創(chuàng)新課堂創(chuàng)新課堂第一單元第一單元創(chuàng)新課堂創(chuàng)新課堂第一單元第一單元創(chuàng)新課堂創(chuàng)新課堂創(chuàng)新課堂創(chuàng)新課堂第一單元第一單元創(chuàng)新課堂創(chuàng)新課堂創(chuàng)新課堂創(chuàng)新課堂第一單元第一單元創(chuàng)新課堂創(chuàng)新課堂創(chuàng)新課堂創(chuàng)新課堂第二單元第二單元創(chuàng)新課堂創(chuàng)新課堂第二單元第二單元 函數(shù)、導數(shù)及其應用函數(shù)、導數(shù)及其應用創(chuàng)新課堂創(chuàng)新課堂第一單元第一單元創(chuàng)新課堂創(chuàng)新課堂第一單元第一單元創(chuàng)新課堂創(chuàng)新課堂創(chuàng)新課堂創(chuàng)新課堂第一單元第一單元創(chuàng)新課堂創(chuàng)新課堂創(chuàng)新課堂創(chuàng)新課堂第一單元第一單元創(chuàng)新課堂創(chuàng)新課堂創(chuàng)新課堂創(chuàng)新課堂第二單元第二單元創(chuàng)新課堂創(chuàng)新課堂第十四節(jié)第十四節(jié) 導數(shù)的應用導數(shù)的應用(2)1.利用導數(shù)求函數(shù)的最值一般地,在區(qū)間a,b上連續(xù)的函數(shù)f(x)在a,b上必有最大值與最小值,求最值的步驟如下:求函數(shù)f(x)在a,b內(nèi)的極值;求函數(shù)f(x)在區(qū)間端點的值f(a)、f(b);將函數(shù)f(x)的各極值與f(a)、f(b)比較,其中最大的是最大值,最小的是最小值.知識匯合知識匯合2.利用導數(shù)研究實際問題的最值,其一般步驟為:分析實際問題中各量之間的關(guān)系,找出對應的數(shù)學模型,寫出實際問題中變量之間的函數(shù)關(guān)系y=f(x)(注意函數(shù)的實際需要的限制);求函數(shù)的導數(shù)f(x),解方程f(x)=0;比較函數(shù)在定義域的區(qū)間端點和使f(x)=0的點的函數(shù)值的大小,其中最大的為最大值,最小的為最小值. 【例1】已知函數(shù)f(x)=4x3+ax2+bx+5的圖象在x=1處的切線方程為y=12x，且f(1)=12.(1)求函數(shù)f(x)的解析式；(2)求f(x)在3,1上的最值題型一利用導數(shù)求函數(shù)的最值分析：先根據(jù)條件求出函數(shù)f(x)的解析式，然后求出f(x)的極值點，計算出極值后，把極值與f(-3)，f(1)比較大小 典例分析典例分析 解：(1)f(x)=12x2+2ax+b，且曲線y=f(x)在x=1處切線斜率為-12.解得 f(x)=4x3-3x2-18x+5.11221214512fabfab 318.ab (2)f(x)=12x2-6x-18=6(x+1)(2x-3)，令f(x)=0得x1=1，x2=則x，f(x)，f(x)的變化情況如下表：3231,2323,2614-x(-，-1)-1f(x)+0-0+f(x)單調(diào)遞增極大值16單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增x=13,1，且f(1)=16，f(3)=76，f(1)=12，f(x)在3,1上的最小值為76，最大值為16.【例2】(2010全國)設函數(shù)f(x)=1e-x，求證：x1時，f(x)1xx題型二利用導數(shù)證明不等式問題分析：根據(jù)要證明問題的特征，進行必要的化歸轉(zhuǎn)化，然后通過構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性來解決這類問題 證明：x1時，f(x)當且僅當ex1+x，令g(x)=exx1，則g(x)=ex1.當x0時，g(x)0，g(x)在0，+)上是增函數(shù)；當x0時，g(x)0，g(x)在(，0上是減函數(shù)于是g(x)在x=0處取最小值，因而當xR時，g(x)g(0)，即ex1+x，所以當x1時，f(x)1xx1xx題型三利用導數(shù)求最值解決實際問題【例3】(2010江蘇)將邊長為1 m的正三角形薄片，沿一條平行于底邊的直線剪成兩塊，其中一塊是梯形，記S=，則S的最小值是_ 2梯形的周長梯形的面積分析：表示出關(guān)于S的解析式，利用求導方法來求最小值 13解：設剪成的小正三角形的邊長為x，則 令S(x)=0，0 x1，x=. 當x時，S(x)0，當x時，S(x)0，故當x=時，S取得最小值是.222343(0 x1)11331122xxSxxx 222426 132( )123xxxxS xx 10,31,131332 33高考體驗高考體驗 1. 函數(shù)y=2x3-3x2-12x+5在0,3上的最大值是() A. 5B. 4C. -4D. -5解析：f(x)=6x2-6x-12，令f(x)=0，得x=-1或x=2，x0,3，易知x=2為極值點又f(0)=5，f(3)=-4，f(2)=-15，f(x)max=5. A練習鞏固練習鞏固2. 用一長為16 m的籬笆，圍成一個矩形養(yǎng)雞場，則此養(yǎng)雞場的最大面積是()A. 32 m2 B. 14 m2 C. 16 m2 D. 18 m2解析：設長為x m，則寬為(16-2x)2=(8-x) m，面積S(x)=x(8-x)=-x2+8x，其中0 x8，令S(x)=-2x+8=0，得x=4為極值點，且在(0,8)上是唯一的極值點，故x=4時，S(x)有最大值S(4)=-42+84=16(m2) C3. 函數(shù)f(x)=x+2cos x在 上取得最大值時，x的值是( )A. 0 B. C. D. 6320,2 B解析：f(x)=1-2sin x，令f(x)=0，得x=又f(0)=2， ，比較這三個數(shù)知 最大， 6,32266ff6f6x4. 已知f(x)=2x3-6x2+m在-2,2上有最大值3，此函數(shù)在-2,2上的最小值為()A. -37 B. -29 C. -5 D. 以上都不對解析：f(x)=6x212x=6x(x-2)，令f(x)=0得x1=0，x2=2，分別計算得f(2)=40+m，f(0)=m，f(2)=8+m，比較大小知f(0)最大，f(2)最小，m=3，f(2)=40+3=37.A5. 若直線y=m與y=3x-x3的圖象有三個不同交點，則m取值范圍是_解析：y=3-3x2=-3(x+1)(x-1)，令y=0得x1=-1，x2=1為函數(shù)y=3x-x3的極值點，且驗得在x1=-1處取極小值-2，在x2=1處取極大值2，結(jié)合圖象知-2m2.(-2,2)6.(2010江西)設函數(shù)f(x)=ln x+ln(2-x)+ax(a0)(1)當a=1時，求f(x)的單調(diào)區(qū)間； (2)若f(x)在(0,1上的最大值為，求a的值12解析：函數(shù)f(x)的定義域為(0,2)， (1)當a=1時， ，所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0， )，單調(diào)遞減區(qū)間為( ，2) 22( )2xfxxx 11( )2fxaxx22(2)當x(0,1時， 即f(x)在(0,1上單調(diào)遞增，故f(x)在(0,1上的最大值為f(1)=a，因此a= . 22( )02xfxxx 127.（2010山東)已知某生產(chǎn)廠家的年利潤y(單位：萬元)與年產(chǎn)量x(單位：萬件)的函數(shù)關(guān)系式為y=-x3+81x-234，則使該生產(chǎn)廠家獲取最大年利潤的年產(chǎn)量為()A. 13萬件 B. 11萬件 C. 9萬件 D. 7萬件13C解析：y=x2+81，令y=0，x0，得x=9，函數(shù)在(0,9)上單調(diào)遞增，在(9，+)上單調(diào)遞減，因此x=9是函數(shù)的極大值點，也是最大值點，即函數(shù)在x=9(萬元)處取最大值