第3講空間向量與立體幾何真題感悟自主學(xué)習導(dǎo)引答案A2(2012遼寧)如圖，直三棱柱ABCABC，BAC90，ABACAA，點M，N分別為AB和BC的中點(1)證明：MN平面AACC；(2)若二面角AMNC為直二面角，求的值解析(1)證明證法一連接AB，AC，由已知BAC90，ABAC，三棱柱ABCABC為直三棱柱，所以M為AB的中點又因為N為BC的中點，所以MNAC.又MN平面AACC，AC平面AACC，因此MN平面AACC.證法二取AB的中點P，連接MP，NP.而M，N分別為AB與BC的中點，所以MPAA，PNAC，所以MP平面AACC，PN平面AACC.又MPNPP，因此平面MPN平面AACC.而MN平面MPN，所以MN平面AACC.(2)以A為坐標原點，分別以直線AB，AC，AA為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系Oxyz，如圖所示設(shè)AA1，則ABAC，應(yīng)用空間向量解決立體幾何問題是高考的必考考點，空間向量的工具性主要體現(xiàn)在平行與垂直的判定，求空間的角的大小解題時要特別注意避免計算失誤考題分析網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建高頻考點突破考點一：利用向量證明平行與垂直【例1】如圖所示，在底面是矩形的四棱錐PABCD中，PA底面ABCD，E、F分別是PC、PD的中點，PAAB1，BC2.求證：(1)EF平面PAB；(2)平面PAD平面PDC.審題導(dǎo)引建立空間直角坐標系后，使用向量的共線定理證明即可證明第(1)問，第(2)問根據(jù)向量的垂直關(guān)系證明線線垂直，進而證明線面垂直，得出面面垂直【規(guī)律總結(jié)】用空間向量證明位置關(guān)系的方法(1)線線平行：欲證直線與直線平行，只要證明它們的方向向量平行即可；(2)線面平行：用線面平行的判定定理，證明直線的方向向量與平面內(nèi)一條直線的方向向量平行；用共面向量定理，證明平面外直線的方向向量與平面內(nèi)兩相交直線的方向向量共面；證明直線的方向向量與平面的法向量垂直；(3)面面平行：平面與平面的平行，除了用線面平行的判定定理轉(zhuǎn)化為線面平行外，只要證明兩平面的法向量平行即可；(4)線線垂直：直線與直線的垂直，只要證明兩直線的方向向量垂直；(5)線面垂直：用線面垂直的定義，證明直線的方向向量與平面內(nèi)的任意一條直線的方向向量垂直；用線面垂直的判定定理，證明直線的方向向量與平面內(nèi)的兩條相交直線的方向向量垂直；證明直線的方向向量與平面的法向量平行；(6)面面垂直：平面與平面的垂直，除了用面面垂直的判定定理轉(zhuǎn)化為線面垂直外，只要證明兩平面的法向量垂直即可【變式訓(xùn)練】1如圖所示，在底面是正方形的四棱錐PABCD中，PA平面ABCD，BD交AC于點E，F(xiàn)是PC的中點，G為AC上一點(1)求證：BDFG；(2)確定點G在線段AC上的位置，使FG平面PBD，并說明理由解析(1)證明以A為原點，AB、BD、PA所在的直線分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標系A(chǔ)xyz，如圖所示，設(shè)正方形ABCD的邊長為1，則A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，D(0,1,0)，考點二：利用向量求線線角、線面角【例2】如圖所示，在四棱錐PABCD中，底面ABCD是矩形，PA平面ABCD，PAAD2，AB1，BMPD于點M.(1)求證：AMPD；(2)求直線CD與平面ACM所成角的余弦值審題導(dǎo)引建立坐標系，求出平面ACM的法向量，利用向量法求直線CD與平面ACM所成角的余弦值規(guī)范解答(1)證明PA平面ABCD，AB平面ABCD，PAAB.ABAD，ADPAA，AD平面PAD，PA平面PAD，AB平面PAD.PD平面PAD，ABPD.BMPD，ABBMB，AB平面ABM，BM平面ABM，PD平面ABM.AM平面ABM，AMPD.【規(guī)律總結(jié)】向量法求線線角、線面角的注意事項(1)建立適當?shù)闹苯亲鴺讼?，根?jù)對稱性原則，使盡可能多的點在坐標軸，易于求各點的坐標；(2)求直線與平面所成的角，主要通過直線的方向向量與平面的法向量的夾角求得，即sin |cos |.【變式訓(xùn)練】考點三：利用向量求二面角【例3】(2012泉州模擬)如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1中，底面ABC為等腰直角三角形，B90，D為棱BB1上一點，且面DA1C面AA1C1C.審題導(dǎo)引(1)取AC的中點F，A1C的中點E，利用BD綊EF證明；(2)以D為原點建系，設(shè)出相關(guān)點的坐標，利用公式求解規(guī)范解答(1)證明過點D作DEA1C于E點，取AC的中點F，連BF、EF.(2)建立如圖所示的直角坐標系，設(shè)AA12b，ABBCa，【規(guī)律總結(jié)】利用向量求二面角的注意事項(1)兩平面的法向量的夾角不一定就是所求的二面角，有可能兩法向量夾角的補角為所求(2)求平面的法向量的方法：待定系數(shù)法：設(shè)出法向量坐標，利用垂直關(guān)系建立坐標的方程解之先確定平面的垂線，然后取相關(guān)線段對應(yīng)的向量，即確定了平面的法向量當平面的垂線較易確定時，?？紤]此方法【變式訓(xùn)練】3(2012北京東城二模)如圖，矩形AMND所在的平面與直角梯形MBCN所在的平面互相垂直，MBNC，MNMB，且MCCB，BC2，MB4，DN3.(1)求證：AB平面DNC；(2)求二面角DBCN的余弦值解析(1)證明因為MBNC，MB 平面DNC，NC平面DNC，所以MB平面DNC.因為AMND為矩形，所以MADN.又MA 平面DNC，DN平面DNC，所以MA平面DNC.又MAMBM，且MA，MB平面AMB，所以平面AMB平面DNC.又AB平面AMB，所以AB平面DNC.(2)由已知平面AMND平面MBCN，且平面AMND平面MBCNMN，DNMN，所以DN平面MBCN，又MNNC，故以點N為坐標原點，建立空間直角坐標系Nxyz.名師押題高考【押題1】如圖，已知三棱柱ABCA1B1C1的各條棱長都相等，且CC1底面ABC，M是側(cè)棱CC1的中點，則異面直線AB1和BM所成的角為答案A押題依據(jù)空間向量與立體幾何相結(jié)合是高考的一個熱點問題，空間向量在高考試題中的出現(xiàn)主要體現(xiàn)其工具性，獨立命題的可能性很小，一般用以解決立體幾何中的線面位置關(guān)系的證明，求空間角的大小及空間的距離解析(1)證明因為側(cè)面PCD底面ABCD，PDCD，所以PD底面ABCD，所以PDAD.又因為ADC90，即ADCD，以D為原點建立如圖所示的空間直角坐標系，押題依據(jù)高考對立體幾何的考查，主要以柱體、錐體或其組合體為載體，考查線面位置關(guān)系的判定與證明，求空間角的大小等，但有時也會給出位置關(guān)系或角的大小，求使其成立的充分條件，即所謂的探索性問題，此類問題利用空間向量解決則更加方便本題立意新穎，考查全面，難度適中，故押此題課時訓(xùn)練提能課時訓(xùn)練提能本講結(jié)束請按ESC鍵返回