第四節(jié)變量間的相關(guān)關(guān)系、統(tǒng)計案例第四節(jié)變量間的相關(guān)關(guān)系、統(tǒng)計案例一條直線附近一條直線附近 距離的平方距離的平方 4獨立性檢驗獨立性檢驗(1)利用隨機(jī)變量利用隨機(jī)變量_來判斷來判斷“兩個分類變量兩個分類變量_”的方法的方法稱為獨立性檢驗稱為獨立性檢驗(2)列聯(lián)表：列出的兩個分類變量的頻數(shù)表，稱為列聯(lián)表假設(shè)列聯(lián)表：列出的兩個分類變量的頻數(shù)表，稱為列聯(lián)表假設(shè)有兩個分類變量有兩個分類變量X和和Y，它們的可能取值分別為，它們的可能取值分別為x1，x2和和y1，y2，其樣本頻數(shù)列聯(lián)表，其樣本頻數(shù)列聯(lián)表(稱為稱為22列聯(lián)表列聯(lián)表)為為y1y2總計總計x1aBabx2cdcd總計總計acbdabcd22列聯(lián)表列聯(lián)表K2有關(guān)系有關(guān)系abcd 2殘差分析中的相關(guān)指數(shù)殘差分析中的相關(guān)指數(shù)R2對模型擬合效果的影響是怎樣的？對模型擬合效果的影響是怎樣的？【提示【提示】R2越大，意味著殘差平方和越小，即模型的擬合效果越大，意味著殘差平方和越小，即模型的擬合效果越好越好R2越小，殘差平方和越大，即模型的擬合效果越差在線越小，殘差平方和越大，即模型的擬合效果越差在線性回歸模型中，性回歸模型中，R2表示解釋變量對于預(yù)報變量變化的貢獻(xiàn)率，表示解釋變量對于預(yù)報變量變化的貢獻(xiàn)率，R2越接近于越接近于1，表示回歸的效果越好，表示回歸的效果越好【答案【答案】D【解析【解析】由題意回歸方程斜率應(yīng)為負(fù)，故排除由題意回歸方程斜率應(yīng)為負(fù)，故排除B，D，又銷，又銷售量應(yīng)為正值，故售量應(yīng)為正值，故C不正確，故選不正確，故選A.【答案【答案】A【解析【解析】由題意知由題意知0.254(x1)0.321(0.254x0.321)0.254.【答案【答案】0.2544在一項打鼾與患心臟病的調(diào)查中，共調(diào)查了在一項打鼾與患心臟病的調(diào)查中，共調(diào)查了1 671人，經(jīng)過計人，經(jīng)過計算算K2的觀測值的觀測值k27.63，根據(jù)這一數(shù)據(jù)分析，我們有理由認(rèn)為打，根據(jù)這一數(shù)據(jù)分析，我們有理由認(rèn)為打鼾與患心臟病是鼾與患心臟病是_的的(填有關(guān)或無關(guān)填有關(guān)或無關(guān))【解析【解析】k27.636.635，有有99%的把握認(rèn)為的把握認(rèn)為“打鼾與患心臟病有關(guān)打鼾與患心臟病有關(guān)”【答案【答案】有關(guān)有關(guān) 利用散點圖判斷兩個變量的相關(guān)性利用散點圖判斷兩個變量的相關(guān)性 下面是水稻產(chǎn)量與施化肥量的一組觀測數(shù)據(jù)：下面是水稻產(chǎn)量與施化肥量的一組觀測數(shù)據(jù)： 施化肥量施化肥量15202530354045水稻產(chǎn)量水稻產(chǎn)量320330360410460470480(1)將上述數(shù)據(jù)制成散點圖；將上述數(shù)據(jù)制成散點圖；(2)你能從散點圖中發(fā)現(xiàn)施化肥量與水稻產(chǎn)量近似成什么關(guān)系你能從散點圖中發(fā)現(xiàn)施化肥量與水稻產(chǎn)量近似成什么關(guān)系嗎？水稻產(chǎn)量會一直隨施化肥量的增加而增長嗎？嗎？水稻產(chǎn)量會一直隨施化肥量的增加而增長嗎？【思路點撥【思路點撥】分析觀測數(shù)據(jù)、制圖，分析散點圖，做出判分析觀測數(shù)據(jù)、制圖，分析散點圖，做出判斷斷【嘗試解答【嘗試解答】(1)散點圖如下：散點圖如下：(2)從圖中可以發(fā)現(xiàn)施化肥量與水稻產(chǎn)量具有線性相關(guān)關(guān)系，從圖中可以發(fā)現(xiàn)施化肥量與水稻產(chǎn)量具有線性相關(guān)關(guān)系，當(dāng)施化肥量由小到大變化時，水稻產(chǎn)量由小變大，圖中的數(shù)據(jù)當(dāng)施化肥量由小到大變化時，水稻產(chǎn)量由小變大，圖中的數(shù)據(jù)點大致分布在一條直線的附近，因此施化肥量和水稻產(chǎn)量近似點大致分布在一條直線的附近，因此施化肥量和水稻產(chǎn)量近似成線性相關(guān)關(guān)系成線性相關(guān)關(guān)系不會，水稻產(chǎn)量只是在一定范圍內(nèi)隨著化不會，水稻產(chǎn)量只是在一定范圍內(nèi)隨著化肥施用量的增加而增長肥施用量的增加而增長 1(1)利用散點圖判斷兩個變量是否有相關(guān)關(guān)系是比較直觀簡便利用散點圖判斷兩個變量是否有相關(guān)關(guān)系是比較直觀簡便的方法的方法(2)如果所有的樣本點都落在某一函數(shù)的曲線附近，如果所有的樣本點都落在某一函數(shù)的曲線附近，變量之間就有相關(guān)關(guān)系如果所有的樣本點都落在某一直線附變量之間就有相關(guān)關(guān)系如果所有的樣本點都落在某一直線附近，變量之間就有線性相關(guān)關(guān)系近，變量之間就有線性相關(guān)關(guān)系2在散點圖中，若點散布在從左下角到右上角的區(qū)域，稱為正在散點圖中，若點散布在從左下角到右上角的區(qū)域，稱為正相關(guān)；若散布在從左上角到右下角的區(qū)域稱為負(fù)相關(guān)相關(guān)；若散布在從左上角到右下角的區(qū)域稱為負(fù)相關(guān)5個學(xué)生的數(shù)學(xué)和物理成績?nèi)缦卤恚簜€學(xué)生的數(shù)學(xué)和物理成績?nèi)缦卤恚?由散點圖判斷它們是否有相關(guān)關(guān)系，是正相關(guān)還是負(fù)相關(guān)？由散點圖判斷它們是否有相關(guān)關(guān)系，是正相關(guān)還是負(fù)相關(guān)？ 學(xué)生學(xué)生學(xué)科學(xué)科ABCDE數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)8075706560物理物理7066686462【解【解】以以x軸表示數(shù)學(xué)成績，軸表示數(shù)學(xué)成績，y軸表示物理成績，可得到相應(yīng)軸表示物理成績，可得到相應(yīng)的散點圖如圖所示的散點圖如圖所示由散點圖可知由散點圖可知，兩者之間具有相關(guān)關(guān)系兩者之間具有相關(guān)關(guān)系，且為正相關(guān)且為正相關(guān) (2011安徽高考安徽高考)某地最近十年糧食需求量逐年上升，下某地最近十年糧食需求量逐年上升，下表是部分統(tǒng)計數(shù)據(jù)：表是部分統(tǒng)計數(shù)據(jù)：(1)利用所給數(shù)據(jù)求年需求量與年份之間的回歸直線方程利用所給數(shù)據(jù)求年需求量與年份之間的回歸直線方程bxa；(2)利用利用(1) 中所求出的直線方程預(yù)測該地中所求出的直線方程預(yù)測該地2012年的糧食需求年的糧食需求量量線性回歸分析線性回歸分析 年份年份20022004200620082010需求量需求量(萬噸萬噸)236246257276286【思路點撥【思路點撥】(1)為了方便計算，可將數(shù)據(jù)適當(dāng)處理，再列對為了方便計算，可將數(shù)據(jù)適當(dāng)處理，再列對應(yīng)表格，求回歸系數(shù)；應(yīng)表格，求回歸系數(shù)；(2)根據(jù)回歸方程進(jìn)行預(yù)測分析根據(jù)回歸方程進(jìn)行預(yù)測分析【嘗試解答【嘗試解答】(1)由所給數(shù)據(jù)看出，年需求量與年份之間是近由所給數(shù)據(jù)看出，年需求量與年份之間是近似直線上升，下面來求回歸直線方程，為此對數(shù)據(jù)預(yù)處理如下：似直線上升，下面來求回歸直線方程，為此對數(shù)據(jù)預(yù)處理如下：年份年份200642024需求量需求量257211101929 為了分析某個高三學(xué)生的學(xué)習(xí)狀態(tài)，對其下一階段的學(xué)為了分析某個高三學(xué)生的學(xué)習(xí)狀態(tài)，對其下一階段的學(xué)習(xí)提供指導(dǎo)性建議現(xiàn)對他前習(xí)提供指導(dǎo)性建議現(xiàn)對他前7次考試的數(shù)學(xué)成績次考試的數(shù)學(xué)成績x、物理成績、物理成績y進(jìn)行分析下面是該生進(jìn)行分析下面是該生7次考試的成績次考試的成績.(1)他的數(shù)學(xué)成績與物理成績哪個更穩(wěn)定？為什么？他的數(shù)學(xué)成績與物理成績哪個更穩(wěn)定？為什么？(2)已知該生的物理成績已知該生的物理成績y與數(shù)學(xué)成績與數(shù)學(xué)成績x是線性相關(guān)的，若該生是線性相關(guān)的，若該生的物理成績達(dá)到的物理成績達(dá)到115分，請你估計他的數(shù)學(xué)成績大約是多少？分，請你估計他的數(shù)學(xué)成績大約是多少？并請你根據(jù)物理成績與數(shù)學(xué)成績的相關(guān)性，給出該生在學(xué)習(xí)數(shù)并請你根據(jù)物理成績與數(shù)學(xué)成績的相關(guān)性，給出該生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、物理上的合理建議學(xué)、物理上的合理建議數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)888311792108100112物理物理949110896104101106某地區(qū)甲校高二年級有某地區(qū)甲校高二年級有1 100人，乙校高二年級有人，乙校高二年級有900人，人，為了統(tǒng)計兩個學(xué)校高二年級在學(xué)業(yè)水平考試中的數(shù)學(xué)學(xué)科成績，為了統(tǒng)計兩個學(xué)校高二年級在學(xué)業(yè)水平考試中的數(shù)學(xué)學(xué)科成績，采用分層抽樣的方法在兩校共抽取了采用分層抽樣的方法在兩校共抽取了200名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績，名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績，如下表：如下表：(已知本次測試合格線是已知本次測試合格線是50分，兩校合格率均為分，兩校合格率均為100%)甲校高二年級數(shù)學(xué)成績：甲校高二年級數(shù)學(xué)成績：獨立性檢驗獨立性檢驗 分組分組50,60)60,70)70,80)80,90)90,100頻數(shù)頻數(shù)10253530 x乙校高二年級數(shù)學(xué)成績：乙校高二年級數(shù)學(xué)成績：(1)計算計算x，y的值，并分別估計以上兩所學(xué)校數(shù)學(xué)成績的平均的值，并分別估計以上兩所學(xué)校數(shù)學(xué)成績的平均分分(精確到精確到1分分)(2)若數(shù)學(xué)成績不低于若數(shù)學(xué)成績不低于80分為優(yōu)秀，低于分為優(yōu)秀，低于80分的為非優(yōu)秀，根分的為非優(yōu)秀，根據(jù)以上統(tǒng)計數(shù)據(jù)列出據(jù)以上統(tǒng)計數(shù)據(jù)列出22列聯(lián)表，并回答能否在犯錯誤的概率列聯(lián)表，并回答能否在犯錯誤的概率不超過不超過0.05的前提下認(rèn)為的前提下認(rèn)為“兩個學(xué)校的數(shù)學(xué)成績有差異？兩個學(xué)校的數(shù)學(xué)成績有差異？”【思路點撥【思路點撥】(1)先求甲、乙兩校各抽取的人數(shù)，再計算先求甲、乙兩校各抽取的人數(shù)，再計算x、y的值，最后根據(jù)頻數(shù)和組中值估計兩個學(xué)校數(shù)學(xué)成績的平均的值，最后根據(jù)頻數(shù)和組中值估計兩個學(xué)校數(shù)學(xué)成績的平均分分(2)列出列出22列聯(lián)表，計算列聯(lián)表，計算K2后確定答案后確定答案分組分組50,60)60,70)70,80)80,90)90,100頻數(shù)頻數(shù)153025y5甲校甲校乙校乙?？傆嬁傆媰?yōu)秀優(yōu)秀402060非優(yōu)秀非優(yōu)秀7070140總計總計11090200 為調(diào)查某地區(qū)老年人是否需要志愿者提供幫助，用簡單為調(diào)查某地區(qū)老年人是否需要志愿者提供幫助，用簡單隨機(jī)抽樣方法從該地區(qū)調(diào)查了隨機(jī)抽樣方法從該地區(qū)調(diào)查了500位老年人，結(jié)果如下：位老年人，結(jié)果如下： (1)估計該地區(qū)老年人中，需要志愿者提供幫助的老年人的比估計該地區(qū)老年人中，需要志愿者提供幫助的老年人的比例；例；(2)能否有能否有99%的把握認(rèn)為該地區(qū)的老年人是否需要志愿者提的把握認(rèn)為該地區(qū)的老年人是否需要志愿者提供幫助與性別有關(guān)？供幫助與性別有關(guān)？ 性別性別是否需要志愿者是否需要志愿者男男女女需要需要4030不需要不需要160270(3)根據(jù)根據(jù)(2)的結(jié)論，能否提出更好的調(diào)查方法來估計該地區(qū)的的結(jié)論，能否提出更好的調(diào)查方法來估計該地區(qū)的老年人中，需要志愿者提供幫助的老年人的比例？說明理老年人中，需要志愿者提供幫助的老年人的比例？說明理由附：由附：P(K2k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828從近兩年高考看，以考查獨立性檢驗，回歸分析為主，從近兩年高考看，以考查獨立性檢驗，回歸分析為主，多為選擇題、填空題，也可能以解答題形式考查，主要以實際多為選擇題、填空題，也可能以解答題形式考查，主要以實際問題為背景，考查閱讀理解、分析問題、解決問題的能力，在問題為背景，考查閱讀理解、分析問題、解決問題的能力，在解決一些簡單實際問題的過程中考查基本的統(tǒng)計思想解決一些簡單實際問題的過程中考查基本的統(tǒng)計思想思想方法之十五用回歸分析的思想方法進(jìn)行預(yù)測思想方法之十五用回歸分析的思想方法進(jìn)行預(yù)測 (2011廣東高考廣東高考)為了解籃球愛好者小李的投籃命中率與為了解籃球愛好者小李的投籃命中率與打籃球時間之間的關(guān)系，下表記錄了小李某月打籃球時間之間的關(guān)系，下表記錄了小李某月1號到號到5號每天打號每天打籃球時間籃球時間x(單位：小時單位：小時)與當(dāng)天投籃命中率與當(dāng)天投籃命中率y之間的關(guān)系：之間的關(guān)系：小李這小李這5天的平均投籃命中率為天的平均投籃命中率為_；用線性回歸分析的方法，；用線性回歸分析的方法，預(yù)測小李該月預(yù)測小李該月6號打號打6小時籃球的投籃命中率為小時籃球的投籃命中率為_時間時間x12345命中率命中率y0.40.50.60.60.4【答案【答案】0.50.531(2011山東高考山東高考)某產(chǎn)品的廣告費用某產(chǎn)品的廣告費用x與銷售額與銷售額y的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表：下表：A63.6萬元萬元B65.5萬元萬元C67.7萬元萬元 D72.0萬元萬元廣告費用廣告費用x(萬元萬元)4235銷售額銷售額y(萬元萬元)49263954【答案【答案】B2(2011湖南高考湖南高考)通過隨機(jī)詢問通過隨機(jī)詢問110名性別不同的大學(xué)生是否名性別不同的大學(xué)生是否愛好某項運(yùn)動，得到如下的列聯(lián)表：愛好某項運(yùn)動，得到如下的列聯(lián)表：男男女女總計總計愛好愛好402060不愛好不愛好203050總計總計6050110附表：附表：參照附表，得到的正確結(jié)論是參照附表，得到的正確結(jié)論是()A在犯錯誤的概率不超過在犯錯誤的概率不超過0.1%的前提下，認(rèn)為的前提下，認(rèn)為“愛好該項運(yùn)動愛好該項運(yùn)動與性別有關(guān)與性別有關(guān)”B在犯錯誤的概率不超過在犯錯誤的概率不超過0.1%的前提下，認(rèn)為的前提下，認(rèn)為“愛好該項運(yùn)動愛好該項運(yùn)動與性別無關(guān)與性別無關(guān)”C有有99%以上的把握認(rèn)為以上的把握認(rèn)為“愛好該項運(yùn)動與性別有關(guān)愛好該項運(yùn)動與性別有關(guān)”D有有99%以上的把握認(rèn)為以上的把握認(rèn)為“愛好該項運(yùn)動與性別無關(guān)愛好該項運(yùn)動與性別無關(guān)”【解析【解析】由相關(guān)系數(shù)由相關(guān)系數(shù)K2的意義，附表所對應(yīng)的概率為的意義，附表所對應(yīng)的概率為“愛好該愛好該運(yùn)動與性別無關(guān)運(yùn)動與性別無關(guān)”，有有99%以上的把握認(rèn)為以上的把握認(rèn)為“愛好該項運(yùn)動與性別有關(guān)愛好該項運(yùn)動與性別有關(guān)”【答案【答案】CP(K2k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828