第二章 解析幾何初步2圓圓與與圓圓的的方方程程應(yīng)用創(chuàng)新演練2.1圓圓的的標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)方方程程考點(diǎn)一考點(diǎn)二理解教材新知考點(diǎn)三把握熱點(diǎn)考向 世界上較大的摩天輪中坐落于泰晤士河畔的世界上較大的摩天輪中坐落于泰晤士河畔的英航倫敦眼英航倫敦眼(BA London Eye)，距地總高達(dá)，距地總高達(dá)135m.然而，由于倫敦眼屬于觀景摩天輪結(jié)構(gòu)，有些人認(rèn)為其在然而，由于倫敦眼屬于觀景摩天輪結(jié)構(gòu)，有些人認(rèn)為其在排行上應(yīng)該與重力式的排行上應(yīng)該與重力式的Femis Wheel分開來計(jì)算，因此世分開來計(jì)算，因此世界上最大的重力式摩天輪應(yīng)是位于日本福岡的天空之夢福界上最大的重力式摩天輪應(yīng)是位于日本福岡的天空之夢福岡岡(Sky Dream Fukuoka, SDF)，是座輪身直徑，是座輪身直徑112m，離，離地總高地總高120m的摩天輪的摩天輪 中國最高的摩天輪中國最高的摩天輪“南昌之星南昌之星”位于江西省南昌市紅谷位于江西省南昌市紅谷灘新區(qū)紅角洲贛江邊上的贛江市人民公園，是南昌市標(biāo)志灘新區(qū)紅角洲贛江邊上的贛江市人民公園，是南昌市標(biāo)志性建筑該摩天輪總高度為性建筑該摩天輪總高度為160m，轉(zhuǎn)盤直徑為，轉(zhuǎn)盤直徑為153m，比，比位于英國泰晤士河邊的位于英國泰晤士河邊的135m高的高的“倫敦之眼倫敦之眼”摩天輪還要摩天輪還要高，成為世界上較高的摩天輪之一如何寫出圓的方程呢？高，成為世界上較高的摩天輪之一如何寫出圓的方程呢？ 問題問題1：在平面直角坐標(biāo)系中，確定圓的幾何要素是：在平面直角坐標(biāo)系中，確定圓的幾何要素是什么？什么？ 提示：提示：圓心和半徑圓心和半徑 問題問題2：圓是到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的集合，到：圓是到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的集合，到點(diǎn)點(diǎn)(1,2)的距離等于的距離等于1的點(diǎn)的點(diǎn)(x，y)的集合怎樣用方程表示？的集合怎樣用方程表示？提示：提示：方程表示方程表示(x，y)到到(2,0)的距離等的距離等4.(xa)2(yb)2r2x2y2r2定長定長 1根據(jù)圓的定義，確定圓的條件是兩個(gè)：即圓心根據(jù)圓的定義，確定圓的條件是兩個(gè)：即圓心和半徑，只需確定了這兩者，圓就被唯一確定了和半徑，只需確定了這兩者，圓就被唯一確定了 2圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中具有三個(gè)參變量圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中具有三個(gè)參變量a，b，r，因，因此確立圓的方程需三個(gè)獨(dú)立的條件，根據(jù)條件列出以此確立圓的方程需三個(gè)獨(dú)立的條件，根據(jù)條件列出以a，b，r為變量的方程組，解方程組求出為變量的方程組，解方程組求出a，b，r的值即能的值即能寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 3點(diǎn)到圓的位置關(guān)系的判斷點(diǎn)到圓的位置關(guān)系的判斷 給出點(diǎn)給出點(diǎn)M(x0，y0)和圓和圓C：(xa)2(yb)2r2，通過比較點(diǎn)到圓心的距離和半徑的大小關(guān)系，得到：通過比較點(diǎn)到圓心的距離和半徑的大小關(guān)系，得到： (1)點(diǎn)點(diǎn)M在圓在圓C上上(x0a)2(y0b)2r2； (2)點(diǎn)點(diǎn)M在圓在圓C外外(x0a)2(y0b)2r2； (3)點(diǎn)點(diǎn)M在圓在圓C內(nèi)內(nèi)(x0a)2(y0b)2r2. 例例1求滿足下列條件的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求滿足下列條件的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 (1)圓心為圓心為(2，2)，且過點(diǎn)，且過點(diǎn)(6,3) (2)過點(diǎn)過點(diǎn)A(4，5)，B(6，1)且以線段且以線段AB為直徑為直徑 (3)圓心在直線圓心在直線x2上且與上且與y軸交于兩點(diǎn)軸交于兩點(diǎn)A(0，4)，B(0，2). 思路點(diǎn)撥思路點(diǎn)撥首先確定圓心坐標(biāo)和半徑大小，然后再首先確定圓心坐標(biāo)和半徑大小，然后再寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 一點(diǎn)通一點(diǎn)通直接法求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，就是根據(jù)直接法求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，就是根據(jù)題設(shè)條件，直接求圓心坐標(biāo)和圓的半徑這兩個(gè)幾題設(shè)條件，直接求圓心坐標(biāo)和圓的半徑這兩個(gè)幾何要素，然后代入標(biāo)準(zhǔn)方程何要素，然后代入標(biāo)準(zhǔn)方程1寫出下列方程表示的圓的圓心和半徑寫出下列方程表示的圓的圓心和半徑 (1)x2y24；(2)x2(y2)2a2(a0)； (3)(x3)2y2b2(b0)； (4)(x3)2(y4)212. 解：解：(1)原方程化為原方程化為(x0)2(y0)222. 所以圓心所以圓心(0,0)，半徑，半徑r2. (2)原方程可化為原方程可化為(x0)2(y2)a2(a0) 所以圓心為所以圓心為(0,2)，半徑，半徑r|a|. 例例2一圓過原點(diǎn)一圓過原點(diǎn)O和點(diǎn)和點(diǎn)P(1,3)，圓心在直線，圓心在直線yx2上，求此圓的標(biāo)準(zhǔn)方程上，求此圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 思路點(diǎn)撥思路點(diǎn)撥利用代數(shù)法，構(gòu)造方程求解利用代數(shù)法，構(gòu)造方程求解a、b、r，或者利用幾何法找出圓的圓心和半徑或者利用幾何法找出圓的圓心和半徑 一點(diǎn)通一點(diǎn)通求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程一般有兩種思路：一是求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程一般有兩種思路：一是用待定系數(shù)法，二是幾何法用待定系數(shù)法，二是幾何法 1用待定系數(shù)法求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的一般步驟是：用待定系數(shù)法求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的一般步驟是： 根據(jù)題意，設(shè)所求的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為根據(jù)題意，設(shè)所求的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(xa)2(yb)2r2； 根據(jù)已知條件，建立關(guān)于根據(jù)已知條件，建立關(guān)于a，b，r的方程組；的方程組； 解方程組，求出解方程組，求出a，b，r的值，并把它們代入所設(shè)的值，并把它們代入所設(shè)的方程中，得到圓的方程的方程中，得到圓的方程 2幾何法主要是根據(jù)已知條件，抓住圓的性質(zhì)，構(gòu)幾何法主要是根據(jù)已知條件，抓住圓的性質(zhì)，構(gòu)造幾何圖形確定圓心和半徑造幾何圖形確定圓心和半徑3ABC的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別是的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別是A(5,1)，B(7，3)， C(2，8)，求它的外接圓的方程，求它的外接圓的方程4求過點(diǎn)求過點(diǎn)A(2，3)，B(2，5)且圓心且圓心C在直線在直線x 2y30上的圓的方程上的圓的方程 例例3已知兩點(diǎn)已知兩點(diǎn)P(5,6)和和Q(5，4)，求以，求以P、Q為直徑端點(diǎn)的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，并判斷點(diǎn)為直徑端點(diǎn)的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，并判斷點(diǎn)A(2,2)，B(1,8)，C(6,5)是在圓上，在圓內(nèi)，還是在圓外是在圓上，在圓內(nèi)，還是在圓外 思路點(diǎn)撥思路點(diǎn)撥確定圓心、半徑，寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，確定圓心、半徑，寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，求出點(diǎn)到圓心的距離，作出判斷求出點(diǎn)到圓心的距離，作出判斷 一點(diǎn)通一點(diǎn)通求圓的方程，只需確定圓心和半徑就可求圓的方程，只需確定圓心和半徑就可以寫出其標(biāo)準(zhǔn)方程；判定點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，可以判定以寫出其標(biāo)準(zhǔn)方程；判定點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，可以判定該點(diǎn)與圓心的距離和圓的半徑的大小關(guān)系，也可將該點(diǎn)該點(diǎn)與圓心的距離和圓的半徑的大小關(guān)系，也可將該點(diǎn)坐標(biāo)代入圓的方程判斷坐標(biāo)代入圓的方程判斷答案：答案：(7，)6判斷四點(diǎn)判斷四點(diǎn)A(4,2)，B(5,0)，C(3,2)，D(3,6)是否在同一個(gè)是否在同一個(gè) 圓上圓上 1確定圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的方法確定圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的方法 (1)直接法：直接確定圓和半徑，適合易確定圓心和半直接法：直接確定圓和半徑，適合易確定圓心和半徑的圓；徑的圓； (2)待定系數(shù)法：大部分求圓方程的題目均可以使用；待定系數(shù)法：大部分求圓方程的題目均可以使用； (3)幾何法：充分利用平面幾何的知識(shí)，結(jié)合交點(diǎn)問題幾何法：充分利用平面幾何的知識(shí)，結(jié)合交點(diǎn)問題和距離公式求解和距離公式求解條件條件方程形式方程形式過原點(diǎn)，圓心為過原點(diǎn)，圓心為(a，b)(xa)2(yb)2a2b2(a2b20)圓心在圓心在x軸上軸上(xa)2y2r2(r0)圓心在圓心在y軸上軸上x2(yb)2r2(r0)圓心在圓心在x軸上且過原點(diǎn)軸上且過原點(diǎn)(xa)2y2a2(a0)圓心在圓心在y軸上且過原點(diǎn)軸上且過原點(diǎn)x2(yb)2b2(b0)2.對于特殊位置的圓的方程對于特殊位置的圓的方程與與x軸相切軸相切(xa)2(yb)2b2(b0)與與y軸相切軸相切(xa)2(yb)2a2(a0)與兩坐標(biāo)軸都相切與兩坐標(biāo)軸都相切(xa)2(yb)2a2(|a|b|0)直徑的兩端點(diǎn)為直徑的兩端點(diǎn)為(x1，y1)，(x2，y2)(xx1)(xx2)(yy1)(yy2)0條件條件方程形式方程形式