第六節(jié)直接證明與間接證明第六節(jié)直接證明與間接證明1直接證明直接證明內(nèi)容內(nèi)容綜合法綜合法分析法分析法定義定義利用已知條件和某些數(shù)學(xué)定利用已知條件和某些數(shù)學(xué)定義、公理、定理等，經(jīng)過(guò)一義、公理、定理等，經(jīng)過(guò)一系列的系列的_，最后，最后推導(dǎo)出所要證明的結(jié)論推導(dǎo)出所要證明的結(jié)論_從要從要_出發(fā)，出發(fā)，逐步尋求使它成立的逐步尋求使它成立的_，直至最后，直至最后，把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個(gè)明顯成立的條件定一個(gè)明顯成立的條件實(shí)質(zhì)實(shí)質(zhì)由因?qū)Ч梢驅(qū)Ч麍?zhí)果索因執(zhí)果索因推理論證推理論證成立成立證明的結(jié)論證明的結(jié)論充分條件充分條件框圖表示框圖表示文字語(yǔ)言文字語(yǔ)言因?yàn)橐驗(yàn)樗运曰蛴苫蛴傻玫靡C要證只需證只需證即證即證2.間接證明間接證明反證法：假設(shè)原命題反證法：假設(shè)原命題 _(即在原命題的條件下，結(jié)論即在原命題的條件下，結(jié)論不成立不成立)，經(jīng)過(guò)正確的推理，最后得出，經(jīng)過(guò)正確的推理，最后得出_因此說(shuō)明假因此說(shuō)明假設(shè)錯(cuò)誤，從而證明了原命題成立，這樣的證明方法叫做反證設(shè)錯(cuò)誤，從而證明了原命題成立，這樣的證明方法叫做反證法法不成立不成立矛盾矛盾1綜合法和分析法的區(qū)別和聯(lián)系是什么？綜合法和分析法的區(qū)別和聯(lián)系是什么？【提示】【提示】綜合法的特點(diǎn)是：從綜合法的特點(diǎn)是：從“已知已知”看看“可知可知”，逐步推，逐步推向向“未知未知”，其逐步推理實(shí)際上是尋找它的必要條件分析法，其逐步推理實(shí)際上是尋找它的必要條件分析法的特點(diǎn)：從的特點(diǎn)：從“未知未知”看看“需知需知”，逐步靠攏，逐步靠攏“已知已知”其逐步其逐步推理實(shí)際上是尋求它的充分條件在解決問(wèn)題時(shí)，經(jīng)常把綜合推理實(shí)際上是尋求它的充分條件在解決問(wèn)題時(shí)，經(jīng)常把綜合法和分析法結(jié)合起來(lái)使用法和分析法結(jié)合起來(lái)使用2反證法的關(guān)鍵是推出矛盾，這些矛盾主要有哪些？反證法的關(guān)鍵是推出矛盾，這些矛盾主要有哪些？【提示】【提示】反證法的關(guān)鍵是在正確的推理下得出矛盾，這個(gè)矛反證法的關(guān)鍵是在正確的推理下得出矛盾，這個(gè)矛盾可以是與已知條件矛盾，或與假設(shè)矛盾，或與定義、公理、盾可以是與已知條件矛盾，或與假設(shè)矛盾，或與定義、公理、定理、事實(shí)矛盾等定理、事實(shí)矛盾等 1(教材改編題教材改編題)用反證法證明命題：用反證法證明命題：“a，bN，ab可被可被5整整除，那么除，那么a，b中至少有一個(gè)能被中至少有一個(gè)能被5整除整除”時(shí)，假設(shè)的內(nèi)容應(yīng)為時(shí)，假設(shè)的內(nèi)容應(yīng)為()Aa、b都能被都能被5整除整除Ba、b都不能被都不能被5整除整除Ca、b不都能被不都能被5整除整除 Da不能被不能被5整除整除【解析】【解析】“至少有一個(gè)至少有一個(gè)”的否定的否定“沒(méi)有一個(gè)沒(méi)有一個(gè)”【答案】【答案】B【答案】【答案】C3設(shè)設(shè)A、B、C是三個(gè)集合，那么是三個(gè)集合，那么“AB”是是“ACBC”的的()A充分不必要條件充分不必要條件 B必要不充分條件必要不充分條件C充要條件充要條件 D既不充分也不必要條件既不充分也不必要條件【解析】【解析】ABACBC，但，但ACBCD/AB，如，如當(dāng)當(dāng)C ，AB時(shí)，時(shí)，ACBC ，選，選A.【答案】【答案】A對(duì)于定義域?yàn)閷?duì)于定義域?yàn)?,1的函數(shù)的函數(shù)f(x)，如果同時(shí)滿足以下三條：，如果同時(shí)滿足以下三條：對(duì)任意的對(duì)任意的x0,1，總有，總有f(x)0；f(1)1；若若x10，x20，x1x21，都有，都有f(x1x2)f(x1)f(x2)成立，則稱函數(shù)成立，則稱函數(shù)f(x)為理想為理想函數(shù)函數(shù)g(x)2x1(x0,1)是否為理想函數(shù)，如果是，請(qǐng)予證是否為理想函數(shù)，如果是，請(qǐng)予證明；如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由明；如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由【思路點(diǎn)撥】【思路點(diǎn)撥】根據(jù)理想函數(shù)的定義，證明根據(jù)理想函數(shù)的定義，證明g(x)滿足理想函數(shù)滿足理想函數(shù)的三個(gè)條件即可的三個(gè)條件即可綜合法綜合法 【嘗試解答】【嘗試解答】g(x)2x1(x0,1)是理想函數(shù)是理想函數(shù)證明如下：證明如下：x0,1，2x1，2x10，即對(duì)任意，即對(duì)任意x0,1，總有，總有f(x)0，滿足條，滿足條件件.f(1)2111，故滿足條件，故滿足條件，當(dāng)當(dāng)x10，x20，且，且x1x21時(shí)，時(shí)，f(x1x2)2x1x21，f(x1)f(x2)2x12x22，f(x1x2)f(x1)f(x2)2x1x22x12x212x1(2x21)(2x21)(2x21)(2x11)，x10，x20，則，則2x110,2x210，f(x1x2)f(x1)f(x2)0，即即f(x1x2)f(x1)f(x2)，滿足條件，滿足條件，故函數(shù)故函數(shù)g(x)2x1(x0,1)是理想函數(shù)是理想函數(shù) 1綜合法是綜合法是“由因?qū)Ч梢驅(qū)Ч钡淖C明方法，它是一種從已知到未的證明方法，它是一種從已知到未知知(從題設(shè)到結(jié)論從題設(shè)到結(jié)論)的邏輯推理方法，即從題設(shè)中的已知條件或的邏輯推理方法，即從題設(shè)中的已知條件或已證的真實(shí)判斷已證的真實(shí)判斷(命題命題)出發(fā)，經(jīng)過(guò)一系列的中間推理，最后導(dǎo)出發(fā)，經(jīng)過(guò)一系列的中間推理，最后導(dǎo)出所要求證結(jié)論的真實(shí)性出所要求證結(jié)論的真實(shí)性2綜合法的邏輯依據(jù)是三段論式的演繹推理綜合法的邏輯依據(jù)是三段論式的演繹推理本例中條件不變，問(wèn)題變?yōu)楸纠袟l件不變，問(wèn)題變?yōu)椤叭艉瘮?shù)若函數(shù)f(x)是理想函數(shù)，證明是理想函數(shù)，證明f(0)0”，如何求解？，如何求解？【解】【解】令令x1x20，則，則x1x21，f(00)f(0)f(0)，f(0)0，又由條件又由條件知知f(0)0，f(0)0.,【思路點(diǎn)撥】【思路點(diǎn)撥】先去分母，再合并同類項(xiàng)，化成積式先去分母，再合并同類項(xiàng)，化成積式【嘗試解答】【嘗試解答】m0，1m0，所以要證原不等式成立，只需證明，所以要證原不等式成立，只需證明，(amb)2(1m)(a2mb2)，即證即證m(a22abb2)0，即證即證(ab)20，而而(ab)20顯然成立，顯然成立，故原不等式得證故原不等式得證,分析法分析法 1分析法是分析法是“執(zhí)果索因執(zhí)果索因”的證明方法，其主要過(guò)程是從結(jié)論的證明方法，其主要過(guò)程是從結(jié)論出發(fā)逐步尋求使結(jié)論成立的充分條件用分析法證明命題的邏出發(fā)逐步尋求使結(jié)論成立的充分條件用分析法證明命題的邏輯關(guān)系是：輯關(guān)系是：B B1 B2 Bn A，它的常見(jiàn)書(shū)面表達(dá)是，它的常見(jiàn)書(shū)面表達(dá)是“要證要證只需證只需證”2對(duì)于較復(fù)雜的不等式，通常用分析法探索證明途徑，然后對(duì)于較復(fù)雜的不等式，通常用分析法探索證明途徑，然后用綜合法加以證明，分析法的特點(diǎn)是：從用綜合法加以證明，分析法的特點(diǎn)是：從“未知未知”看看“需知需知”，逐步靠攏逐步靠攏“已知已知”，優(yōu)點(diǎn)是利于思考，因?yàn)樗姆较蛎鞔_，思，優(yōu)點(diǎn)是利于思考，因?yàn)樗姆较蛎鞔_，思路自然，而綜合法的優(yōu)點(diǎn)是易于表述，條理清晰，形式簡(jiǎn)潔路自然，而綜合法的優(yōu)點(diǎn)是易于表述，條理清晰，形式簡(jiǎn)潔 (1)用單調(diào)性的定義證明用單調(diào)性的定義證明f(x)在在(1，)上為增函數(shù)上為增函數(shù)(2)用反證法證明：方程用反證法證明：方程f(x)0沒(méi)有負(fù)數(shù)根沒(méi)有負(fù)數(shù)根【思路點(diǎn)撥】【思路點(diǎn)撥】(1)按照：設(shè)元按照：設(shè)元作差作差變形變形判號(hào)判號(hào)結(jié)論的步驟結(jié)論的步驟證明證明(2)需證明的是否定性結(jié)論，可用反證法證明需證明的是否定性結(jié)論，可用反證法證明反證法反證法 1當(dāng)一個(gè)命題的結(jié)論是以當(dāng)一個(gè)命題的結(jié)論是以“至多至多”、“至少至少”、“唯一唯一”或或以否定形式出現(xiàn)時(shí)，宜用反證法來(lái)證，反證法關(guān)鍵是在正確的以否定形式出現(xiàn)時(shí)，宜用反證法來(lái)證，反證法關(guān)鍵是在正確的推理下得出矛盾，矛盾可以是與已知條件矛盾，與假設(shè)矛盾，推理下得出矛盾，矛盾可以是與已知條件矛盾，與假設(shè)矛盾，與定義、公理、定理矛盾，與事實(shí)矛盾等與定義、公理、定理矛盾，與事實(shí)矛盾等2直接證明與間接證明是數(shù)學(xué)證明的兩類基本的證明方直接證明與間接證明是數(shù)學(xué)證明的兩類基本的證明方法直接證明含綜合法與分析法，間接證明的一種基本方法是法直接證明含綜合法與分析法，間接證明的一種基本方法是反證法反證法 從近兩年的高考試題來(lái)看，綜合法、反證法證明問(wèn)題是從近兩年的高考試題來(lái)看，綜合法、反證法證明問(wèn)題是高考的熱點(diǎn)，題型大多為解答題，難度為中、高檔；主要是在高考的熱點(diǎn)，題型大多為解答題，難度為中、高檔；主要是在知識(shí)交匯點(diǎn)處命題，像數(shù)列、立體幾何中的平行、垂直、不等知識(shí)交匯點(diǎn)處命題，像數(shù)列、立體幾何中的平行、垂直、不等式、解析幾何等都有可能考查，在考查基礎(chǔ)知識(shí)的同時(shí)，考查式、解析幾何等都有可能考查，在考查基礎(chǔ)知識(shí)的同時(shí)，考查等價(jià)轉(zhuǎn)化，分類討論思想以及邏輯推理能力在證明時(shí)一定要等價(jià)轉(zhuǎn)化，分類討論思想以及邏輯推理能力在證明時(shí)一定要注意步驟的規(guī)范化注意步驟的規(guī)范化規(guī)范解答之十用綜合法證明不等式規(guī)范解答之十用綜合法證明不等式易錯(cuò)提示：易錯(cuò)提示：(1)解答解答(1)時(shí)，沒(méi)有去分母，等價(jià)轉(zhuǎn)化不等式，導(dǎo)時(shí)，沒(méi)有去分母，等價(jià)轉(zhuǎn)化不等式，導(dǎo)致作差變形無(wú)法進(jìn)行致作差變形無(wú)法進(jìn)行(2)解答解答(2)時(shí)，沒(méi)有注意到各項(xiàng)之間的時(shí)，沒(méi)有注意到各項(xiàng)之間的倒數(shù)關(guān)系，從而無(wú)法使用對(duì)數(shù)的性質(zhì)及換底公式等價(jià)轉(zhuǎn)化不等倒數(shù)關(guān)系，從而無(wú)法使用對(duì)數(shù)的性質(zhì)及換底公式等價(jià)轉(zhuǎn)化不等式式防范措施：防范措施：(1)在證明不等式時(shí)，應(yīng)綜合考慮待證不等式的結(jié)在證明不等式時(shí)，應(yīng)綜合考慮待證不等式的結(jié)構(gòu)特征，是否先去分母，應(yīng)根據(jù)后面證明不等式的手段確定構(gòu)特征，是否先去分母，應(yīng)根據(jù)后面證明不等式的手段確定(2)解答第解答第(2)問(wèn)有意識(shí)地運(yùn)用第一問(wèn)的結(jié)果或解題方法至關(guān)重問(wèn)有意識(shí)地運(yùn)用第一問(wèn)的結(jié)果或解題方法至關(guān)重要，本題通過(guò)換元法使待證不等式的左右兩邊分別是倒數(shù)關(guān)系，要，本題通過(guò)換元法使待證不等式的左右兩邊分別是倒數(shù)關(guān)系，和和(1)中不等式類似，從而可利用中不等式類似，從而可利用(1)的結(jié)論證明的結(jié)論證明1(2012寧波模擬寧波模擬)定義：若數(shù)列定義：若數(shù)列An滿足滿足An1A，則稱數(shù)，則稱數(shù)列列An為為“平方遞推數(shù)列平方遞推數(shù)列”已知數(shù)列已知數(shù)列an中，中，a12，點(diǎn)，點(diǎn)(an，an1)在函數(shù)在函數(shù)f(x)2x22x的圖象上，其中的圖象上，其中n為正整數(shù)證明：為正整數(shù)證明：數(shù)列數(shù)列2an1是是“平方遞推數(shù)列平方遞推數(shù)列”