第二講數(shù)列求和及綜合應用第二講數(shù)列求和及綜合應用主干知識整合主干知識整合2數(shù)列求和的方法技巧數(shù)列求和的方法技巧(1)轉化法轉化法有些數(shù)列，既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，若有些數(shù)列，既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，若將數(shù)列通項拆開或變形，可轉化為幾個等差、等比將數(shù)列通項拆開或變形，可轉化為幾個等差、等比數(shù)列或常見的數(shù)列，即先分別求和，然后再合并數(shù)列或常見的數(shù)列，即先分別求和，然后再合并(2)錯位相減法錯位相減法這是在推導等比數(shù)列的前這是在推導等比數(shù)列的前n項和公式時所用的方法，項和公式時所用的方法，這種方法主要用于求數(shù)列這種方法主要用于求數(shù)列anbn的前的前n項和，其中項和，其中an，bn分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列(3)倒序相加法倒序相加法這是在推導等差數(shù)列前這是在推導等差數(shù)列前n項和公式時所用的方法，項和公式時所用的方法，也就是將一個數(shù)列倒過來排列也就是將一個數(shù)列倒過來排列(反序反序)，當它與原，當它與原數(shù)列相加時若有公式可提，并且剩余項的和易于數(shù)列相加時若有公式可提，并且剩余項的和易于求得，則這樣的數(shù)列可用倒序相加法求和求得，則這樣的數(shù)列可用倒序相加法求和(4)裂項相消法裂項相消法利用通項變形，將通項分裂成兩項或幾項的差，利用通項變形，將通項分裂成兩項或幾項的差，通過相加過程中的相互抵消，最后只剩下有限項通過相加過程中的相互抵消，最后只剩下有限項的和的和3數(shù)列的應用題數(shù)列的應用題(1)應用問題一般文字敘述較長，反映的事物背景應用問題一般文字敘述較長，反映的事物背景陌生，知識涉及面廣，因此要解好應用題，首先陌生，知識涉及面廣，因此要解好應用題，首先應當提高閱讀理解能力，將文字語言轉化為數(shù)學應當提高閱讀理解能力，將文字語言轉化為數(shù)學語言或數(shù)學符號，實際問題轉化為數(shù)學問題，然語言或數(shù)學符號，實際問題轉化為數(shù)學問題，然后再用數(shù)學運算、數(shù)學推理予以解決后再用數(shù)學運算、數(shù)學推理予以解決(2)數(shù)列應用題一般是等比、等差數(shù)列問題，其中，數(shù)列應用題一般是等比、等差數(shù)列問題，其中，等比數(shù)列涉及的范圍比較廣，如經濟上涉及利潤、等比數(shù)列涉及的范圍比較廣，如經濟上涉及利潤、成本、效益的增減，解決該類題的關鍵是建立一成本、效益的增減，解決該類題的關鍵是建立一個數(shù)列模型個數(shù)列模型an，利用該數(shù)列的通項公式、遞推公，利用該數(shù)列的通項公式、遞推公式或前式或前n項和公式求解項和公式求解高考熱點講練高考熱點講練裂項相消求和裂項相消求和例例1錯位相減求和錯位相減求和例例2【歸納拓展】【歸納拓展】若若an是等差數(shù)列，是等差數(shù)列，bn是等比是等比數(shù)列，則數(shù)列，則cnanbn的前的前n項和可利用錯位相減法項和可利用錯位相減法求得所謂求得所謂“錯位錯位”，就是要找，就是要找“同類項同類項”相相減要注意的是相減后得到部分等比數(shù)列的和，減要注意的是相減后得到部分等比數(shù)列的和，此時一定要查清其項數(shù)此時一定要查清其項數(shù)變式訓練變式訓練2已知數(shù)列已知數(shù)列an的前的前n項和為項和為Sn，a11，an12Sn(nN*)(1)求數(shù)列求數(shù)列an的通項的通項an；(2)求數(shù)列求數(shù)列nan的前的前n項和項和Tn.數(shù)列與不等式的綜合問題數(shù)列與不等式的綜合問題例例3 已知已知an是公比為是公比為q的等比數(shù)列，且的等比數(shù)列，且a12a23a3.(1)求求q的值；的值；(2)設設bn是首項為是首項為2，公差為，公差為q的等差數(shù)列，其的等差數(shù)列，其前前n項和為項和為Tn.當當n2時，試比較時，試比較bn與與Tn的大小的大小【歸納拓展歸納拓展】一般在數(shù)列不等式的證明中，一般在數(shù)列不等式的證明中，解題有個角度：放縮法，但在放縮過程中要注解題有個角度：放縮法，但在放縮過程中要注意放縮的方向具有一致性，在放縮的度上始終意放縮的方向具有一致性，在放縮的度上始終把待證結果作為放縮的目標，適時調整放縮度，把待證結果作為放縮的目標，適時調整放縮度，不能放得過大或過小當然數(shù)列與不等式的交不能放得過大或過小當然數(shù)列與不等式的交匯還有很多，具有數(shù)列與不等式的雙重角色，匯還有很多，具有數(shù)列與不等式的雙重角色，蘊涵著兩種不同的思想，但在解題時，依然以蘊涵著兩種不同的思想，但在解題時，依然以數(shù)列與不等式的基礎知識與方法作為解題的依數(shù)列與不等式的基礎知識與方法作為解題的依據(jù)，綜合分析并解答問題據(jù)，綜合分析并解答問題解：解：(1)因為因為Sn2ann，令，令n1，解得，解得a11，再分別令再分別令n2，n3，解得，解得a23，a37.(2)因為因為Sn2ann，所以，所以Sn12an1(n1)(n2，nN*)，兩式相減，得，兩式相減，得an2an11，所以所以an12(an11)(n2，nN*)又因為又因為a112，所以，所以an1是首項為是首項為2，公比為，公比為2的等比數(shù)的等比數(shù)列列則則an12n.故故an2n1. 假設某市假設某市2011年新建住房年新建住房400萬平方米，萬平方米，其中有其中有250萬平方米是中低價房預計在今后的萬平方米是中低價房預計在今后的若干年內，該市每年新建住房面積平均比上一若干年內，該市每年新建住房面積平均比上一年增長年增長8%.另外，每年新建住房中，中低價房的另外，每年新建住房中，中低價房的面積均比上一年增加面積均比上一年增加50萬平方米那么，到哪萬平方米那么，到哪一年底一年底數(shù)列的實際應用問題數(shù)列的實際應用問題例例4(1)該市歷年所建中低價房的累計面積該市歷年所建中低價房的累計面積(以以2011年為累計的第一年年為累計的第一年)將首次不少于將首次不少于4750萬平方萬平方米？米？(2)當年建造的中低價房的面積占該年建造住房當年建造的中低價房的面積占該年建造住房面積的比例首次大于面積的比例首次大于85%?(2)設新建住房面積形成數(shù)列設新建住房面積形成數(shù)列bn，由題意可知，由題意可知bn是等比數(shù)列是等比數(shù)列其中其中b1400，q1.08.則則bn400(1.08)n1.由題意可知由題意可知an0.85bn，有有250(n1)50400(1.08)n10.85.解得滿足上述不等式的最小正整數(shù)解得滿足上述不等式的最小正整數(shù)n6.到到2016年底，當年建造的中低價房的面積占年底，當年建造的中低價房的面積占該年建造住房面積的比例首次大于該年建造住房面積的比例首次大于85%.【歸納拓展歸納拓展】(1)用數(shù)列知識解相關的實際問用數(shù)列知識解相關的實際問題，關鍵是合理建立數(shù)學模型題，關鍵是合理建立數(shù)學模型數(shù)列模型，數(shù)列模型，弄清所構造的數(shù)列的首項是什么，項數(shù)是多少，弄清所構造的數(shù)列的首項是什么，項數(shù)是多少，然后轉化為解數(shù)列問題求解時，要明確目標，然后轉化為解數(shù)列問題求解時，要明確目標，即搞清是求和，求通項，還是解遞推關系問題，即搞清是求和，求通項，還是解遞推關系問題，所求結論對應的是一個解方程問題，解不等式所求結論對應的是一個解方程問題，解不等式問題，還是一個最值問題，然后進行合理推算，問題，還是一個最值問題，然后進行合理推算，得出實際問題的結果得出實際問題的結果(2)解這類數(shù)列問題，在列項時，一般先不算出解這類數(shù)列問題，在列項時，一般先不算出最后結果，這樣便于發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律，進而寫最后結果，這樣便于發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律，進而寫出通項公式出通項公式變式訓練變式訓練4某市投資甲、乙兩個工廠，某市投資甲、乙兩個工廠，2011年年兩工廠的年產量均為兩工廠的年產量均為100萬噸，在今后的若干年萬噸，在今后的若干年內，甲工廠的年產量每年比上一年增加內，甲工廠的年產量每年比上一年增加10萬噸，萬噸，乙工廠第乙工廠第n年比上一年增加年比上一年增加2n1萬噸記萬噸記2011年年為第一年，甲、乙兩工廠第為第一年，甲、乙兩工廠第n年的年產量分別記年的年產量分別記為為an，bn.(1)求數(shù)列求數(shù)列an，bn的通項公式；的通項公式；(2)若某工廠年產量超過另一工廠年產量的若某工廠年產量超過另一工廠年產量的2倍，倍，則將另一工廠兼并，問到哪一年底其中一個工則將另一工廠兼并，問到哪一年底其中一個工廠將被另一工廠兼并廠將被另一工廠兼并解：解：(1)因為因為an是等差數(shù)列，是等差數(shù)列，a1100，d10，所以所以an10n90.因為因為bnbn12n1，bn1bn22n2，b2b12，所以所以bn1002222n12n98.(2)當當n5時，時，anbn且且an2bn.當當n6時，時，anbn，所以甲工廠有可能被乙工廠，所以甲工廠有可能被乙工廠兼并兼并2anbn即即2(10n90)2n98，解得解得n8，故，故2018年底甲工廠將被乙工廠兼并年底甲工廠將被乙工廠兼并考題解答技法考題解答技法例例本部分內容講解結束本部分內容講解結束按按ESC鍵退出全屏播放鍵退出全屏播放