第第6課時(shí)函數(shù)與方程課時(shí)函數(shù)與方程第二章基本初等函數(shù)、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用第二章基本初等函數(shù)、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用教材回扣教材回扣 夯實(shí)雙基夯實(shí)雙基基礎(chǔ)梳理基礎(chǔ)梳理1.函數(shù)的零點(diǎn)函數(shù)的零點(diǎn)(1)函數(shù)零點(diǎn)的定義函數(shù)零點(diǎn)的定義如果函數(shù)如果函數(shù)yf(x)在實(shí)數(shù)在實(shí)數(shù)a處的值處的值_,即即_,則則a叫做這個(gè)函數(shù)叫做這個(gè)函數(shù)的零點(diǎn)的零點(diǎn).在坐標(biāo)系中表示圖象與在坐標(biāo)系中表示圖象與x軸的軸的公共點(diǎn)是公共點(diǎn)是(a,0)點(diǎn)點(diǎn).等于零等于零f(a)0(2)幾個(gè)等價(jià)關(guān)系幾個(gè)等價(jià)關(guān)系方程方程f(x)0有實(shí)數(shù)根有實(shí)數(shù)根函數(shù)函數(shù)yf(x)的的圖象與圖象與_有交點(diǎn)有交點(diǎn)函數(shù)函數(shù)yf(x)有有_.x軸軸零點(diǎn)零點(diǎn)思考探究思考探究1.是否任意函數(shù)都有零點(diǎn)是否任意函數(shù)都有零點(diǎn)?提示：提示：并非任意函數(shù)都有零點(diǎn)并非任意函數(shù)都有零點(diǎn),只有只有f(x)0有根的函數(shù)有根的函數(shù)yf(x)才有零點(diǎn)才有零點(diǎn).(3)函數(shù)零點(diǎn)的判定函數(shù)零點(diǎn)的判定如果函數(shù)如果函數(shù)yf(x)在區(qū)間在區(qū)間a,b上的圖象上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線(xiàn)是連續(xù)不斷的一條曲線(xiàn),并且有并且有_,那么函數(shù)那么函數(shù)yf(x)在區(qū)間在區(qū)間_內(nèi)有零點(diǎn)內(nèi)有零點(diǎn),即存在即存在c(a,b),使得使得_,這個(gè)這個(gè)_也就是也就是f(x)0的根的根.f(a)f(b)0(a,b)f(c)0c思考探究思考探究2.在上面的條件下在上面的條件下,(a,b)內(nèi)的零點(diǎn)有幾個(gè)內(nèi)的零點(diǎn)有幾個(gè)?提示：提示：在上面的條件下在上面的條件下,(a,b)內(nèi)的零點(diǎn)至少內(nèi)的零點(diǎn)至少有一個(gè)有一個(gè)c,還可能有其他零點(diǎn)還可能有其他零點(diǎn),個(gè)數(shù)不確定個(gè)數(shù)不確定.2.二次函數(shù)二次函數(shù)yax2bxc(a0)的圖的圖象與零點(diǎn)的關(guān)系象與零點(diǎn)的關(guān)系000二次函數(shù)二次函數(shù)yax2bxc (a0)的圖的圖象象與與x軸的軸的交點(diǎn)交點(diǎn)_(x1,0)或或(x2,0)無(wú)交點(diǎn)無(wú)交點(diǎn)零點(diǎn)個(gè)數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)兩個(gè)兩個(gè)一個(gè)一個(gè)零個(gè)零個(gè)(x1,0),(x2,0)3.用二分法求函數(shù)用二分法求函數(shù)yf(x)零點(diǎn)近似值的零點(diǎn)近似值的步驟步驟第一步：確定區(qū)間第一步：確定區(qū)間a,b,驗(yàn)證驗(yàn)證_;第二步：求區(qū)間第二步：求區(qū)間a,b的中點(diǎn)的中點(diǎn)x1;第三步：計(jì)算第三步：計(jì)算f(x1)和和f(a),并判斷：并判斷：f(a)f(b)0若若_,則則x1就是函數(shù)的零點(diǎn)就是函數(shù)的零點(diǎn);若若_,則令則令bx1(此時(shí)零點(diǎn)此時(shí)零點(diǎn)x0a,x1);若若_,則令則令ax1(此時(shí)零點(diǎn)此時(shí)零點(diǎn)x0 x1,b);第四步：判斷是否達(dá)到精確度第四步：判斷是否達(dá)到精確度,否則重否則重復(fù)第二、三、四步復(fù)第二、三、四步.f(x1)0f(a)f(x1)0課前熱身課前熱身1.(教材改編教材改編)如圖所示的函數(shù)圖象與如圖所示的函數(shù)圖象與x軸均有交點(diǎn)軸均有交點(diǎn),其中不能用二分法求圖中其中不能用二分法求圖中交點(diǎn)橫坐標(biāo)的是交點(diǎn)橫坐標(biāo)的是()A.B.C. D.答案：答案：B2.設(shè)設(shè)f(x)3x3x8,用二分法求方程用二分法求方程3x3x80在在x(1,2)內(nèi)近似解的過(guò)內(nèi)近似解的過(guò)程中得程中得f(1)0,f(1.25)0,m2或或m0且且a1)有有兩個(gè)零點(diǎn)兩個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)則實(shí)數(shù)a的取值范圍是的取值范圍是_.答案：答案：a1考點(diǎn)探究考點(diǎn)探究 講練互動(dòng)講練互動(dòng)考點(diǎn)考點(diǎn)1函數(shù)零點(diǎn)的求解與判斷函數(shù)零點(diǎn)的求解與判斷判斷函數(shù)判斷函數(shù)yf(x)在某個(gè)區(qū)間上是否存在某個(gè)區(qū)間上是否存在零點(diǎn)在零點(diǎn),常用以下方法：常用以下方法：(1)解方程：當(dāng)解方程：當(dāng)對(duì)應(yīng)方程易解時(shí)對(duì)應(yīng)方程易解時(shí),可通過(guò)解方程可通過(guò)解方程,看方程看方程是否有根落在給定區(qū)間上是否有根落在給定區(qū)間上;(2)利用函數(shù)零點(diǎn)的存在性定理進(jìn)行判利用函數(shù)零點(diǎn)的存在性定理進(jìn)行判斷斷;(3)通過(guò)畫(huà)函數(shù)圖象通過(guò)畫(huà)函數(shù)圖象,觀察圖象與觀察圖象與x軸軸在給定區(qū)間上是否有交點(diǎn)來(lái)判斷在給定區(qū)間上是否有交點(diǎn)來(lái)判斷.例例1【思路分析】【思路分析】借助函數(shù)零點(diǎn)存在性定借助函數(shù)零點(diǎn)存在性定理和函數(shù)在理和函數(shù)在1,1上的單調(diào)性來(lái)判斷上的單調(diào)性來(lái)判斷.【規(guī)律小結(jié)規(guī)律小結(jié)】方程的根或函數(shù)零點(diǎn)的方程的根或函數(shù)零點(diǎn)的存在性問(wèn)題存在性問(wèn)題,可以根據(jù)區(qū)間端點(diǎn)處的函可以根據(jù)區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值的正負(fù)來(lái)確定數(shù)值的正負(fù)來(lái)確定,但要確定零點(diǎn)的個(gè)但要確定零點(diǎn)的個(gè)數(shù)還需進(jìn)一步研究函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)數(shù)還需進(jìn)一步研究函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性性,在給定的區(qū)間上在給定的區(qū)間上,如果函數(shù)是單調(diào)的如果函數(shù)是單調(diào)的,它至多有一個(gè)零點(diǎn)它至多有一個(gè)零點(diǎn),如果不是單調(diào)的如果不是單調(diào)的,可可繼續(xù)細(xì)分出小的單調(diào)區(qū)間繼續(xù)細(xì)分出小的單調(diào)區(qū)間,再結(jié)合這些再結(jié)合這些小的區(qū)間的端點(diǎn)處函數(shù)值的正負(fù)小的區(qū)間的端點(diǎn)處函數(shù)值的正負(fù),作出作出正確判斷正確判斷.互動(dòng)探究互動(dòng)探究1.若例若例1中中x的范圍改為的范圍改為R,試回答原來(lái)問(wèn)試回答原來(lái)問(wèn)題題.解：解：f(x)42x2x2,令令f(x)0,x2,1.x2是是f(x)的極大值點(diǎn)的極大值點(diǎn).x1是是f(x)的極小值點(diǎn)的極小值點(diǎn),考點(diǎn)考點(diǎn)2二分法求方程的近似解二分法求方程的近似解用二分法求函數(shù)零點(diǎn)近似值的步驟用二分法求函數(shù)零點(diǎn)近似值的步驟,可可借助于計(jì)算器一步步地求解借助于計(jì)算器一步步地求解,也可以借也可以借助于表格或數(shù)軸逐步縮小零點(diǎn)所在的區(qū)助于表格或數(shù)軸逐步縮小零點(diǎn)所在的區(qū)間間,而運(yùn)算終止的條件是區(qū)間長(zhǎng)度小于而運(yùn)算終止的條件是區(qū)間長(zhǎng)度小于精確度精確度. 用二分法求函數(shù)用二分法求函數(shù)f(x)x3x1在區(qū)間在區(qū)間1,1.5內(nèi)的一個(gè)零點(diǎn)內(nèi)的一個(gè)零點(diǎn)(精確度精確度0.1).【思路分析思路分析】依據(jù)二分法求函數(shù)依據(jù)二分法求函數(shù)f(x)的零點(diǎn)近似值的步驟的零點(diǎn)近似值的步驟.例例2【解解】由于由于f(1)11110,f(x)在區(qū)間在區(qū)間1,1.5上存在零上存在零點(diǎn)點(diǎn).取區(qū)間取區(qū)間(1,1.5)作為計(jì)算的初始區(qū)間作為計(jì)算的初始區(qū)間,用二分法逐次計(jì)算列表如下：用二分法逐次計(jì)算列表如下：中點(diǎn)的中點(diǎn)的值值中點(diǎn)函數(shù)值符中點(diǎn)函數(shù)值符號(hào)號(hào)零點(diǎn)所在區(qū)間零點(diǎn)所在區(qū)間區(qū)間長(zhǎng)區(qū)間長(zhǎng)度度(1,1.5)0.51.25f(1.25)0(1.25,1.375)0.1251.3125f(1.3125)0(1.3125,1.375)0.0625|1.3751.3125|0.06250.1,函數(shù)的零點(diǎn)落在區(qū)間長(zhǎng)度小于函數(shù)的零點(diǎn)落在區(qū)間長(zhǎng)度小于0.1的的區(qū)間區(qū)間1.3125,1.375內(nèi)內(nèi),故函數(shù)零點(diǎn)的近故函數(shù)零點(diǎn)的近似值為似值為1.3125.【方法指導(dǎo)方法指導(dǎo)】求函數(shù)零點(diǎn)近似值的關(guān)求函數(shù)零點(diǎn)近似值的關(guān)鍵是判斷區(qū)間長(zhǎng)度是否小于精確度鍵是判斷區(qū)間長(zhǎng)度是否小于精確度,當(dāng)當(dāng)區(qū)間長(zhǎng)度小于精確度區(qū)間長(zhǎng)度小于精確度時(shí)時(shí),運(yùn)算即告結(jié)束運(yùn)算即告結(jié)束,此時(shí)區(qū)間內(nèi)的任何一個(gè)值均符合要求此時(shí)區(qū)間內(nèi)的任何一個(gè)值均符合要求,而我們通常取區(qū)間的一個(gè)端點(diǎn)值作為近而我們通常取區(qū)間的一個(gè)端點(diǎn)值作為近似解似解.考點(diǎn)考點(diǎn)3函數(shù)零點(diǎn)的綜合應(yīng)用函數(shù)零點(diǎn)的綜合應(yīng)用函數(shù)零點(diǎn)的應(yīng)用主要體現(xiàn)了函數(shù)與方程函數(shù)零點(diǎn)的應(yīng)用主要體現(xiàn)了函數(shù)與方程的思想的思想,函數(shù)與方程雖然是兩個(gè)不同的函數(shù)與方程雖然是兩個(gè)不同的概念概念,但它們之間有著密切的聯(lián)系但它們之間有著密切的聯(lián)系,方程方程f(x)0的解就是函數(shù)的解就是函數(shù)yf(x)的圖象與的圖象與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo),函數(shù)函數(shù)yf(x)也可以也可以看作二元方程看作二元方程f(x)y0,然后通過(guò)方程進(jìn)行研究然后通過(guò)方程進(jìn)行研究.許多有關(guān)方程許多有關(guān)方程的問(wèn)題可以用函數(shù)的方法解決的問(wèn)題可以用函數(shù)的方法解決,反之反之,許許多函數(shù)問(wèn)題也可以用方程的方法來(lái)解決多函數(shù)問(wèn)題也可以用方程的方法來(lái)解決,函數(shù)與方程的思想是中學(xué)數(shù)學(xué)的基本思函數(shù)與方程的思想是中學(xué)數(shù)學(xué)的基本思想想. 已知已知f(x)x2(a21)x(a2)的一個(gè)零點(diǎn)比的一個(gè)零點(diǎn)比1大大,一個(gè)零點(diǎn)比一個(gè)零點(diǎn)比1小小,求實(shí)求實(shí)數(shù)數(shù)a的取值范圍的取值范圍.【思路分析思路分析】可把函數(shù)轉(zhuǎn)化為方程可把函數(shù)轉(zhuǎn)化為方程,其方程的兩根滿(mǎn)足其方程的兩根滿(mǎn)足x11,利用利用(x11)(x21)0求解求解;也可利用圖象求解也可利用圖象求解.例例3【解解】法一：設(shè)方程法一：設(shè)方程x2(a21)x(a2)0的兩根分別為的兩根分別為x1,x2(x1x2),則則(x11)(x21)0,x1x2(x1x2)10,由根與系數(shù)的關(guān)系由根與系數(shù)的關(guān)系,得得(a2)(a21)10,即即a2a20,2a1.法二：函數(shù)圖象大致如圖法二：函數(shù)圖象大致如圖,則有則有f(1)0,即即1(a21)a20,2a1.【方法指導(dǎo)方法指導(dǎo)】此類(lèi)方程根的分布問(wèn)題此類(lèi)方程根的分布問(wèn)題通常有兩種解法：一是方程思想通常有兩種解法：一是方程思想,利用利用根與系數(shù)的關(guān)系根與系數(shù)的關(guān)系;二是函數(shù)思想二是函數(shù)思想,構(gòu)造二構(gòu)造二次函數(shù)利用其圖象分析次函數(shù)利用其圖象分析,從而求解從而求解.互動(dòng)探究互動(dòng)探究2.若例若例3中函數(shù)不變中函數(shù)不變,后面的內(nèi)容改為：后面的內(nèi)容改為：一個(gè)零點(diǎn)在一個(gè)零點(diǎn)在0與與1之間之間,另一個(gè)零點(diǎn)在另一個(gè)零點(diǎn)在1與與2之間之間,求實(shí)數(shù)求實(shí)數(shù)a的范圍的范圍,應(yīng)如何求解應(yīng)如何求解?方法技巧方法技巧1.函數(shù)零點(diǎn)的判定常用的方法有：函數(shù)零點(diǎn)的判定常用的方法有：(1)零點(diǎn)存在性定理零點(diǎn)存在性定理;(2)數(shù)形結(jié)合數(shù)形結(jié)合;(3)解方解方程程f(x)0.2.研究方程研究方程f(x)g(x)的解的解,實(shí)質(zhì)就是研實(shí)質(zhì)就是研究究G(x)f(x)g(x)的零點(diǎn)的零點(diǎn).3.二分法是求方程的根的近似值的一種二分法是求方程的根的近似值的一種計(jì)算方法計(jì)算方法.其實(shí)質(zhì)是通過(guò)不斷地其實(shí)質(zhì)是通過(guò)不斷地“取中點(diǎn)取中點(diǎn)”來(lái)逐步縮小零點(diǎn)所在的范圍來(lái)逐步縮小零點(diǎn)所在的范圍,當(dāng)達(dá)到一當(dāng)達(dá)到一定的精確度要求時(shí)定的精確度要求時(shí),所得區(qū)間內(nèi)的任一所得區(qū)間內(nèi)的任一點(diǎn)均是這個(gè)函數(shù)零點(diǎn)的近似值點(diǎn)均是這個(gè)函數(shù)零點(diǎn)的近似值.失誤防范失誤防范1.把握函數(shù)的零點(diǎn)應(yīng)注意的問(wèn)題把握函數(shù)的零點(diǎn)應(yīng)注意的問(wèn)題(1)函數(shù)的零點(diǎn)是一個(gè)實(shí)數(shù)函數(shù)的零點(diǎn)是一個(gè)實(shí)數(shù),當(dāng)函數(shù)的自當(dāng)函數(shù)的自變量取這個(gè)實(shí)數(shù)時(shí)變量取這個(gè)實(shí)數(shù)時(shí),其函數(shù)值等于零其函數(shù)值等于零.(2)函數(shù)的零點(diǎn)也就是函數(shù)函數(shù)的零點(diǎn)也就是函數(shù)yf(x)的圖的圖象與象與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo).(3)一般我們只討論函數(shù)的實(shí)數(shù)零點(diǎn)一般我們只討論函數(shù)的實(shí)數(shù)零點(diǎn).(4)函數(shù)的零點(diǎn)不是點(diǎn)函數(shù)的零點(diǎn)不是點(diǎn),是方程是方程f(x)0的根的根.2.對(duì)函數(shù)零點(diǎn)存在的判斷中對(duì)函數(shù)零點(diǎn)存在的判斷中,必須強(qiáng)調(diào)必須強(qiáng)調(diào)(1)f(x)在在a,b上連續(xù)上連續(xù);(2)f(a)f(b)0;(3)在在(a,b)內(nèi)存在零點(diǎn)內(nèi)存在零點(diǎn).事實(shí)上事實(shí)上,這是零點(diǎn)存在的一個(gè)充分條件這是零點(diǎn)存在的一個(gè)充分條件,但不必要但不必要.考向瞭望考向瞭望 把脈高考把脈高考命題預(yù)測(cè)命題預(yù)測(cè)從近幾年的高考試題來(lái)看從近幾年的高考試題來(lái)看,函數(shù)的零點(diǎn)、函數(shù)的零點(diǎn)、方程根的問(wèn)題是高考的熱點(diǎn)方程根的問(wèn)題是高考的熱點(diǎn),特別新課特別新課改的省份更是熱點(diǎn)改的省份更是熱點(diǎn),題型既有選擇題、題型既有選擇題、填空題填空題,又有解答題又有解答題.客觀題主要考查相應(yīng)函數(shù)的圖象與性質(zhì)客觀題主要考查相應(yīng)函數(shù)的圖象與性質(zhì);主觀題考查較為綜合主觀題考查較為綜合,在考查函數(shù)的零在考查函數(shù)的零點(diǎn)、方程根的基礎(chǔ)上點(diǎn)、方程根的基礎(chǔ)上,又注重考查函數(shù)又注重考查函數(shù)與方程、轉(zhuǎn)化與化歸、分類(lèi)討論、數(shù)形與方程、轉(zhuǎn)化與化歸、分類(lèi)討論、數(shù)形結(jié)合的思想方法結(jié)合的思想方法.預(yù)測(cè)預(yù)測(cè)2013年高考仍將以函數(shù)的零點(diǎn)、年高考仍將以函數(shù)的零點(diǎn)、方程根的存在問(wèn)題為主要考點(diǎn)方程根的存在問(wèn)題為主要考點(diǎn),重點(diǎn)考重點(diǎn)考查相應(yīng)函數(shù)的圖象與性質(zhì)查相應(yīng)函數(shù)的圖象與性質(zhì).典例透析典例透析 例例【答案】【答案】B