本原則，求導時，不但要重視求導法則的應用，而且要特別注意求導法則對求導的作則的應用，而且要特別注意求導法則對求導的作用，在實施化簡時，要注意變換的等價性，避免用，在實施化簡時，要注意變換的等價性，避免不必要的失誤對于某些不滿足求導法則條件的不必要的失誤對于某些不滿足求導法則條件的函數，可適當進行恒等變形，步步為營，使解決函數，可適當進行恒等變形，步步為營，使解決問題水到渠成問題水到渠成 第第1313講講 要點探究要點探究思路思路 本例題中的函數均為復合函數，求導時需本例題中的函數均為復合函數，求導時需搞清復合的層次，注意使用整體的觀點，弄清每一搞清復合的層次，注意使用整體的觀點，弄清每一步是對哪一層求導，用什么公式求導步是對哪一層求導，用什么公式求導 第第1313講講 要點探究要點探究點評點評 對復合函數求導，應分對復合函數求導，應分析清楚復合函數的復合層次，析清楚復合函數的復合層次，“由外到內由外到內”逐層求導，在中逐層求導，在中學數學中一般復合函數的復合學數學中一般復合函數的復合層次不超過層次不超過3層層 探究點探究點3導數的幾何意義導數的幾何意義第第1313講講 要點探究要點探究第第1313講講 要點探究要點探究第第1313講講 要點探究要點探究第第1313講講 要點探究要點探究 點評點評 (1)解決此類問題一定要分清是解決此類問題一定要分清是“在某點在某點處的切線處的切線”還是還是“過某點的切線過某點的切線”；(2)對未知切點坐對未知切點坐標的問題，一般是首先設出切點的坐標，然后根據需標的問題，一般是首先設出切點的坐標，然后根據需要三個方面出擊，即利用要三個方面出擊，即利用“切點處的導數等于切線的切點處的導數等于切線的斜率斜率”，“切點在曲線上切點在曲線上”，“切點在切線上切點在切線上”建立建立方程組求解；方程組求解；(3)切點的橫坐標與該切點處的切線的斜切點的橫坐標與該切點處的切線的斜率這兩個量之間可以相互轉化率這兩個量之間可以相互轉化另外，要注意曲線的切線與曲線不一定只有一個公另外，要注意曲線的切線與曲線不一定只有一個公共點，如共點，如第第1313講講 要點探究要點探究 設質點作直線運動，已知路程設質點作直線運動，已知路程s(單位：單位：m)是時間是時間t(單單位：位：s)的函數：的函數：s3t22t1.求：求：(1)從從t2變到變到t3時，時，s關于關于t的平均變化率，并解釋它的實際意義；的平均變化率，并解釋它的實際意義；(2)當當t2時的瞬時速度；時的瞬時速度；(3)當當t2時的加速度時的加速度第第1313講講 要點探究要點探究點評點評 導函數的實質是瞬時變化率，物理中的導函數的實質是瞬時變化率，物理中的“某一時刻的速度某一時刻的速度”、“加速度加速度”等概念都能用導數來刻畫等概念都能用導數來刻畫 規(guī)律總結第第1313講講 規(guī)律總結規(guī)律總結 1函數函數f(x)的導數的實質是的導數的實質是“增量之比的極限增量之比的極限”，即瞬時變化率，即瞬時變化率，f(x0)是函數是函數f(x)在導函數在導函數f(x)當當xx0時的函數值時的函數值 2函數函數yf(x)在點在點x0處的導數的幾何意義是指曲線處的導數的幾何意義是指曲線yf(x)在點在點P(x0，f(x0)處的切線的斜率，即處的切線的斜率，即f(x0)k切，此時切線方程為切，此時切線方程為yf(x0)f(x0)(xx0) 3準確理解曲線的切線，需要注意的兩個問題準確理解曲線的切線，需要注意的兩個問題 第第1313講講 規(guī)律總結規(guī)律總結 (1)直線與曲線公共點的個數不是切線的本質特征，直線與曲線只直線與曲線公共點的個數不是切線的本質特征，直線與曲線只有一個公共點，直線不一定是曲線的切線，同樣，直線是曲線的切線，有一個公共點，直線不一定是曲線的切線，同樣，直線是曲線的切線，則直線與曲線可能有兩個以上公共點；則直線與曲線可能有兩個以上公共點； (2)曲線未必在其切線的同側，如曲線曲線未必在其切線的同側，如曲線yx3在其過在其過(0,0)點的切線點的切線y0的兩側的兩側 4要區(qū)分要區(qū)分“過某點過某點”的切線和的切線和“在某點在某點”的切線不同，的切線不同，“在某點在某點”的切線是指以該點為切點的切線，因此此點橫坐標處的導數值為切線的切線是指以該點為切點的切線，因此此點橫坐標處的導數值為切線的斜率，而對于的斜率，而對于“過某點過某點”的切線，則該點不一定是切點，要利用解的切線，則該點不一定是切點，要利用解方程組的思想求切線的方程方程組的思想求切線的方程 第第1313講講 規(guī)律總結規(guī)律總結 5利用導數公式求導數時，先要根據這幾種基本函數的定義，判利用導數公式求導數時，先要根據這幾種基本函數的定義，判斷原函數是哪類基本函數，再套用相應的導數公式求解，切不可因判斷原函數是哪類基本函數，再套用相應的導數公式求解，切不可因判斷函數類型失誤而出錯另外，還要避免求導過程中指數或系數的運斷函數類型失誤而出錯另外，還要避免求導過程中指數或系數的運算失誤算失誤 6在求導數時，有些函數雖然表面形式上為函數的商或積，但在求導數時，有些函數雖然表面形式上為函數的商或積，但在求導前利用公式恒等變形可將函數轉化為和或差形式，然后進行求在求導前利用公式恒等變形可將函數轉化為和或差形式，然后進行求導，這樣可避免使用積、商的求導法則，從而減少運算量，提高運算導，這樣可避免使用積、商的求導法則，從而減少運算量，提高運算速度，避免出錯速度，避免出錯 7復合函數求導，必須搞清復合層次，不能有漏掉的環(huán)節(jié)，要復合函數求導，必須搞清復合層次，不能有漏掉的環(huán)節(jié)，要適當選取中間變量，弄清每一步對哪個變量求導，用什么公式求導適當選取中間變量，弄清每一步對哪個變量求導，用什么公式求導