第第4課時(shí)數(shù)列求和課時(shí)數(shù)列求和第五章數(shù)列第五章數(shù)列教材回扣教材回扣 夯實(shí)雙基夯實(shí)雙基基礎(chǔ)梳理基礎(chǔ)梳理求數(shù)列的前求數(shù)列的前n項(xiàng)和的方法項(xiàng)和的方法(1)公式法公式法等差數(shù)列的前等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式項(xiàng)和公式Sn_.(2)分組轉(zhuǎn)化法分組轉(zhuǎn)化法把數(shù)列的每一項(xiàng)分成兩項(xiàng)或幾項(xiàng)把數(shù)列的每一項(xiàng)分成兩項(xiàng)或幾項(xiàng),使其使其轉(zhuǎn)化為幾個(gè)等差、等比數(shù)列轉(zhuǎn)化為幾個(gè)等差、等比數(shù)列,再求解再求解.(3)裂項(xiàng)相消法裂項(xiàng)相消法把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差求和把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差求和,正負(fù)正負(fù)相消剩下首尾若干項(xiàng)相消剩下首尾若干項(xiàng).(4)倒序相加法倒序相加法把數(shù)列分別正著寫和倒著寫再相加把數(shù)列分別正著寫和倒著寫再相加(即即等差數(shù)列求和公式的推導(dǎo)過程的推廣等差數(shù)列求和公式的推導(dǎo)過程的推廣).(5)錯(cuò)位相減法錯(cuò)位相減法主要用于一個(gè)等差數(shù)列與一個(gè)等比數(shù)列主要用于一個(gè)等差數(shù)列與一個(gè)等比數(shù)列對應(yīng)項(xiàng)相乘所得的數(shù)列的求和對應(yīng)項(xiàng)相乘所得的數(shù)列的求和,即等比即等比數(shù)列求和公式的推導(dǎo)過程的推廣數(shù)列求和公式的推導(dǎo)過程的推廣.課前熱身課前熱身答案：答案：D3.(2011高考天津卷高考天津卷)已知已知an為等差數(shù)為等差數(shù)列列,其公差為其公差為2,且且a7是是a3與與a9的等比的等比中項(xiàng)中項(xiàng),Sn為為an的前的前n項(xiàng)和項(xiàng)和,nN*,則則S10的的值為值為()A.110 B.90C.90 D.1105.數(shù)列數(shù)列(1)n(2n1)的前的前2012項(xiàng)的和項(xiàng)的和S2012_.答案：答案：2012考點(diǎn)探究考點(diǎn)探究 講練互動講練互動考點(diǎn)考點(diǎn)1分組轉(zhuǎn)化求和分組轉(zhuǎn)化求和分組轉(zhuǎn)化求和就是從通項(xiàng)入手分組轉(zhuǎn)化求和就是從通項(xiàng)入手,若無通若無通項(xiàng)項(xiàng),則先求通項(xiàng)則先求通項(xiàng),然后通過對通項(xiàng)變形然后通過對通項(xiàng)變形,轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化為等差或等比或可求數(shù)列前化為等差或等比或可求數(shù)列前n項(xiàng)和的項(xiàng)和的數(shù)列來求之?dāng)?shù)列來求之. 已知函數(shù)已知函數(shù)f(x)2x3x1,點(diǎn)點(diǎn)(n,an)在在f(x)的圖象上的圖象上,an的前的前n項(xiàng)和為項(xiàng)和為Sn.(1)求使求使an0的的n的最大值的最大值;(2)求求Sn.例例1【解解】(1)依題意依題意an2n3n1,an0即即2n3n10.函數(shù)函數(shù)f(x)2x3x1在在1,2上為減函上為減函數(shù)數(shù),在在3,)上為增函數(shù)上為增函數(shù),當(dāng)當(dāng)n3時(shí)時(shí),239120,2n3n10中中n的最大值為的最大值為3.【規(guī)律方法規(guī)律方法】利用分組求和常見題型：利用分組求和常見題型：(1)anknb,利用等差數(shù)列前利用等差數(shù)列前n項(xiàng)和公項(xiàng)和公式直接求解式直接求解;(2)anaqn1,利用等比數(shù)列前利用等比數(shù)列前n項(xiàng)和項(xiàng)和公式直接求解公式直接求解;(3)anbncn,數(shù)列數(shù)列bn,cn是等比數(shù)是等比數(shù)列或等差數(shù)列列或等差數(shù)列,采用分組求和法求采用分組求和法求an的的前前n項(xiàng)和項(xiàng)和;(4)注意常見數(shù)列求和公式應(yīng)用如正整注意常見數(shù)列求和公式應(yīng)用如正整數(shù)列數(shù)列,正偶數(shù)列正偶數(shù)列,正奇數(shù)列等正奇數(shù)列等.考點(diǎn)考點(diǎn)2裂項(xiàng)相消求和裂項(xiàng)相消求和若數(shù)列的通項(xiàng)是以分式給出若數(shù)列的通項(xiàng)是以分式給出,且分子是且分子是常數(shù)常數(shù),分母是自然數(shù)的乘積分母是自然數(shù)的乘積,求解時(shí)求解時(shí),一般一般,把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差,在求和時(shí)在求和時(shí)一些正負(fù)項(xiàng)相互抵消一些正負(fù)項(xiàng)相互抵消,于是前于是前n項(xiàng)和變成項(xiàng)和變成首尾若干項(xiàng)之和首尾若干項(xiàng)之和,從而求出數(shù)列的前從而求出數(shù)列的前n項(xiàng)項(xiàng)和和.例例2【思路分析思路分析】(1)由已知條件尋找由已知條件尋找a1與與d的關(guān)系的關(guān)系,(2)表示出表示出cn,然后采用裂項(xiàng)然后采用裂項(xiàng)法法.互動探究互動探究在本例在本例(2)的條件下的條件下,若有若有f(n)log3Tn,求求f(1)f(2)f(n)的和的和.考點(diǎn)考點(diǎn)3錯(cuò)位相減求和錯(cuò)位相減求和(1)一般地一般地,如果數(shù)列如果數(shù)列an是等差數(shù)列是等差數(shù)列,bn是等比數(shù)列是等比數(shù)列,求數(shù)列求數(shù)列anbn的前的前n項(xiàng)和時(shí)項(xiàng)和時(shí),可采用錯(cuò)位相減法可采用錯(cuò)位相減法.(2)用乘公比錯(cuò)位相減法求和時(shí)用乘公比錯(cuò)位相減法求和時(shí),應(yīng)注意應(yīng)注意要善于識別題目類型要善于識別題目類型,特別是等比數(shù)特別是等比數(shù)列公比為負(fù)數(shù)的情形列公比為負(fù)數(shù)的情形;在寫出在寫出“Sn”與與“qSn”的表達(dá)式時(shí)應(yīng)特的表達(dá)式時(shí)應(yīng)特別注意將兩式別注意將兩式“錯(cuò)項(xiàng)對齊錯(cuò)項(xiàng)對齊”以便下一步以便下一步準(zhǔn)確寫出準(zhǔn)確寫出“SnqSn”的表達(dá)式的表達(dá)式. (2010高考四川卷高考四川卷)已知等差數(shù)已知等差數(shù)列列an的前的前3項(xiàng)和為項(xiàng)和為6,前前8項(xiàng)和為項(xiàng)和為4.(1)求數(shù)列求數(shù)列an的通項(xiàng)公式的通項(xiàng)公式;(2)設(shè)設(shè)bn(4an)qn1(q0,nN*),求求數(shù)列數(shù)列bn的前的前n項(xiàng)和項(xiàng)和Sn.【思路分析思路分析】(1)列方程組求列方程組求a1和和d;(2)利用錯(cuò)位相減法求和利用錯(cuò)位相減法求和.例例3【名師點(diǎn)評名師點(diǎn)評】利用錯(cuò)位相減法求和時(shí)利用錯(cuò)位相減法求和時(shí),轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求和轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求和.若公比是個(gè)參數(shù)若公比是個(gè)參數(shù)(字母字母),則應(yīng)先對參數(shù)加以討論則應(yīng)先對參數(shù)加以討論,一般情況一般情況下分等于下分等于1和不等于和不等于1兩種情況分別求和兩種情況分別求和.方法技巧方法技巧1.求數(shù)列通項(xiàng)的方法技巧：求數(shù)列通項(xiàng)的方法技巧：(1)通過對通過對數(shù)列前若干項(xiàng)的觀察、分析數(shù)列前若干項(xiàng)的觀察、分析,找出項(xiàng)與找出項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)之間的統(tǒng)一對應(yīng)關(guān)系項(xiàng)數(shù)之間的統(tǒng)一對應(yīng)關(guān)系,猜想通項(xiàng)公猜想通項(xiàng)公式式;(2)理解數(shù)列的項(xiàng)與前理解數(shù)列的項(xiàng)與前n項(xiàng)和之間滿項(xiàng)和之間滿足足anSnSn1(n2)的關(guān)系的關(guān)系,并能靈活并能靈活運(yùn)用它解決有關(guān)數(shù)列問題運(yùn)用它解決有關(guān)數(shù)列問題.2.數(shù)列求和數(shù)列求和,如果是等差、等比數(shù)列的求如果是等差、等比數(shù)列的求和和,可直接用求和公式求解可直接用求和公式求解,公式要做到公式要做到靈活運(yùn)用靈活運(yùn)用.3.非等差、等比數(shù)列的一般數(shù)列求和非等差、等比數(shù)列的一般數(shù)列求和,主主要有兩種思路：要有兩種思路：(1)轉(zhuǎn)化的思想轉(zhuǎn)化的思想,即將一般數(shù)列設(shè)法轉(zhuǎn)化即將一般數(shù)列設(shè)法轉(zhuǎn)化為等差或等比數(shù)列為等差或等比數(shù)列,這一思想方法往往這一思想方法往往通過通項(xiàng)分解或錯(cuò)位相消來完成通過通項(xiàng)分解或錯(cuò)位相消來完成;(2)不能轉(zhuǎn)化為等差或等比的特殊數(shù)列不能轉(zhuǎn)化為等差或等比的特殊數(shù)列,往往通過裂項(xiàng)相消法、錯(cuò)位相減法、倒往往通過裂項(xiàng)相消法、錯(cuò)位相減法、倒序相加法等來求和序相加法等來求和,要將例題中的幾類要將例題中的幾類一般數(shù)列的求和方法記牢一般數(shù)列的求和方法記牢.失誤防范失誤防范1.直接用公式求和時(shí)直接用公式求和時(shí),注意公式的應(yīng)用注意公式的應(yīng)用范圍和公式的推導(dǎo)過程范圍和公式的推導(dǎo)過程.2.重點(diǎn)通過數(shù)列通項(xiàng)公式觀察數(shù)列特重點(diǎn)通過數(shù)列通項(xiàng)公式觀察數(shù)列特點(diǎn)和規(guī)律點(diǎn)和規(guī)律,在分析數(shù)列通項(xiàng)的基礎(chǔ)上在分析數(shù)列通項(xiàng)的基礎(chǔ)上,判判斷求和類型斷求和類型,尋找求和的方法尋找求和的方法,或拆為基本數(shù)列求和或拆為基本數(shù)列求和,或轉(zhuǎn)化為基本數(shù)或轉(zhuǎn)化為基本數(shù)列求和列求和.求和過程中同時(shí)要對項(xiàng)數(shù)作出求和過程中同時(shí)要對項(xiàng)數(shù)作出準(zhǔn)確判斷準(zhǔn)確判斷.3.含有字母的數(shù)列求和含有字母的數(shù)列求和,常伴隨著分類討常伴隨著分類討論論.考向瞭望考向瞭望 把脈高考把脈高考命題預(yù)測命題預(yù)測從近幾年高考試題來看從近幾年高考試題來看,錯(cuò)位相減法求錯(cuò)位相減法求和是高考的熱點(diǎn)和是高考的熱點(diǎn),題型以解答題為主題型以解答題為主,往往往和其他知識相結(jié)合往和其他知識相結(jié)合,考查較為全面考查較為全面,在在考查基本運(yùn)算、考查基本運(yùn)算、基本概念的基礎(chǔ)上又注重考查學(xué)生分析基本概念的基礎(chǔ)上又注重考查學(xué)生分析問題、解決問題的能力問題、解決問題的能力.預(yù)測預(yù)測2013年高考錯(cuò)位相減法求和仍是年高考錯(cuò)位相減法求和仍是高考的重點(diǎn)高考的重點(diǎn),同時(shí)應(yīng)重視裂項(xiàng)相消法求同時(shí)應(yīng)重視裂項(xiàng)相消法求和和.規(guī)范解答規(guī)范解答例例【名師點(diǎn)評名師點(diǎn)評】本題從外形看很簡單本題從外形看很簡單,但有一定難度但有一定難度,考生在解題時(shí)易出現(xiàn)以考生在解題時(shí)易出現(xiàn)以下問題：下問題：一是充分性與必要性不分一是充分性與必要性不分;二是由等式二是由等式關(guān)系推導(dǎo)等差數(shù)列不知如何下手關(guān)系推導(dǎo)等差數(shù)列不知如何下手,還有還有的考生利用等差數(shù)列證等差數(shù)列的考生利用等差數(shù)列證等差數(shù)列.