了解雙曲線的定義、掌握雙曲線的幾何圖形和標(biāo)準(zhǔn)方程，理解它的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)2221 2 42 3 3.cabc由已知得，所以，故焦距為解析：22=1 102A 3 2 B 4 2C 3 3 1. D 4 3xy雙曲線的焦距為2222222224,04,0 A.1 2 B.1412124C.1 D.11060.61xyxyxyxy已知雙曲線的離心率為 ，焦點(diǎn)是，則雙曲線方程為2224421.112.224xycceaaab由已知有，所以，所以雙曲線的方程為解析： 2212287 A 28 B 148 2 C 148 2 3 .D 8 2xyFPQPQFPF Q過(guò)雙曲線的左焦點(diǎn) 有一條弦在左支上，若，是雙曲線的右焦點(diǎn)，則的周長(zhǎng)是21212211121224 2 148 24 2|8 2.778 2PFPFQFQFPFQFPFQFPFQFPQPFQFPF Q由雙曲線的定義知解析：所以的周長(zhǎng)為，所以，又，所以，222210422 .1552xyyxabcabcea 由，得，即為漸近線的方程又，所以，所以解析：2214 4. .xye已知雙曲線，則其漸近線方程是，離心率221255(3 2 2) .5.xyCC若雙曲線 的焦點(diǎn)和橢圓的焦點(diǎn)相同，且過(guò)點(diǎn)，則雙曲線的方程是22222222222 255202012(3 2)1.211288cxCababaxyb由已知，且焦點(diǎn)在 軸上，設(shè)雙曲線 的方程為求得，故所求雙曲線解方程為 的析：12122 (_)| 2 ._1FFaMMFMFa平面內(nèi)到兩定點(diǎn) 、 的距離之差的絕對(duì)值為常數(shù)且的點(diǎn)的軌跡叫雙曲線，對(duì)該曲線上任一點(diǎn)，有在定義中，當(dāng)雙曲線時(shí)表示兩條射線，當(dāng)時(shí)，不表示任的定義何圖形 12222222221231 (1_,0,02_(0)(0)1_2000,00)0 xFcFcycaxyababFcFcybxyR焦點(diǎn)在 軸上的雙曲線：，其中，焦點(diǎn)坐標(biāo)為，；焦點(diǎn)在 軸上的雙曲線：，其中，焦點(diǎn)坐標(biāo)為， 范圍：，；對(duì)稱性：對(duì)稱雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程雙曲線 ， 的幾何性質(zhì)軸，對(duì)稱中心； 123,0,0_4(1)AaAacea一般規(guī)律：雙曲線有兩條對(duì)稱軸，它們分別是兩焦點(diǎn)連線及兩焦點(diǎn)連線段的中垂線頂點(diǎn)：，；實(shí)軸長(zhǎng)，虛軸長(zhǎng)；一般規(guī)律：雙曲線都有兩個(gè)頂點(diǎn)，頂點(diǎn)是曲線與它本身的對(duì)稱軸的交點(diǎn)離心率，雙曲線的離心率在 ，內(nèi)，離心率確定了雙曲線的形狀 2222222251_1_.10 xyabxyabbabc漸近線：雙曲線的兩條漸近線方程為；雙曲線的兩條漸近線方程為雙曲線有兩條漸近線，它們的交點(diǎn)就是雙曲線的中心；焦點(diǎn)到漸近線的距離等于虛半軸長(zhǎng) ；有公共漸近線的兩條雙曲線可能是： 共軛雙曲線； 放大的雙曲線；共軛放大或放大后共軛的雙曲線已知雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程求雙曲線的漸近線方程時(shí)，只要令雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程中的“”為“ ”就得到兩條漸2222222201xyxyabab近線方程，即方程就是雙曲線的兩條漸近線方程12122212222222222121202221(00)1(00)22 aFFaFFxyaFFababyxcabababxaA AaB Bbbayxyxab ； ， ； ， ；【要點(diǎn)指南】； 22 14210()A 6 B 14 C 614 D.8121xyPP如果雙曲線上一點(diǎn) 到雙曲線右焦點(diǎn)的距離是，那么點(diǎn) 到左焦點(diǎn)的距離為 或 或例題型一題型一 雙曲線定義的應(yīng)用雙曲線定義的應(yīng)用1221| 2410614C.PFPFaPFPF因?yàn)榻馕觯?，或，故選所以 本小題主要是應(yīng)用雙曲線的第一定義求評(píng)析：解問(wèn)題221222491551MCxyCxyM已知?jiǎng)訄A與圓：和圓：都外切，求動(dòng)圓圓心的軌素材 ：跡方程12121222|7|1 096611MCRRMCRMCxyxMCMCC設(shè)動(dòng)圓半徑為 ，則，則，可知?jiǎng)狱c(diǎn)的軌跡是以，為焦點(diǎn)的雙曲線的右支，其方程為解析： 2222 11916( 3 2 3)21164(3 2 2)2.xyxy根據(jù)下列條件，分別求出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：與雙曲線有共同的漸近線，且過(guò)點(diǎn)，；與雙曲線有公共焦點(diǎn)，且過(guò)點(diǎn)，例題型二題型二 求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程 2222344.3443342 3331.11abyxxyxxxyab 由雙曲線的方程得，所以漸近線方程為當(dāng)時(shí)，所以所求的雙曲線的焦點(diǎn)在 軸上設(shè)所求雙方法 ：曲線的方程為解析：22222222493431.92 34144baaxabby 由題意，得，解得，所以所求雙曲線的方程為解析：222222224191631.0)9161( 3,2 3)4192944164xyyxxyxxyy 雙曲線的漸近線方程為，所以設(shè)所求雙曲線的方程為將點(diǎn)代入得，故所求雙曲線的方程即為，方法 ： 222222222222221.2 5.3 24(3 2 2)1.(2 5)2128.211.18xyabcabababxy設(shè)所求雙曲線的方程為由題意易求得又雙曲線過(guò)點(diǎn)，所以因?yàn)?，所以，故所求雙曲線的方為：程方法 22221.1281416164(3222 )42xykkkxky 設(shè)所求雙曲線的方程為，將點(diǎn)，代入得，故所求雙曲線的方程為方法 ： 222222222222222222222211(0)2(0)31 1xyabxyt tabbyxaxyt tabxyabxybkaakbk 待定系數(shù)法求雙曲線方程最常用的設(shè)法：與雙曲線有共同漸近線的雙曲線方程可設(shè)為；若雙曲線的漸近線方程為，則雙曲線方程可設(shè)為；與雙曲線共焦點(diǎn)的雙曲線方評(píng)程可設(shè)為析：； 2222222222224105101xymnmnxyababxybkaakkb過(guò)兩個(gè)已知點(diǎn)的雙曲線方程可設(shè)為；與橢圓共焦點(diǎn)的雙曲線方程可設(shè)為合理利用上述結(jié)論求雙曲線的方程可簡(jiǎn)化解題過(guò)程，提高解評(píng)析：題速度22220,61(00)2.Pxyabab已知點(diǎn)與雙曲線，的兩個(gè)焦點(diǎn)的連線互相垂直，且與兩個(gè)頂點(diǎn)連線的夾角為求雙曲線素材的方程121222222216221261.1224.3tan2 3246FFxPFPFOPcFFOPcPaOPxcyba設(shè) 、為雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，依題意，它的焦點(diǎn)在 軸上因?yàn)?，且，所以，所以?與兩頂點(diǎn)連線的夾角為，所以，所以，故所求雙曲線的方程為解析：12222212 1(00)()A. 3 B. 55C. D.1323.FFxyababABOOFF AB如圖， 和分別是雙曲線 ， 的兩個(gè)焦點(diǎn)， 和 是以 為圓心，以為半徑的圓與該雙曲線左支的兩個(gè)交點(diǎn)，且是等邊三角形，則雙曲線的離心率為 例題型三題型三 雙曲線的幾何性質(zhì)雙曲線的幾何性質(zhì)11221121221 .903023232 2312 3D.AFF AFAF FFFcAFc AFcaAFAFcccceacc連接由題意得，則雙曲解線的離心率為，析：故選 本題的關(guān)鍵是將平面幾何的性質(zhì)轉(zhuǎn)化為雙曲線的特征量之評(píng)析：間的關(guān)系2212222121(00)30 3 . xyFFababFxPPFF已知 ，為雙曲線 ， 的焦點(diǎn)，過(guò)作垂直于 軸的直線交雙曲線于點(diǎn) ，且，則雙曲線的漸近線方程為素材202222002221212212222222,0 (0)()13033222.12FccP cyycbbyPFabaaRt PFFPFFbFFPFcabcaxbbyaa設(shè) ，則，解得，所以，在中，所以，即，又，故有，所以，故所求雙曲線的方法 ：漸近線方程為解析：12122222222 .2222 .222PFPFPFPFaPFabbPFaaabbaayx，由雙曲線的定義可知，得因?yàn)?，所以，所以，所以，故雙曲線的漸近線方程為法解析：方22 1(0113.)0 xyClBBCMNlOM ONO 已知雙曲線 ：的右焦點(diǎn)為 ，過(guò)點(diǎn) 作直線交雙曲線 的右支于、 兩點(diǎn)，試確定 的取值范圍例，使，其中點(diǎn) 為坐標(biāo)原點(diǎn)題型四題型四 雙曲線的綜合應(yīng)用雙曲線的綜合應(yīng)用 聯(lián)立直線方程與雙曲線方程，尋找交點(diǎn)坐分析：標(biāo)的關(guān)系112200002 ()()1,01.(1)(1)0011,1(11)1,1(11)111101 51.15.0122M xyN xyBMNxMNxMyNyyOM ONyMNMNC 設(shè)，由已知易求得當(dāng)垂直于 軸時(shí)，的方程為設(shè)，由，得，所以， 又，在雙曲線 上，所以，所以，所以因?yàn)?，所解以析?2222222212122222212122 111(1)(1)2(1)(1)()0.(1)02111111 1MNxMNxyyk xyk xkxk xkkkkxxx xkkky ykxxk 當(dāng)不垂直于 軸時(shí)，設(shè)的方程為由，得由題意知，所以，于是解析：.2121221221222 510MN1010011512.112123 302OM ONx xy ykxxkx x 因?yàn)?，且?在雙曲線的右支上，所以由知，解析： 直線與雙曲線的位置關(guān)系與直線與橢圓的位置關(guān)系有類似的處理方法，但要注意聯(lián)立后得到一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)評(píng)析：能否為零 221212 184120,4(4.)83xyCyxCCPlCABxQQCPQQAQBQ 雙曲線 與橢圓有相同的焦點(diǎn)，直線為雙曲線 的一條漸近線求雙曲線 的方程；過(guò)點(diǎn)的直線 ，交雙曲線 于 、兩點(diǎn)，交 軸于 點(diǎn)點(diǎn)與素材的頂點(diǎn)不重合 當(dāng)，且時(shí)，求 點(diǎn)的坐標(biāo) 22222222221.12,01.32,084231313xyabxyCcyxCbabaCyx設(shè)雙曲線方程為由橢圓，求得兩焦點(diǎn)為，所以對(duì)于雙曲線 有，又為雙曲線 的一條漸近線，所以，所以，所以雙曲線 的方程為解析： 11221111111111114()4()(0)44(4)()4444()424lklykxA xyB xyQPQQAkxykkxkkxkkyy 由題意知，直線 的斜率 存在且不等于零設(shè) 的方程為，則，因?yàn)?，所以，解，所以析?121221122221112221122222()11616()1031616321603161632160.3161632160.3A xyCkkkkkkk 因?yàn)?，在雙曲線 上，所以，所以，所以解同理有析：22122222122160160.16163216033284163( 2,002.)klkkxxkkkkQ 若，則直線 過(guò)頂點(diǎn)，不合題意所以所以 、是一元二次方程的兩根所以，所以，此時(shí)，所以所以所求 的坐為析標(biāo)解： 221212122141222()xCyCCCCClykxCABOA OBOk 已知橢圓的方程為，雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別是的左、右頂點(diǎn)，而的左、右頂點(diǎn)分別是的左、右焦點(diǎn)求雙曲線的方程；若直線 ：與雙曲線恒有兩個(gè)不同的交點(diǎn) 和 ，且其中 為原點(diǎn)，求 的取備選例題值范圍 222222222222221(00)4 134111.3CxyababacabxycbC 設(shè)雙曲線的方程為： ， ，則，再由，得，故的程析：方為解 2222222222211221212222131 36 290.1 306 236 1 336 1011.()()36 2932.11 3xykxykxkxlCkkkkkkA xyB xykxxx xkk 將代入，得由直線 與雙曲線交于不同的兩點(diǎn)，得，所以且設(shè)，則，1212112212122212122121222222() ()(2)(2)37122.3122373912.0331333( 1)(1331)3x xy yOA OBxyxyx xkxkxkkx xk xxkOA OBx xy ykkkkkk 所以，又因?yàn)?，得，所以即，解得，綜合，得 的取值范圍為，2221000.2()()()3abccababcabababab雙曲線中的參變量 ， ， 有關(guān)系式成立，且，其中 與 的大小關(guān)系，可以為，雙曲線的幾何性質(zhì)的實(shí)質(zhì)是圍繞雙曲線中的“六點(diǎn)”兩個(gè)焦點(diǎn)、兩個(gè)頂點(diǎn)、兩個(gè)虛軸的端點(diǎn) ，“四線”兩條對(duì)稱軸、兩條漸近線 ，“兩形”中心、焦點(diǎn)以及虛軸端點(diǎn)構(gòu)成的三角形，雙曲線上一點(diǎn)和兩焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形 研究它們之間的相互聯(lián)系橢圓是封閉性曲線，而雙曲線是開(kāi)放性的又雙曲線有兩支，故在應(yīng)用時(shí)要注意在哪一支上2222222222451061(0)AxByABxyabxyab 根據(jù)方程判定焦點(diǎn)的位置時(shí)，注意與橢圓的差異性求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)應(yīng)首先考慮焦點(diǎn)的位置，若不確定焦點(diǎn)的位置時(shí)，需進(jìn)行討論，或可直接設(shè)雙曲線的方程為與雙曲線共漸近線的雙曲線方程為22222711ebcackeaaae 雙曲線的形狀與 有關(guān)系：，越大，即漸近線的斜率的絕對(duì)值就越大，這時(shí)雙曲線的形狀就從扁狹逐漸變得開(kāi)闊由此可知，雙曲線的離心率越大，它的開(kāi)口就越開(kāi)闊22122212102401090FxyxFxyxMFFM已知定圓 ：，定圓 ：，動(dòng)圓與定圓 ，都外切，求動(dòng)圓圓心的軌跡方程2211122222212211222515,01.545,04.143352441.991FxyFrFxyFrMRMFRMFRMFMFMFFacxy定圓 ：，圓心，半徑定圓 ：，圓心，半徑設(shè)動(dòng)圓的半徑為 ，則有，所以，故點(diǎn)的軌跡是以 、為焦點(diǎn)的雙曲線，且，所以雙曲線方程為錯(cuò)解：實(shí)際上本題所求的軌跡應(yīng)該是雙曲線的一支，而非整條雙曲線，上述解法忽視了雙曲線定義中的關(guān)鍵詞“絕錯(cuò)解分析：對(duì)值”2122122135,05, 4431()0 9912MFMFMFMFMFMxyxFM 由，可得，即點(diǎn)到的距離大于點(diǎn)到的距離，所以點(diǎn)的軌跡應(yīng)該是雙曲線的左支，故軌跡方程為正解：