第第2講講 證明不等式的基本方法證明不等式的基本方法不同尋常的一本書(shū)，不可不讀喲！1.了解證明不等式的基本方法：比較法、綜合法、分析法、反證法、放縮法2. 會(huì)用柯西不等式證明一些簡(jiǎn)單的不等式以及求一些特定函數(shù)的極值.1種必會(huì)方法綜合法往往是分析法的相反過(guò)程，其表述簡(jiǎn)單、條理清楚當(dāng)問(wèn)題比較復(fù)雜時(shí)，通常把分析法和綜合法結(jié)合起來(lái)使用，以分析法尋找證明的思路，而用綜合法敘述、表達(dá)整個(gè)證明過(guò)程2點(diǎn)必會(huì)技巧1. 利用基本不等式求最值時(shí)，一定要注意“一正二定三相等”，同時(shí)還要注意一些變形技巧，積極創(chuàng)造條件利用基本不等式2. 常用的初等變形有均勻裂項(xiàng)、增減項(xiàng)、配系數(shù)等利用基本不等式還可以證明條件不等式，關(guān)鍵是恰當(dāng)?shù)乩脳l件，構(gòu)造基本不等式所需要的形式3點(diǎn)必須注意1. 作差比較法適用的主要題型是多項(xiàng)式、分式、對(duì)數(shù)式、三角式，作商比較法適用的主要題型是高次冪乘積結(jié)構(gòu)2. 放縮法的依據(jù)是不等式的傳遞性，運(yùn)用放縮法證明不等式時(shí)，要注意放縮適度，“放”和“縮”的量的大小是由題目分析，多次嘗試得出放得過(guò)大或過(guò)小都不能達(dá)到證明目的3. 利用柯西不等式求最值，實(shí)質(zhì)上就是利用柯西不等式進(jìn)行放縮，放縮不當(dāng)則等號(hào)可能不成立，因此，要切記檢驗(yàn)等號(hào)成立的條件.課前自主導(dǎo)學(xué)(1)若x2y4z1，則x2y2z2的最小值是_(2)x，yR，且x2y210，則2xy的取值范圍為_(kāi)(2)分析法從所要_入手向使它成立的充分條件反推直至達(dá)到已知條件為止，這種證法稱為分析法，即“執(zhí)果索因”的證明方法(3)綜合法從已知條件出發(fā)，利用不等式的性質(zhì)(或已知證明過(guò)的不等式)，推出所要證明的結(jié)論，即“由因?qū)す钡姆椒?，這種證明不等式的方法稱為綜合法(4)反證法的證明步驟第一步：作出與所證不等式_的假設(shè)；第二步：從_出發(fā)，應(yīng)用正確的推理方法，推出矛盾的結(jié)論，否定假設(shè)，從而證明原不等式成立(5)放縮法所謂放縮法，即要把所證不等式的一邊適當(dāng)?shù)豞，以利于化簡(jiǎn)，并使它與不等式的另一邊的不等關(guān)系更為明顯，從而得到欲證不等式成立在證明不等式時(shí)綜合法與分析法有怎樣的關(guān)系？核心要點(diǎn)研究審題視點(diǎn)本題主要考查不等式證明的方法，考查運(yùn)算求解能力及等價(jià)轉(zhuǎn)化思想，可用作差比較法證明此題用的是作差比較法，其步驟：作差、變形、判斷差的符號(hào)、結(jié)論.其中判斷差的符號(hào)為目的，變形是關(guān)鍵.常用的變形技巧有因式分解、配方、拆項(xiàng)、拼項(xiàng)等方法.變式探究求證：a2b2abab1.1.分析法要注意敘述的形式：“要證A，只要證B”，這里B應(yīng)是A成立的充分條件.2.綜合法證明不等式是“由因?qū)Ч?，分析法證明不等式是“執(zhí)果索因”.它們是兩種思路截然相反的證明方法.分析法便于尋找解題思路，而綜合法便于敘述，因此要注意兩種方法在解題中的綜合運(yùn)用.變式探究設(shè)ab0，求證：3a32b33a2b2ab2.證明：證法一(綜合法)ab0，a2b2，則3a22b2，則3a22b20.又ab0，(ab)(3a22b2)0，即3a32ab23a2b2b30，則3a32b33a2b2ab2.故原不等式成立 證法二(分析法)要證3a32b33a2b2ab2，只需證3a32b33a2b2ab20，即3a2(ab)2b2(ba)0，也即(ab)(3a22b2)0，(*)ab0，ab0.又a2b2，則3a22b2，3a22b20.(*)式顯然成立，故原不等式成立. 審題視點(diǎn)(1)根據(jù)式子的特點(diǎn)，利用公式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，根據(jù)集合相等確定m的值；(2)結(jié)合已知條件構(gòu)造兩個(gè)適當(dāng)?shù)臄?shù)組，變形為柯西不等式的形式經(jīng)典演練提能 1. 已知a1a2，b1b2，則Pa1b1a2b2，Qa1b2a2b1的大小關(guān)系是()A. PQ B. PQ答案：C解析：(a1b1a2b2)(a1b2a2b1)(b1b2)(a1a2)a1a2，b1b2(b1b2)(a1a2)0a1b1a2b2a1b2a2b1.答案：C答案：C答案：MN