第五單元第五單元 平面向量與復(fù)數(shù)平面向量與復(fù)數(shù)第一節(jié)第一節(jié) 平面向量的概念及其線性平面向量的概念及其線性運算運算基礎(chǔ)梳理基礎(chǔ)梳理1.向量的有關(guān)概念及其表示法名稱定義表示法向量既有 又有 的量;向量的大小叫做向量 的 (或） ， 向量_ 模_ 零向量長度為 的向量;其方向是任意的記作 ，單位向量長度等于 個單位長度的向量常用 表示大小方向長度模00aa1e平行向量方向 或 的非零向量a與b共線可記為共線向量 向量又叫做共線向量0與任一向量 ，相等向量長度 且方向_的向量a與b相等記作相反向量長度 且方向_的向量(1)a的相反向量記作 ,a+0=0+a=aa+(-a)=(-a)+a=0(2)0的相反向量為_ 0相同相反平行相等相同abab共線相反相等a2.向量的線性運算向量運算定義法則(或幾何意義)運算律加法求兩個向量和的運算法則 , . (1)交換律:a+b= .(2)結(jié)合律:(a+b)+c=_減法求兩個向量差的運算 .a-b= .三角形平行四邊形baa(bc)三角形a(b)數(shù)乘求實數(shù)與向量a的積的運算(1)|a|= .(2)當(dāng)0時,a與a的方向 ;當(dāng)0時,a與a的方向 ;當(dāng)a=0時，a=0;當(dāng)=0時,a= .(a)= ;(+)a= ;(a+b)= .3. 向量共線定理非零向量a與向量b共線的充要條件:存在唯一一個實數(shù),使 .ab |a|相同相反0()aaaba(a0)基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)1. (必修4P57習(xí)題3改編)如圖,O為正方形ABCD對角線的交點，四邊形OAED,OCFB都是正方形，在圖中所示的向量中，與向量AE相等的向量是 ，與向量BF共線的向量是 ，與向量CF的模相等的向量是 .解析：由向量的相關(guān)定義結(jié)合正方形的性質(zhì)可知 BO AOCO DEBF BO CO AODOAE DE 2. (必修4P66習(xí)題6改編)已知向量a,b,且5(x+a)+3(x-b)=0，則x= .5388ab解析：原式可變形為5x5a3x3b0，8x=-5a+3b，x= 5388ab3. 一輛汽車向西行駛了10千米，然后改變方向向南行駛了10千米，則該汽車兩次位移的和為 .西南方向10 千米2解析：如圖所示，所以 ，方向為西南方向 ACABBC 10 2AC 4. (2011如東中學(xué)考試)已知ABC，若點M滿足AB+AC-3AM=0,則MA+MB+MC= .0解析：由已知得 3ABACAM 3()30MAMBMCMAMAMBMAMCMAABACMAAM 5. 已知e1,e2是不共線向量，a=ke1+e2,b=e1+ke2,若ab,則k= .解析：ab，由向量共線等價條件得：ab(R)，即ke1e2(e1ke2)，(k)e1(1k)e20，又e1，e2不共線，由平面向量基本定理得k1.1經(jīng)典例題經(jīng)典例題題型一 平面向量的有關(guān)概念【例1】給出下列五個命題:兩個向量相等,則它們的起點相同,終點相同;若|a|=|b|,則a=b;在ABCD中,一定有AB=DC;若m=n,n=p,則m=p;若ab,bc,則ac.其中正確的序號是 . 分析在正確理解有關(guān)概念的基礎(chǔ)上，注意特殊的情況，是解決本題的關(guān)鍵解：若兩個向量起點相同，終點相同，則兩向量相等，但兩個向量相等，不一定有相同的起點和終點，所以不正確；|a|b|，但a，b方向不確定，所以a，b不一定相等，故不正確；零向量與任一非零向量都平行，當(dāng)b0時，a與c不一定平行，故不正確正確【例2】如圖,D、E、F分別為ABC的三邊BC、AC、AB的中點.求證:AD+BE+CF=0.題型二 平面向量的線性運算分析：在三角形中其他向量最好向三條邊上的向量靠攏，即用， ，來分別表示待求的向量 ,AB BC AC ,22,22()0,ADACCD ADABBDADACABCDBDBEBABCCFCACBADBECFACABBABCCACBAD 同理所以故0BECF 解析：變式2-1(2011南京師大附中期中考試)在如圖所示的平面圖形中，已知OA=a,OB=b,點A、B分別是線段CE、ED的中點.試用a,b表示CD.連結(jié)AB，則AB為CDE的中位線 ba， 2(ba)AB CD2AB 解析：【例3】設(shè)兩非零向量a和b不共線,如果AB=a+b,CD=3(a-b),BC=2a+8b.求證:A、B、D三點共線.題型三 向量的共線問題分析：用向量法證明A、B、D三點共線，可以利用向量共線定理，得到 (或 等)， 說明直線BD和AB平行或重合；因為有公共點B，所以只能重合，從而由向量共線推出三點共線BDAB ADAB BDAB 解： 2a8b， 3(ab)， 2a8b3(ab)5(ab)， .由向量共線定理得 ，又直線AB和BD有公共點B，所以A、B、D三點共線BC CD BD=BC+CD BD5AB BDAB 變式3-1設(shè)兩個非零向量e1,e2不共線,已知AB=2e1+ke2,CB=e1+3e2,CD=2e1-e2.若A、B、D三點共線,試求k的值.解析： 2e1e2(e13e2)e14e2.若A、B、D三點共線，則 ，從而存在唯一實數(shù)，使 ，即2e1ke2(e14e2)，整理得(2)e1(k4)e2，e1、e2不共線， 解得A、B、D三點共線時，k8. BD=CDCB AB BD ABBD 2040k28k 鏈接高考鏈接高考(2010湖北)已知ABC和點M滿足 ,若存在實數(shù)m使得 成立，則m .知識準(zhǔn)備知識準(zhǔn)備：1. 要知道點M滿足 ,說明點M為ABC的重心；2. 要知道三角形重心的性質(zhì)，即重心為中線的一個三等分點；3. 要知道三角形中線所在向量的性質(zhì):若AD為邊BC上的中線，則 .MA+MB+MC=0 AB+AC=mAM MA+MB+MC=0 AB+AC=2AD 由 知，點M為ABC的重心，設(shè)點D為底邊BC的中點，則 所以 ，故m=3.MA+MB+MC=0 2211AMAD=AB+ACAB+AC3323 （）= （）AB+AC3AM 解