第五十講第五十講 古典概型與幾何概型古典概型與幾何概型回歸課本回歸課本1.基本事件的特點(diǎn)基本事件的特點(diǎn)(1)任何兩個(gè)基本事件是任何兩個(gè)基本事件是互斥互斥的的;(2)任何事件任何事件(除不可能事件除不可能事件)都可以表示成都可以表示成基本事件的和基本事件的和.2.古典概型古典概型(1)定義定義:我們將具有以下兩個(gè)特點(diǎn)的概率模型稱為古典概率模型我們將具有以下兩個(gè)特點(diǎn)的概率模型稱為古典概率模型,簡(jiǎn)稱為簡(jiǎn)稱為古典概型古典概型.試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的基本事件只有試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的基本事件只有有限有限個(gè)個(gè).每個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性每個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性相等相等.(2)計(jì)算公式計(jì)算公式:注意注意:應(yīng)用古典概型計(jì)算概率時(shí)應(yīng)用古典概型計(jì)算概率時(shí),要驗(yàn)證試驗(yàn)中基本事件的兩個(gè)條件要驗(yàn)證試驗(yàn)中基本事件的兩個(gè)條件.AP A包含的基本事件的個(gè)數(shù)基本事件的總數(shù)3.幾何概型幾何概型(1)定義定義:如果每個(gè)事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的如果每個(gè)事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長(zhǎng)度長(zhǎng)度(面積或體面積或體積積)成比例成比例,則稱這樣的概率模型為幾何概率模型則稱這樣的概率模型為幾何概率模型,簡(jiǎn)稱為幾何概型簡(jiǎn)稱為幾何概型.(2)計(jì)算公式計(jì)算公式:A().()P A構(gòu)成事件的區(qū)域長(zhǎng)度 面積或體積試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域長(zhǎng)度 面積或體積注意注意:(1)幾何概型具備以下兩個(gè)特征幾何概型具備以下兩個(gè)特征無(wú)限性無(wú)限性,即每次試驗(yàn)的結(jié)果即每次試驗(yàn)的結(jié)果(基本事件基本事件)有無(wú)限多個(gè)有無(wú)限多個(gè),且全體結(jié)果可用一且全體結(jié)果可用一個(gè)有度量的幾何區(qū)域表示個(gè)有度量的幾何區(qū)域表示;等可能性等可能性,即每個(gè)基本事件發(fā)生的概率相等即每個(gè)基本事件發(fā)生的概率相等.(2)應(yīng)用幾何概型求概率需將試驗(yàn)和事件所包含的基本事件轉(zhuǎn)化為點(diǎn)應(yīng)用幾何概型求概率需將試驗(yàn)和事件所包含的基本事件轉(zhuǎn)化為點(diǎn),然然后看這些點(diǎn)構(gòu)成的區(qū)域是線段還是平面還是幾何體后看這些點(diǎn)構(gòu)成的區(qū)域是線段還是平面還是幾何體.也就是需要將試驗(yàn)也就是需要將試驗(yàn)和事件轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的幾何圖形和事件轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的幾何圖形.考點(diǎn)陪練考點(diǎn)陪練1.(2010浙江寧波調(diào)考浙江寧波調(diào)考)在三棱錐的六條棱中任意選擇兩條在三棱錐的六條棱中任意選擇兩條,則這兩條棱則這兩條棱是一對(duì)異面直線的概率為是一對(duì)異面直線的概率為( )11.201511.56ABCD解析解析:在三棱錐的六條棱中任意選擇兩條共有在三棱錐的六條棱中任意選擇兩條共有15種情況種情況,其中異面的情況其中異面的情況有有3種種,則這兩條棱異面的概率為則這兩條棱異面的概率為 所以選所以選C.答案答案:C31,155P 2.(2010山東臨沂質(zhì)檢山東臨沂質(zhì)檢)甲、乙兩人各寫(xiě)一張賀年卡甲、乙兩人各寫(xiě)一張賀年卡,隨意送給丙、丁兩隨意送給丙、丁兩人中的一人人中的一人,則甲、乙將賀年卡送給同一人的概率是則甲、乙將賀年卡送給同一人的概率是( )11.2311.45ABCD解析解析:(甲送給丙甲送給丙,乙送給丁乙送給丁),(甲送給丁甲送給丁,乙送給丙乙送給丙),(甲甲 乙都送給丙乙都送給丙),(甲甲 乙都送給丁乙都送給丁)共四種情況共四種情況,其中甲其中甲 乙將賀年卡送給同一人的情況有乙將賀年卡送給同一人的情況有兩種兩種,所以所以 選選A.答案答案:A21,42P 3.(2010江蘇南京質(zhì)檢江蘇南京質(zhì)檢)拋擲兩顆骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)分別為拋擲兩顆骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)分別為b、c,則方程則方程x2+bx+c=0有兩個(gè)實(shí)根的概率為有兩個(gè)實(shí)根的概率為( )115.236195.366ABCD解析解析:拋擲兩顆骰子拋擲兩顆骰子,共有共有36個(gè)結(jié)果個(gè)結(jié)果,方程有解方程有解,則則=b2-4c0,b24c,滿滿足條件的數(shù)對(duì)記為足條件的數(shù)對(duì)記為(b2,4c),共有共有(4,4),(9,4),(9,8),(16,4),(16,8),(16,12),(16,16),(25,4),(25,8),(25,12),(25,16),(25,20),(25,24),(36,4),(36,8),(36,12),(36,16),(36,20),(36,24)共共19個(gè)結(jié)果個(gè)結(jié)果, 答案答案:C19.36P 4.(2010福建福州診斷福建福州診斷)為了測(cè)算如圖陰影部分的面積為了測(cè)算如圖陰影部分的面積,作一個(gè)邊長(zhǎng)為作一個(gè)邊長(zhǎng)為6的正方形將其包含在內(nèi)的正方形將其包含在內(nèi),并向正方形內(nèi)隨機(jī)投擲并向正方形內(nèi)隨機(jī)投擲800個(gè)點(diǎn)個(gè)點(diǎn),已知恰有已知恰有200個(gè)點(diǎn)落在陰影部分內(nèi)個(gè)點(diǎn)落在陰影部分內(nèi),據(jù)此據(jù)此,可估計(jì)陰影部分的面積是可估計(jì)陰影部分的面積是( )A.12 B.9 C.8 D.6解析解析:正方形面積為正方形面積為36,陰影部分面積為陰影部分面積為 36=9.答案答案:B2008005.(2010浙江溫州調(diào)研浙江溫州調(diào)研)一個(gè)袋子中有一個(gè)袋子中有5個(gè)大小相同的球個(gè)大小相同的球,其中有其中有3個(gè)黑個(gè)黑球與球與2個(gè)紅球個(gè)紅球,如果從中任取兩個(gè)球如果從中任取兩個(gè)球,則恰好取到兩個(gè)同色球的概率是則恰好取到兩個(gè)同色球的概率是( )13.51021.52ABCD解析解析:(黑黑1,黑黑2),(黑黑1,黑黑3),(黑黑1,紅紅1),(黑黑1,紅紅2),(黑黑2,黑黑3),(黑黑2,紅紅1),(黑黑2,紅紅2),(黑黑3,紅紅1),(黑黑3,紅紅2),(紅紅1,紅紅2)共共10個(gè)結(jié)果個(gè)結(jié)果,同色球?yàn)橥驗(yàn)?黑黑1,黑黑2),(黑黑1,黑黑3),(黑黑2,黑黑3),(紅紅1,紅紅2)共共4個(gè)結(jié)果個(gè)結(jié)果,答案答案:C2.5P 類型一類型一寫(xiě)出基本事件寫(xiě)出基本事件解題準(zhǔn)備解題準(zhǔn)備:隨機(jī)試驗(yàn)滿足下列條件隨機(jī)試驗(yàn)滿足下列條件:(1)試驗(yàn)可以在相同的條件下重復(fù)做下試驗(yàn)可以在相同的條件下重復(fù)做下去去;(2)試驗(yàn)的所有結(jié)果是明確可知的試驗(yàn)的所有結(jié)果是明確可知的,并且不止一個(gè)并且不止一個(gè);(3)每次試驗(yàn)總是每次試驗(yàn)總是恰好出現(xiàn)這些結(jié)果中的一個(gè)恰好出現(xiàn)這些結(jié)果中的一個(gè),但在試驗(yàn)之前卻不能肯定會(huì)出現(xiàn)哪一個(gè)結(jié)但在試驗(yàn)之前卻不能肯定會(huì)出現(xiàn)哪一個(gè)結(jié)果果.所以所以,隨機(jī)試驗(yàn)的每一個(gè)可能出現(xiàn)的結(jié)果是一個(gè)隨機(jī)事件隨機(jī)試驗(yàn)的每一個(gè)可能出現(xiàn)的結(jié)果是一個(gè)隨機(jī)事件,這類隨機(jī)這類隨機(jī)事件叫做基本事件事件叫做基本事件.【典例典例1】 做拋擲兩顆骰子的試驗(yàn)做拋擲兩顆骰子的試驗(yàn):用用(x,y)表示結(jié)果表示結(jié)果,其中其中x表示第一顆表示第一顆骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù),y表示第二顆骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)表示第二顆骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù),寫(xiě)出下列事件包含的基寫(xiě)出下列事件包含的基本事件本事件:(1)試驗(yàn)的基本事件試驗(yàn)的基本事件;(2)事件事件“出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)之和大于出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)之和大于8”;(3)事件事件“出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)相等出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)相等”;(4)事件事件“出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)之和大于出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)之和大于10”.分析分析 拋擲兩顆骰子的試驗(yàn)拋擲兩顆骰子的試驗(yàn),每次只有一種結(jié)果每次只有一種結(jié)果;且每種結(jié)果出現(xiàn)的可能且每種結(jié)果出現(xiàn)的可能性是相同的性是相同的,所以該試驗(yàn)是古典概型所以該試驗(yàn)是古典概型,當(dāng)試驗(yàn)結(jié)果較少時(shí)可用列舉法將當(dāng)試驗(yàn)結(jié)果較少時(shí)可用列舉法將所有結(jié)果一一列出所有結(jié)果一一列出. 解解 (1)這個(gè)試驗(yàn)的基本事件為這個(gè)試驗(yàn)的基本事件為(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6). (2)“出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)之和大于出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)之和大于8 ”包含以下包含以下10個(gè)基本事個(gè)基本事件件:(3,6),(4,5),(4,6),(5,4),(5,5),(5,6),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6).(3)“出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)相等出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)相等”包含以下包含以下6個(gè)基本事個(gè)基本事件件:(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6).(4)“出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)之和大于出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)之和大于10”包含以下包含以下3個(gè)基本事件個(gè)基本事件:(5,6),(6,5),(6,6).類型二類型二簡(jiǎn)單的古典概型問(wèn)題簡(jiǎn)單的古典概型問(wèn)題解題準(zhǔn)備解題準(zhǔn)備:計(jì)算古典概型事件的概率可分三步計(jì)算古典概型事件的概率可分三步:算出基本事件的總個(gè)數(shù)算出基本事件的總個(gè)數(shù)n;求出事件求出事件A所包含的基本事件個(gè)數(shù)所包含的基本事件個(gè)數(shù)m;代入公式求出概率代入公式求出概率P.【典例典例2】 從含有兩件正品從含有兩件正品a1 a2和一件次品和一件次品b1的的3件產(chǎn)品中每次任取件產(chǎn)品中每次任取1件件,每次取出后不放回每次取出后不放回,連續(xù)取兩次連續(xù)取兩次,求取出的兩件產(chǎn)品中恰有一件次求取出的兩件產(chǎn)品中恰有一件次品的概率品的概率. 分析分析 先用坐標(biāo)法求出基本事件數(shù)先用坐標(biāo)法求出基本事件數(shù)m和和n,再利用公式再利用公式 求出求出P.解解 每次取一件每次取一件,取后不放回地連續(xù)取兩次取后不放回地連續(xù)取兩次,其一切可能的結(jié)果為其一切可能的結(jié)果為(a1,a2),(a1,b1),(a2,a1),(a2,b1),(b1,a1),(b1,a2),其中小括號(hào)內(nèi)左邊的字其中小括號(hào)內(nèi)左邊的字母表示第母表示第1次取出的產(chǎn)品次取出的產(chǎn)品,右邊的字母表示第右邊的字母表示第2次取出的產(chǎn)品次取出的產(chǎn)品,由由6個(gè)基本個(gè)基本事件組成事件組成,而且可以認(rèn)為這些基本事件的出現(xiàn)是等可能的而且可以認(rèn)為這些基本事件的出現(xiàn)是等可能的.用用A表示表示“取取出的兩件產(chǎn)品中出的兩件產(chǎn)品中,恰好有一件次品恰好有一件次品”這一事件這一事件,則則,mPnA=(a1,b1),(a2,b1),(b1,a1),(b1,a2).事件事件A由由4個(gè)基本事件組成個(gè)基本事件組成,因而因而42().63P A 類型三類型三復(fù)雜事件的古典概型問(wèn)題復(fù)雜事件的古典概型問(wèn)題解題準(zhǔn)備解題準(zhǔn)備:求復(fù)雜事件的概率問(wèn)題求復(fù)雜事件的概率問(wèn)題,關(guān)鍵是理解題目的實(shí)際含義關(guān)鍵是理解題目的實(shí)際含義,必要時(shí)將必要時(shí)將所求事件轉(zhuǎn)化為彼此互斥事件的和所求事件轉(zhuǎn)化為彼此互斥事件的和,或者是先去求對(duì)立事件的概率或者是先去求對(duì)立事件的概率,進(jìn)進(jìn)而再用互斥事件的概率加法公式或?qū)α⑹录母怕使角蟪鏊笫录儆没コ馐录母怕始臃ü交驅(qū)α⑹录母怕使角蟪鏊笫录母怕实母怕?【典例典例3】 某種飲料每箱裝某種飲料每箱裝6聽(tīng)聽(tīng),如果其中有如果其中有2聽(tīng)不合格聽(tīng)不合格,質(zhì)檢人員從中隨質(zhì)檢人員從中隨機(jī)抽出機(jī)抽出2聽(tīng)聽(tīng),求下列事件的概率求下列事件的概率:(1)A:經(jīng)檢測(cè)兩聽(tīng)都是合格品經(jīng)檢測(cè)兩聽(tīng)都是合格品;(2)B:經(jīng)檢測(cè)兩聽(tīng)一聽(tīng)合格經(jīng)檢測(cè)兩聽(tīng)一聽(tīng)合格,一聽(tīng)不合格一聽(tīng)不合格;(3)C:檢測(cè)出不合格產(chǎn)品檢測(cè)出不合格產(chǎn)品. 分析分析 顯然屬于古典概型顯然屬于古典概型,所以先求出任取所以先求出任取2聽(tīng)的基本事件總數(shù)聽(tīng)的基本事件總數(shù),再分別再分別求出事件求出事件A B C所包含的基本事件的個(gè)數(shù)所包含的基本事件的個(gè)數(shù),套用公式求解即可套用公式求解即可. 解解 設(shè)合格的設(shè)合格的4聽(tīng)分別記作聽(tīng)分別記作1,2,3,4,不合格的兩聽(tīng)分別記作不合格的兩聽(tīng)分別記作a,b.解法一解法一:如果看作是一次性抽取如果看作是一次性抽取2聽(tīng)聽(tīng),沒(méi)有順序沒(méi)有順序,那么所有基本事件為那么所有基本事件為:(1,2),(1,3),(1,4),(1,a),(1,b),(2,3),(2,4),(2,a),(2,b),(3,4),(3,a),(3,b),(4,a),(4,b),(a,b),共共15個(gè)個(gè). (1)事件事件A:兩聽(tīng)都是合格品包含兩聽(tīng)都是合格品包含6個(gè)基本事件個(gè)基本事件,P(A)=(2)事件事件B:一聽(tīng)合格一聽(tīng)合格,一聽(tīng)不合格一聽(tīng)不合格,包含包含8個(gè)基本事件個(gè)基本事件,P(B)=(3)事件事件C:檢測(cè)出不合格產(chǎn)品包含檢測(cè)出不合格產(chǎn)品包含9個(gè)基本事件個(gè)基本事件,P(C)=62.1558.1593.155解法二解法二:如果看作是依次不放回抽取兩聽(tīng)如果看作是依次不放回抽取兩聽(tīng),有順序有順序,那么所有基本事件為那么所有基本事件為:(1,2),(1,3),(1,4),(1,a),(1,b),(2,1),(2,3),(2,4),(2,a),(2,b),(3,1),(3,2),(3,4),(3,a),(3,b),(4,1),(4,2),(4,3),(4,a),(4,b),(a,1),(a,2),(a,3),(a,4),(a,b),(b,1),(b,2),(b,3),(b,4),(b,a).共共30個(gè)個(gè). (1)事件事件A:兩聽(tīng)都是合格品包含兩聽(tīng)都是合格品包含12個(gè)基本事件個(gè)基本事件,P(A)=(2)事件事件B:一聽(tīng)合格一聽(tīng)合格,一聽(tīng)不合格包含一聽(tīng)不合格包含16個(gè)基本事件個(gè)基本事件,P(B)=(3)事件事件C:檢測(cè)出不合格產(chǎn)品包含檢測(cè)出不合格產(chǎn)品包含18個(gè)基本條件個(gè)基本條件,P(C)=122.305168.3015183.305類型四類型四與長(zhǎng)度有關(guān)的幾何概型與長(zhǎng)度有關(guān)的幾何概型解題準(zhǔn)備解題準(zhǔn)備:1.如果試驗(yàn)的結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域的幾何度量可用長(zhǎng)度表示如果試驗(yàn)的結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域的幾何度量可用長(zhǎng)度表示,則其則其概率的計(jì)算公式為概率的計(jì)算公式為(.A)P A 構(gòu)成事件的區(qū)域長(zhǎng)度試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域長(zhǎng)度2.將每個(gè)基本事件理解為從某個(gè)特定的幾何區(qū)域內(nèi)隨機(jī)地取一點(diǎn)將每個(gè)基本事件理解為從某個(gè)特定的幾何區(qū)域內(nèi)隨機(jī)地取一點(diǎn),該區(qū)域該區(qū)域中每一點(diǎn)被取到的機(jī)會(huì)都一樣中每一點(diǎn)被取到的機(jī)會(huì)都一樣,而一個(gè)隨機(jī)事件的發(fā)生則理解為恰好取而一個(gè)隨機(jī)事件的發(fā)生則理解為恰好取到上述區(qū)域內(nèi)的某個(gè)指定區(qū)域中的點(diǎn)到上述區(qū)域內(nèi)的某個(gè)指定區(qū)域中的點(diǎn),這樣的概率模型就可以用幾何概這樣的概率模型就可以用幾何概型來(lái)求解型來(lái)求解.【典例典例4】 公交車(chē)站點(diǎn)每隔公交車(chē)站點(diǎn)每隔15分鐘有一輛汽車(chē)通過(guò)分鐘有一輛汽車(chē)通過(guò),乘客到達(dá)站點(diǎn)的任乘客到達(dá)站點(diǎn)的任一時(shí)刻是等可能的一時(shí)刻是等可能的,求乘客候車(chē)不超過(guò)求乘客候車(chē)不超過(guò)3分鐘的概率分鐘的概率.分析分析 在任一時(shí)刻到達(dá)站點(diǎn)都是一個(gè)基本事件在任一時(shí)刻到達(dá)站點(diǎn)都是一個(gè)基本事件,基本事件有無(wú)限個(gè)基本事件有無(wú)限個(gè).又在又在任一時(shí)刻到達(dá)站點(diǎn)是等可能的任一時(shí)刻到達(dá)站點(diǎn)是等可能的,故是幾何概型故是幾何概型. 解解 這里的區(qū)域長(zhǎng)度理解為這里的區(qū)域長(zhǎng)度理解為“時(shí)間長(zhǎng)度時(shí)間長(zhǎng)度”,總長(zhǎng)度為總長(zhǎng)度為15分鐘分鐘,設(shè)事件設(shè)事件A=候車(chē)時(shí)間不超過(guò)候車(chē)時(shí)間不超過(guò)3分鐘分鐘,則則A的長(zhǎng)度為的長(zhǎng)度為3分鐘分鐘,由幾何概型得由幾何概型得31().155P A 類型五類型五與面積與面積(或體積或體積)有關(guān)的幾何概型有關(guān)的幾何概型解題準(zhǔn)備解題準(zhǔn)備:1.如果試驗(yàn)的結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域的幾何度量可用面積表示如果試驗(yàn)的結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域的幾何度量可用面積表示,則則其概率的計(jì)算公式為其概率的計(jì)算公式為:2.如果試驗(yàn)的結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域的幾何度量可用體積表示如果試驗(yàn)的結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域的幾何度量可用體積表示,則其概率的計(jì)則其概率的計(jì)算公式為算公式為:(.A)P A 構(gòu)成事件的區(qū)域面積試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域面積(.A)P A 構(gòu)成事件的區(qū)域體積試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域體積【典例典例5】 已知已知|x|2,|y|2,點(diǎn)點(diǎn)P的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為(x,y).(1)求當(dāng)求當(dāng)x,yR時(shí)時(shí),P滿足滿足(x-2)2+(y-2)24的概率的概率;(2)求當(dāng)求當(dāng)x,yZ時(shí)時(shí),P滿足滿足(x-2)2+(y-2)24的概率的概率;分析分析 本題第本題第(1)問(wèn)為幾何概型問(wèn)為幾何概型,可采用數(shù)形結(jié)合的思想畫(huà)出圖形可采用數(shù)形結(jié)合的思想畫(huà)出圖形,然后利然后利用幾何概型的概率公式求解用幾何概型的概率公式求解,第第(2)問(wèn)為古典概型只需分別求出問(wèn)為古典概型只需分別求出|x|2,|y|2內(nèi)的點(diǎn)以及內(nèi)的點(diǎn)以及(x-2)2+(y-2)24的點(diǎn)的個(gè)數(shù)即可的點(diǎn)的個(gè)數(shù)即可. 解解 (1)如圖如圖,點(diǎn)點(diǎn)P所在的區(qū)域?yàn)檎叫嗡诘膮^(qū)域?yàn)檎叫蜛BCD的內(nèi)部的內(nèi)部(含邊界含邊界),滿足滿足(x-2)2+(y-2)24的點(diǎn)的區(qū)域?yàn)橐缘狞c(diǎn)的區(qū)域?yàn)橐?2,2)為圓心為圓心,2為半徑的圓面為半徑的圓面(含邊界含邊界).12124.4P416所求的概率 (2)滿足滿足x,yZ,且且|x|2,|y|2的點(diǎn)的點(diǎn)(x,y)有有25個(gè)個(gè),滿足滿足x,yZ,且且(x-2)2+(y-2)24的點(diǎn)的點(diǎn)(x,y) 有有6個(gè)個(gè),所求的概率所求的概率P2=6.25類型六類型六生活中的幾何概型生活中的幾何概型解題準(zhǔn)備解題準(zhǔn)備:生活中的幾何概型常見(jiàn)的有人約會(huì)生活中的幾何概型常見(jiàn)的有人約會(huì) 船停碼頭船停碼頭 等車(chē)等問(wèn)題等車(chē)等問(wèn)題,解決時(shí)要注意解決時(shí)要注意:(1)要注意實(shí)際問(wèn)題中的可能性的判斷要注意實(shí)際問(wèn)題中的可能性的判斷;(2)將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為幾何概型中的長(zhǎng)度將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為幾何概型中的長(zhǎng)度 角度角度 面積面積 體積等常見(jiàn)幾體積等常見(jiàn)幾何概型的求解問(wèn)題何概型的求解問(wèn)題,構(gòu)造出隨機(jī)事件構(gòu)造出隨機(jī)事件A對(duì)應(yīng)的幾何圖形對(duì)應(yīng)的幾何圖形,利用幾何圖形的利用幾何圖形的度量來(lái)求隨機(jī)事件的概率度量來(lái)求隨機(jī)事件的概率,根據(jù)實(shí)際問(wèn)題的具體情況根據(jù)實(shí)際問(wèn)題的具體情況,合理設(shè)置參數(shù)合理設(shè)置參數(shù),建建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系,在此基礎(chǔ)上將試驗(yàn)的每一個(gè)結(jié)果一一對(duì)應(yīng)于該坐標(biāo)系在此基礎(chǔ)上將試驗(yàn)的每一個(gè)結(jié)果一一對(duì)應(yīng)于該坐標(biāo)系的點(diǎn)的點(diǎn),便可構(gòu)造出度量區(qū)域便可構(gòu)造出度量區(qū)域.【典例典例6】 兩人約定在兩人約定在20 00到到21 00之間相見(jiàn)之間相見(jiàn),并且先到者必須等遲并且先到者必須等遲到者到者40分鐘方可離去分鐘方可離去,如果兩人出發(fā)是各自獨(dú)立的如果兩人出發(fā)是各自獨(dú)立的,在在20 00至至21 00各時(shí)刻相見(jiàn)的可能性是相等的各時(shí)刻相見(jiàn)的可能性是相等的,求兩人在約定時(shí)間內(nèi)相見(jiàn)的概率求兩人在約定時(shí)間內(nèi)相見(jiàn)的概率. 分析分析 兩人不論誰(shuí)先到都要等遲到者兩人不論誰(shuí)先到都要等遲到者40分鐘分鐘,即即 小時(shí)小時(shí),設(shè)兩人分別于設(shè)兩人分別于x時(shí)和時(shí)和y時(shí)到達(dá)約見(jiàn)地點(diǎn)時(shí)到達(dá)約見(jiàn)地點(diǎn),要使兩人在約定的時(shí)間范圍內(nèi)相見(jiàn)要使兩人在約定的時(shí)間范圍內(nèi)相見(jiàn),當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng) x-y ,因此轉(zhuǎn)化成面積問(wèn)題因此轉(zhuǎn)化成面積問(wèn)題,利用幾何概型求解利用幾何概型求解.232323 解解 設(shè)兩人分別于設(shè)兩人分別于x時(shí)和時(shí)和y時(shí)到達(dá)約見(jiàn)地點(diǎn)時(shí)到達(dá)約見(jiàn)地點(diǎn),要使兩人能在約定時(shí)間范圍要使兩人能在約定時(shí)間范圍內(nèi)相見(jiàn)內(nèi)相見(jiàn),當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng) x-y兩人到達(dá)約見(jiàn)地點(diǎn)所有時(shí)刻兩人到達(dá)約見(jiàn)地點(diǎn)所有時(shí)刻(x,y)的各種可能結(jié)果可用圖中的單位正方的各種可能結(jié)果可用圖中的單位正方形內(nèi)形內(nèi)(包括邊界包括邊界)的點(diǎn)來(lái)表示的點(diǎn)來(lái)表示,兩人能在約定的時(shí)間范圍內(nèi)相見(jiàn)的所有時(shí)兩人能在約定的時(shí)間范圍內(nèi)相見(jiàn)的所有時(shí)刻刻(x,y)的各種可能結(jié)果可用圖中的陰影部分的各種可能結(jié)果可用圖中的陰影部分(包括邊界包括邊界)來(lái)表示來(lái)表示.232.3因此陰影部分與單位正方形的面積比就反映了兩人在約定時(shí)間范圍內(nèi)相因此陰影部分與單位正方形的面積比就反映了兩人在約定時(shí)間范圍內(nèi)相遇的可能性的大小遇的可能性的大小,也就是所求的概率為也就是所求的概率為221183.19SPS陰影單位正方形 反思感悟反思感悟 此題易誤算為此題易誤算為 原因在于把面積問(wèn)題誤認(rèn)為是原因在于把面積問(wèn)題誤認(rèn)為是(時(shí)間時(shí)間)長(zhǎng)度問(wèn)題長(zhǎng)度問(wèn)題,兩人能夠會(huì)面用圖中陰影部分表示更準(zhǔn)確兩人能夠會(huì)面用圖中陰影部分表示更準(zhǔn)確,此處容易表此處容易表示錯(cuò)示錯(cuò).402,603P 錯(cuò)源一錯(cuò)源一對(duì)事件的幾何元素分析不清致誤對(duì)事件的幾何元素分析不清致誤【典例典例1】 在等腰在等腰RtABC中中,過(guò)直角頂點(diǎn)過(guò)直角頂點(diǎn)C在在ACB內(nèi)作一條射線內(nèi)作一條射線CD與線段與線段AB交于點(diǎn)交于點(diǎn)D,求求ADAC的概率的概率.錯(cuò)解錯(cuò)解 在線段在線段AB上取一點(diǎn)上取一點(diǎn)E,使使AE=AC,在線段在線段AE上取一點(diǎn)上取一點(diǎn)D,過(guò)過(guò)C D作作射線射線CD,此時(shí)此時(shí)ADAC,求得概率為求得概率為2.2ACAEABAB 剖析剖析 上面是常見(jiàn)的錯(cuò)誤解法上面是常見(jiàn)的錯(cuò)誤解法,原因是不能準(zhǔn)確找出事件的幾何度量原因是不能準(zhǔn)確找出事件的幾何度量.正解正解 射線射線CD在在ACB內(nèi)是均勻分布的內(nèi)是均勻分布的,故故ACB=90可看成試驗(yàn)的可看成試驗(yàn)的所有結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域所有結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域,在線段在線段AB上取一點(diǎn)上取一點(diǎn)E,使使AE=AC,則則ACE=67.5可看成所求事件構(gòu)成的區(qū)域可看成所求事件構(gòu)成的區(qū)域,所以滿足條件的概率為所以滿足條件的概率為67.53.904 評(píng)析評(píng)析 古典概型與幾何概型的判斷方法古典概型與幾何概型的判斷方法古典概型古典概型 幾何概型以及前面復(fù)習(xí)的概率加法公式都是求解概率題目的幾何概型以及前面復(fù)習(xí)的概率加法公式都是求解概率題目的方法方法,一個(gè)概率問(wèn)題具體用什么方法求解需要去分析這一問(wèn)題所描述的一個(gè)概率問(wèn)題具體用什么方法求解需要去分析這一問(wèn)題所描述的試驗(yàn)和事件試驗(yàn)和事件.因此因此,碰到概率問(wèn)題時(shí)碰到概率問(wèn)題時(shí),先確定該問(wèn)題的試驗(yàn)會(huì)有哪些事件先確定該問(wèn)題的試驗(yàn)會(huì)有哪些事件.若試驗(yàn)包含的基本事件有有限個(gè)若試驗(yàn)包含的基本事件有有限個(gè),則考慮古典概型則考慮古典概型;如果試驗(yàn)包含的基如果試驗(yàn)包含的基本事件有無(wú)限個(gè)本事件有無(wú)限個(gè),則考慮幾何概型則考慮幾何概型.概率加法公式的選擇概率加法公式的選擇,則需要分析題則需要分析題目中所描述的事件之間的關(guān)系目中所描述的事件之間的關(guān)系.錯(cuò)源二錯(cuò)源二構(gòu)造隨機(jī)事件對(duì)應(yīng)的幾何圖形出錯(cuò)構(gòu)造隨機(jī)事件對(duì)應(yīng)的幾何圖形出錯(cuò)【典例典例2】 向面積為向面積為S的正方形的正方形ABCD內(nèi)投一點(diǎn)內(nèi)投一點(diǎn)P,試求三角形試求三角形PBC的面的面積小于積小于 的概率的概率.4S 錯(cuò)解錯(cuò)解 如圖所示如圖所示,設(shè)三角形設(shè)三角形PBC的邊的邊BC上的高為上的高為PF,線段線段PF所在的直線所在的直線交交AD于點(diǎn)于點(diǎn)E,則當(dāng)點(diǎn)則當(dāng)點(diǎn)P到底邊到底邊BC的距離小于的距離小于EF的一半時(shí)的一半時(shí),有有 即即0SPBC110,24BC PFBC EF.4S記事件記事件A為為“三角形三角形PBC的面積小于的面積小于 ”,由幾何概型可得由幾何概型可得4S1().4PBCABCDSP AS正方形 剖析剖析 錯(cuò)解構(gòu)造的圖形有誤錯(cuò)解構(gòu)造的圖形有誤,如圖所示如圖所示,設(shè)設(shè)G為為AB的中點(diǎn)的中點(diǎn),H為為CD的中點(diǎn)的中點(diǎn),則點(diǎn)則點(diǎn)P可以是矩形可以是矩形GBCH內(nèi)的任意一點(diǎn)內(nèi)的任意一點(diǎn).正解正解 如圖所示如圖所示,設(shè)設(shè)G為為AB的中點(diǎn)的中點(diǎn),H為為CD的中點(diǎn)的中點(diǎn),當(dāng)點(diǎn)當(dāng)點(diǎn)P是矩形是矩形GBCH內(nèi)內(nèi)的任意一點(diǎn)時(shí)的任意一點(diǎn)時(shí),P到底邊到底邊BC的距離小于的距離小于AB的一半的一半,所以所以0SPBC ,記記事件事件A為為“三角形三角形PBC的面積小于的面積小于 ”,由幾何概型可得由幾何概型可得4S4S1().2GBCHABCDSP AS矩形正方形技法一技法一“有放回的有放回的” “與順序有關(guān)的與順序有關(guān)的”古典概型古典概型【典例典例1】 一袋中裝有大小相同一袋中裝有大小相同,編號(hào)分別為編號(hào)分別為1,2,3,4,5,6,7,8的八個(gè)球的八個(gè)球,從從中有放回地每次取一個(gè)球中有放回地每次取一個(gè)球,共取共取2次次,則取得兩個(gè)球的編號(hào)和不小于則取得兩個(gè)球的編號(hào)和不小于15的的概率為概率為( )1133.32643264ABCD 剖析剖析 本題是一個(gè)本題是一個(gè)“有放回的有放回的” “與順序有關(guān)的與順序有關(guān)的”古典概型問(wèn)題古典概型問(wèn)題,故故可由圖表法求解可由圖表法求解.解析解析 設(shè)設(shè)“取得兩個(gè)球的編號(hào)和不小于取得兩個(gè)球的編號(hào)和不小于15”為事件為事件A,如圖所示如圖所示.由圖易由圖易知知: 整個(gè)基本事件空間包含整個(gè)基本事件空間包含64個(gè)基本事件個(gè)基本事件,事件事件A包含包含3個(gè)基本事件個(gè)基本事件,故故 選選D.答案答案 D3().64P A 技法二技法二“不放回的不放回的” “與順序無(wú)關(guān)的與順序無(wú)關(guān)的”古典概型古典概型【典例典例2】 在一個(gè)袋子中裝有分別標(biāo)注數(shù)字在一個(gè)袋子中裝有分別標(biāo)注數(shù)字1,2,3,4,5的五個(gè)小球的五個(gè)小球,這些這些小球除標(biāo)注的數(shù)字外完全相同小球除標(biāo)注的數(shù)字外完全相同.現(xiàn)從中隨機(jī)取出現(xiàn)從中隨機(jī)取出2個(gè)小球個(gè)小球,則取出的小球則取出的小球標(biāo)注的數(shù)字之和為標(biāo)注的數(shù)字之和為3或或6的概率是的概率是( )3111.1051012ABCD 解析解析 設(shè)設(shè)“從中隨機(jī)取出從中隨機(jī)取出2個(gè)小球個(gè)小球,取出的小球標(biāo)注的數(shù)字之和為取出的小球標(biāo)注的數(shù)字之和為3或或6”為事件為事件A,容易判斷這是個(gè)與容易判斷這是個(gè)與“順序無(wú)關(guān)的順序無(wú)關(guān)的” “不放回的不放回的”古典概型古典概型問(wèn)題問(wèn)題,如圖如圖.由圖易知由圖易知:整個(gè)基本事件空間包含整個(gè)基本事件空間包含10個(gè)基本事件個(gè)基本事件,事件事件A包含包含3個(gè)基本事件個(gè)基本事件(如圖中圓圈對(duì)應(yīng)的基本事件如圖中圓圈對(duì)應(yīng)的基本事件),由古典概型公式可得由古典概型公式可得 選選A.答案答案 A3().10P A 技法三技法三數(shù)形結(jié)合方法求解數(shù)形結(jié)合方法求解【典例典例3】 把一顆骰子投擲兩次把一顆骰子投擲兩次,觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù),并記第一次出現(xiàn)的點(diǎn)并記第一次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為數(shù)為a,第二次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為第二次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為b,向量向量m=(a,b),n=(1,-2),則向量則向量m與向量與向量n垂直的概率是垂直的概率是( )1111.612918ABCD解析解析 如圖如圖,由題意可知由題意可知:向量向量m=(a,b)共有共有36個(gè)個(gè),所以基本事件空間包括所以基本事件空間包括的基本事件個(gè)數(shù)是的基本事件個(gè)數(shù)是36.由由mn得得mn=a-2b=0,即即a=2b.設(shè)設(shè)“向量向量m與向量與向量n垂直垂直”為事件為事件A,則事件則事件A包含的基本事件有包含的基本事件有3個(gè)個(gè):(2,1),(4,2),(6,3).由古典概型公式可知由古典概型公式可知:P(A)= .故選故選B.答案答案 B313612 方法與技巧方法與技巧 本題以古典概型為背景本題以古典概型為背景,加入了向量形式的條件加入了向量形式的條件,把概率和把概率和向量垂直交融在一起向量垂直交融在一起,利用數(shù)形結(jié)合的思想求解利用數(shù)形結(jié)合的思想求解.