第第6 6講講 函數(shù)的奇偶性和周期性函數(shù)的奇偶性和周期性知識梳理1函數(shù)的奇偶性函數(shù)的奇偶性 (1)函數(shù)奇偶性的定義函數(shù)奇偶性的定義 如果對于函數(shù)如果對于函數(shù)f(x)定義域內(nèi)的任意定義域內(nèi)的任意x都有都有_ _ _，則稱則稱f(x)為奇函數(shù)；為奇函數(shù)；如果對于函數(shù)如果對于函數(shù)f(x)定義域內(nèi)的任意定義域內(nèi)的任意x都有都有_，則稱則稱f(x)為偶函數(shù)為偶函數(shù) 如果函數(shù)如果函數(shù)f(x)不具有上述性質(zhì)，則不具有上述性質(zhì)，則f(x)不具有奇偶性；如果函數(shù)同時具有上不具有奇偶性；如果函數(shù)同時具有上述兩條性質(zhì)，則述兩條性質(zhì)，則f(x)既是既是_，又是又是_ (2)利用定義判斷函數(shù)奇偶性的步驟利用定義判斷函數(shù)奇偶性的步驟 首先確定首先確定_，并判斷其定義域是否關(guān)于并判斷其定義域是否關(guān)于_對稱對稱； 確定確定_與與_的關(guān)系；的關(guān)系； 作出相應(yīng)結(jié)論：若作出相應(yīng)結(jié)論：若f(x)f(x)或或f(x)f(x)0，則，則f(x)是偶函數(shù)；若是偶函數(shù)；若f(x)f(x)或或f(x)f(x)0，則，則f(x)是奇函數(shù)是奇函數(shù)第第6 6講講 知識梳理知識梳理f(x)f(x) f(x)f(x) 奇函數(shù)奇函數(shù) 偶函數(shù)偶函數(shù)函數(shù)的定義域函數(shù)的定義域 原點原點 f(x) f(x) 第第6 6講講 知識梳理知識梳理原點原點 y軸軸 偶函數(shù)偶函數(shù) 偶函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù) 0 偶偶 奇奇 第第6 6講講 知識梳理知識梳理f(xT)f(x) 最小正周期最小正周期 要點探究 探究點探究點1判斷函數(shù)的奇偶性判斷函數(shù)的奇偶性第第6 6講講 要點探究要點探究思路思路 從定義域入手，在定義域關(guān)于原點對稱的情況下，判斷從定義域入手，在定義域關(guān)于原點對稱的情況下，判斷f(x)與與f(x)的關(guān)系的關(guān)系 第第6 6講講 要點探究要點探究第第6 6講講 要點探究要點探究 點評點評 判斷函數(shù)的奇偶性是比較基本的問題，難度判斷函數(shù)的奇偶性是比較基本的問題，難度不大，解決問題時應(yīng)先考察函數(shù)的定義域，若函數(shù)的定義不大，解決問題時應(yīng)先考察函數(shù)的定義域，若函數(shù)的定義域不關(guān)于原點對稱，則函數(shù)不具有奇偶性；若定義域關(guān)于域不關(guān)于原點對稱，則函數(shù)不具有奇偶性；若定義域關(guān)于原點對稱，再判斷原點對稱，再判斷f(x)與與f(x)的關(guān)系；若定義域關(guān)于原的關(guān)系；若定義域關(guān)于原點對稱，且函數(shù)的解析式能化簡，一般應(yīng)考慮先化簡，但點對稱，且函數(shù)的解析式能化簡，一般應(yīng)考慮先化簡，但化簡必須是等價變換過程化簡必須是等價變換過程(要保證定義域不變要保證定義域不變) 第第6 6講講 要點探究要點探究思路思路 分段函數(shù)的奇偶性，要將分段函數(shù)的奇偶性，要將x在每一段的情況都要驗證，然后在整在每一段的情況都要驗證，然后在整個定義域內(nèi)得出個定義域內(nèi)得出f(x)與與f(x)的關(guān)系的關(guān)系 第第6 6講講 要點探究要點探究第第6 6講講 要點探究要點探究思路思路 對對x1，x2合理賦值，利用函數(shù)的性質(zhì)和已知條件，判斷合理賦值，利用函數(shù)的性質(zhì)和已知條件，判斷f(x)與與f(x)的關(guān)系的關(guān)系 (2)2010保定模擬保定模擬 已知函數(shù)已知函數(shù)yf(x)是定義在是定義在R上的不恒為零的函數(shù)，且上的不恒為零的函數(shù)，且對于任意對于任意x1，x2R，都有，都有f(x1x2)x1f(x2)x2f(x1)，則對函數(shù)，則對函數(shù)f(x)，下列，下列判斷正確的是判斷正確的是() Af(x)為奇函數(shù)為奇函數(shù) Bf(x)為偶函數(shù)為偶函數(shù) Cf(x)為非奇非偶函數(shù)為非奇非偶函數(shù) Df(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù) 答案答案 A 解析解析 令令x1x20，得，得f(0)0，令，令x1x21，得，得f(1)0，令，令x1x21，得，得f(1)0，令，令x1x，x21，得，得f(x)f(x)0，因此因此f(x)f(x)，所以，所以f(x)是奇函數(shù)是奇函數(shù) 第第6 6講講 要點探究要點探究 點評點評 (1)分段函數(shù)的奇偶性的判斷和分類討論思想密切相關(guān)，分段函數(shù)的奇偶性的判斷和分類討論思想密切相關(guān)，要注意自變量在不同情況下的不同形式以及題目之間的相互關(guān)系，要注意自變量在不同情況下的不同形式以及題目之間的相互關(guān)系，一定要注意求一定要注意求f(x)時，將時，將x代入函數(shù)中的哪一段表達(dá)式中代入函數(shù)中的哪一段表達(dá)式中(2)抽抽象函數(shù)的奇偶性的判斷，一般需要結(jié)合已知條件，對抽象函數(shù)進(jìn)行象函數(shù)的奇偶性的判斷，一般需要結(jié)合已知條件，對抽象函數(shù)進(jìn)行恰當(dāng)?shù)淖冃?，賦予恰當(dāng)?shù)臄?shù)值，經(jīng)過運算和推理，然后得出結(jié)論恰當(dāng)?shù)淖冃危x予恰當(dāng)?shù)臄?shù)值，經(jīng)過運算和推理，然后得出結(jié)論 探究點探究點2函數(shù)奇偶性的性質(zhì)及其應(yīng)用函數(shù)奇偶性的性質(zhì)及其應(yīng)用 例例3 2010廣州模擬廣州模擬 已知已知f(x)是是R上的奇函數(shù)，且當(dāng)上的奇函數(shù)，且當(dāng)x0時，時，f(x)x2x1，求，求f(x)的解析式的解析式 第第6 6講講 要點探究要點探究第第6 6講講 要點探究要點探究 2010江蘇卷江蘇卷 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)f(x)x(exaex)(xR)是偶函數(shù)，則實數(shù)是偶函數(shù)，則實數(shù)a_. 思路思路 利用奇偶函數(shù)的性質(zhì)，得到參數(shù)利用奇偶函數(shù)的性質(zhì)，得到參數(shù)a滿足的方滿足的方程程 答案答案 1 第第6 6講講 要點探究要點探究解析解析 本題考查函數(shù)的基本性質(zhì)中的奇偶性，該知識點在本題考查函數(shù)的基本性質(zhì)中的奇偶性，該知識點在高考考綱中為高考考綱中為B級要求級要求設(shè)設(shè)g(x)exaex，xR，由題意分析，由題意分析g(x)應(yīng)為奇函數(shù)應(yīng)為奇函數(shù)(奇奇函數(shù)函數(shù)奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)偶函數(shù))，xR，g(0)0，則，則1a0，所以，所以a1 點評點評 已知區(qū)間上函數(shù)的解析式求給定區(qū)間上的函數(shù)解已知區(qū)間上函數(shù)的解析式求給定區(qū)間上的函數(shù)解析式，一般都要借助于函數(shù)的奇偶性或周期性，要注意最后的析式，一般都要借助于函數(shù)的奇偶性或周期性，要注意最后的解析式一定是解析式一定是f(x)而不能是其他形式而不能是其他形式 探究點探究點3函數(shù)的周期性函數(shù)的周期性第第6 6講講 要點探究要點探究 思路思路 利用已知條件，求得函數(shù)的周期，通過函數(shù)的周期性和利用已知條件，求得函數(shù)的周期，通過函數(shù)的周期性和奇偶性，將自變量的值轉(zhuǎn)化為在奇偶性，將自變量的值轉(zhuǎn)化為在2,3內(nèi)，再計算內(nèi)，再計算 第第6 6講講 要點探究要點探究 答案答案 2.5 第第6 6講講 要點探究要點探究 思路思路 利用已知條件所給的式子，通過變形，并結(jié)合奇偶函數(shù)利用已知條件所給的式子，通過變形，并結(jié)合奇偶函數(shù)與周期函數(shù)定義判斷與周期函數(shù)定義判斷 (2)2010南昌模擬南昌模擬 定義在定義在R上的函數(shù)上的函數(shù)f(x)不是常數(shù)函數(shù)，不是常數(shù)函數(shù)，滿足滿足f(x1)f(x1)，f(1x)f(1x)，則函數(shù)，則函數(shù)f(x)() A是奇函數(shù)也是周期函數(shù)是奇函數(shù)也是周期函數(shù) B是偶函數(shù)也是周期是偶函數(shù)也是周期函數(shù)函數(shù) C是奇函數(shù)但不是周期函數(shù)是奇函數(shù)但不是周期函數(shù) D是偶函數(shù)但不是周是偶函數(shù)但不是周期函數(shù)期函數(shù) 第第6 6講講 要點探究要點探究 答案答案 B 解析解析 由由f(x1)f(x1)，知，知f(x2)f(x)，所以，所以f(x)是以是以2為周為周期的周期函數(shù)，且用期的周期函數(shù)，且用x1代替代替f(1x)f(1x)中的中的x，得，得f(x)f(2x)f(x)，f(x)是偶函數(shù)故是偶函數(shù)故f(x)是偶函數(shù)也是周期函數(shù)是偶函數(shù)也是周期函數(shù) 第第6 6講講 要點探究要點探究 點評點評 (1)通過函數(shù)的周期性既可進(jìn)行解析式通過函數(shù)的周期性既可進(jìn)行解析式的代數(shù)變形，又可進(jìn)行圖像的幾何變換，解題時要注的代數(shù)變形，又可進(jìn)行圖像的幾何變換，解題時要注意這兩方面的應(yīng)用；意這兩方面的應(yīng)用；(2)判斷一個函數(shù)是否是周期函判斷一個函數(shù)是否是周期函數(shù)，主要通過定義來進(jìn)行，步驟為：數(shù)，主要通過定義來進(jìn)行，步驟為：先探求周期先探求周期T，證明證明f(xT)f(x)對任意屬于定義域內(nèi)的對任意屬于定義域內(nèi)的x都成都成立立 探究點探究點4函數(shù)性質(zhì)的綜合運用函數(shù)性質(zhì)的綜合運用第第6 6講講 要點探究要點探究 思路思路 (1)利用函數(shù)周期性的定義證明；利用函數(shù)周期性的定義證明；(2)要求某一區(qū)間上的函數(shù)要求某一區(qū)間上的函數(shù)解析式，一般把解析式，一般把x設(shè)在該區(qū)間上，然后利用奇偶性或周期性，轉(zhuǎn)化到已設(shè)在該區(qū)間上，然后利用奇偶性或周期性，轉(zhuǎn)化到已知的區(qū)間上，利用已知的解析式求未知的解析式；知的區(qū)間上，利用已知的解析式求未知的解析式；(3)解決周期函數(shù)的解決周期函數(shù)的有關(guān)問題，一般轉(zhuǎn)化為解決一個周期內(nèi)的有關(guān)問題，然后推廣到定義域有關(guān)問題，一般轉(zhuǎn)化為解決一個周期內(nèi)的有關(guān)問題，然后推廣到定義域范圍內(nèi)范圍內(nèi) 第第6 6講講 要點探究要點探究第第6 6講講 要點探究要點探究 點評點評 周期函數(shù)的研究方法是先研究周期函數(shù)周期函數(shù)的研究方法是先研究周期函數(shù)在一個周期上的性質(zhì)，再將它拓展到整個定義域上，在一個周期上的性質(zhì)，再將它拓展到整個定義域上，這樣，可簡化對函數(shù)的研究這樣，可簡化對函數(shù)的研究規(guī)律總結(jié)第第6 6講講 規(guī)律總結(jié)規(guī)律總結(jié) 1判定函數(shù)的奇偶性，首先要檢驗其定義域是否關(guān)于原點對稱，然后再判定函數(shù)的奇偶性，首先要檢驗其定義域是否關(guān)于原點對稱，然后再嚴(yán)格按照奇偶性的定義經(jīng)過化簡、整理，再將嚴(yán)格按照奇偶性的定義經(jīng)過化簡、整理，再將f(x)與與f(x)比較，得出結(jié)論其比較，得出結(jié)論其中，分段函數(shù)的奇偶性應(yīng)分段證明中，分段函數(shù)的奇偶性應(yīng)分段證明f(x)與與f(x)的關(guān)系，只有當(dāng)對稱的兩段上都的關(guān)系，只有當(dāng)對稱的兩段上都滿足相同的關(guān)系時才能判斷其奇偶性滿足相同的關(guān)系時才能判斷其奇偶性 2利用函數(shù)的奇偶性把研究整個函數(shù)具有的性質(zhì)問題轉(zhuǎn)化到只研究部分利用函數(shù)的奇偶性把研究整個函數(shù)具有的性質(zhì)問題轉(zhuǎn)化到只研究部分(一半一半)區(qū)間上的問題，是簡化問題的一種途徑區(qū)間上的問題，是簡化問題的一種途徑 3函數(shù)的奇偶性常與函數(shù)的其他性質(zhì)及不等式結(jié)合出題，運用函數(shù)的奇函數(shù)的奇偶性常與函數(shù)的其他性質(zhì)及不等式結(jié)合出題，運用函數(shù)的奇偶性就是運用函數(shù)圖像的對稱性偶性就是運用函數(shù)圖像的對稱性 4要善于發(fā)現(xiàn)函數(shù)特征，圖像特征，運用數(shù)形結(jié)合，定向轉(zhuǎn)化，分類討要善于發(fā)現(xiàn)函數(shù)特征，圖像特征，運用數(shù)形結(jié)合，定向轉(zhuǎn)化，分類討論的思想，整體代換的手段，從而簡化解決問題的程序，既快又準(zhǔn)論的思想，整體代換的手段，從而簡化解決問題的程序，既快又準(zhǔn)