第69講不等式的證明雙雙向向固固基基礎(chǔ)礎(chǔ)點(diǎn)點(diǎn)面面講講考考向向多多元元提提能能力力教教師師備備用用題題返回目錄返回目錄返回目錄返回目錄1 1了解證明不等式的基本方法：比較法、綜合法、分析了解證明不等式的基本方法：比較法、綜合法、分析法、反證法、放縮法，并能利用它們證明一些簡(jiǎn)單不等法、反證法、放縮法，并能利用它們證明一些簡(jiǎn)單不等式式2 2能夠利用三維的柯西不等式證明一些簡(jiǎn)單不等式，解能夠利用三維的柯西不等式證明一些簡(jiǎn)單不等式，解決最大決最大( (小小) )值問(wèn)題值問(wèn)題3 3理解數(shù)學(xué)歸納法的原理及其使用范圍，會(huì)用數(shù)學(xué)歸納理解數(shù)學(xué)歸納法的原理及其使用范圍，會(huì)用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡(jiǎn)單問(wèn)題法證明一些簡(jiǎn)單問(wèn)題考試說(shuō)明考試說(shuō)明第69講不等式的證明返回目錄返回目錄雙雙向向固固基基礎(chǔ)礎(chǔ)一、比較法一、比較法1 1作差比較法：欲證作差比較法：欲證a a b b，即證，即證_2 2作商比較法：若作商比較法：若a a，b bRR，欲證，欲證a a b b，即證，即證_二、綜合法和分析法二、綜合法和分析法1 1從已知條件出發(fā)，利用定義、公理、定理、性質(zhì)等，從已知條件出發(fā)，利用定義、公理、定理、性質(zhì)等，經(jīng)過(guò)一系列的推理、論證而得出命題成立，這種方法叫經(jīng)過(guò)一系列的推理、論證而得出命題成立，這種方法叫做做_，又叫順推證法或由果導(dǎo)因法，又叫順推證法或由果導(dǎo)因法2 2證明命題時(shí)常常從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋求使證明命題時(shí)常常從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋求使它成立的它成立的_條件，直至所需條件為已知條件或一條件，直至所需條件為已知條件或一個(gè)明顯成立的事實(shí)個(gè)明顯成立的事實(shí)( (定義、公理或已證明的定理、性質(zhì)定義、公理或已證明的定理、性質(zhì)等等) )，從而得出要證的命題成立，這種證明方法叫做，從而得出要證的命題成立，這種證明方法叫做_a ab b00綜合法綜合法充分充分分析法分析法第69講不等式的證明返回目錄返回目錄雙雙向向固固基基礎(chǔ)礎(chǔ)三、反證法與放縮法三、反證法與放縮法1 1先假設(shè)要證的命題不成立，以此為出發(fā)點(diǎn)，結(jié)合已先假設(shè)要證的命題不成立，以此為出發(fā)點(diǎn)，結(jié)合已知條件，應(yīng)用公理、定義、定理、性質(zhì)等，進(jìn)行正確的知條件，應(yīng)用公理、定義、定理、性質(zhì)等，進(jìn)行正確的推理，得到和命題的條件推理，得到和命題的條件( (或已證明的定理、性質(zhì)、明顯或已證明的定理、性質(zhì)、明顯成立的事實(shí)等成立的事實(shí)等)_)_的結(jié)論，以說(shuō)明假設(shè)不正確，從的結(jié)論，以說(shuō)明假設(shè)不正確，從而證明原命題成立，這種證明方法叫做而證明原命題成立，這種證明方法叫做_2 2證明不等式時(shí)，通過(guò)把不等式中的某些部分的值證明不等式時(shí)，通過(guò)把不等式中的某些部分的值_，簡(jiǎn)化不等式，從而達(dá)到證明的目的，簡(jiǎn)化不等式，從而達(dá)到證明的目的，這種證明方法叫做放縮法這種證明方法叫做放縮法四、柯西不等式與排序不等式四、柯西不等式與排序不等式1 1二維形式的柯西不等式二維形式的柯西不等式若若a a，b b，c c，d d都是實(shí)數(shù)，則都是實(shí)數(shù)，則( (a a2 2b b2 2)()(c c2 2d d2 2)()(acacbdbd) )2 2，當(dāng)且僅當(dāng)，當(dāng)且僅當(dāng)_時(shí)，等號(hào)成立時(shí)，等號(hào)成立矛盾矛盾adadbcbc反證法反證法放大或縮小放大或縮小第69講不等式的證明返回目錄返回目錄雙雙向向固固基基礎(chǔ)礎(chǔ)2 2柯西不等式的向量形式柯西不等式的向量形式設(shè)設(shè)，是兩個(gè)向量，則是兩個(gè)向量，則| | |，當(dāng)且，當(dāng)且僅當(dāng)僅當(dāng)是零向量，或存在實(shí)數(shù)是零向量，或存在實(shí)數(shù)k k使使_時(shí)，等號(hào)成時(shí)，等號(hào)成立立3 3二維形式的三角不等式二維形式的三角不等式 . .設(shè)設(shè)P P1 1( (x x1 1，y y1 1) )，P P2 2( (x x2 2，y y2 2) )，當(dāng)且僅當(dāng)，當(dāng)且僅當(dāng)P P1 1、P P2 2與原點(diǎn)在同與原點(diǎn)在同一直線上，并且一直線上，并且P P1 1、P P2 2在原點(diǎn)兩旁時(shí)，等號(hào)成立在原點(diǎn)兩旁時(shí)，等號(hào)成立4 4一般形式的柯西不等式一般形式的柯西不等式設(shè)設(shè)a a1 1，a a2 2，a a3 3，a an n，b b1 1，b b2 2，b b3 3，b bn n是實(shí)數(shù)，則是實(shí)數(shù)，則kk第69講不等式的證明返回目錄返回目錄雙雙向向固固基基礎(chǔ)礎(chǔ)在一個(gè)實(shí)數(shù)在一個(gè)實(shí)數(shù)k k，使得，使得_時(shí)，等時(shí)，等號(hào)成立號(hào)成立5 5排序不等式排序不等式( (或稱排序原理或稱排序原理) )五、數(shù)學(xué)歸納法五、數(shù)學(xué)歸納法設(shè)設(shè) p pn n 是一個(gè)與自然數(shù)有關(guān)的命題，如果：是一個(gè)與自然數(shù)有關(guān)的命題，如果：(1)(1)證明當(dāng)證明當(dāng)_時(shí)命題成立；時(shí)命題成立；(2)(2)假設(shè)當(dāng)假設(shè)當(dāng)n nk k( (k kNN，且，且k kn n0 0) )時(shí)命題成立，證明時(shí)命題成立，證明_時(shí)命題也成立，那么可以斷時(shí)命題也成立，那么可以斷定定 p pn n 對(duì)一切自然數(shù)成立對(duì)一切自然數(shù)成立a ai ikbkbi i(i(i1,21,2，n)n)n nn n0 0n nk k1 1返回目錄返回目錄雙雙向向固固基基礎(chǔ)礎(chǔ)第第6969講講不等式的證明不等式的證明返回目錄返回目錄雙雙向向固固基基礎(chǔ)礎(chǔ)第第6969講講不等式的證明不等式的證明返回目錄返回目錄雙雙向向固固基基礎(chǔ)礎(chǔ)第第6969講講不等式的證明不等式的證明返回目錄返回目錄雙雙向向固固基基礎(chǔ)礎(chǔ)第第6969講講不等式的證明不等式的證明返回目錄返回目錄雙雙向向固固基基礎(chǔ)礎(chǔ)第第6969講講不等式的證明不等式的證明返回目錄返回目錄雙雙向向固固基基礎(chǔ)礎(chǔ)第第6969講講不等式的證明不等式的證明返回目錄返回目錄點(diǎn)點(diǎn)面面講講考考向向第第6969講講不等式的證明不等式的證明考點(diǎn)考點(diǎn)考頻考頻示例示例( (難度難度) )1.1.利用比較法證明利用比較法證明不等式不等式0 02.2.利用綜合法證明利用綜合法證明不等式不等式0 03.3.利用放縮法證明利用放縮法證明不等式不等式0 04.4.用柯西不等式求用柯西不等式求最值最值0 05.5.數(shù)學(xué)歸納法數(shù)學(xué)歸納法0 0說(shuō)明：說(shuō)明：A A表示簡(jiǎn)單題，表示簡(jiǎn)單題，B B表示中等題，表示中等題，C C表示表示難題，考頻分析難題，考頻分析2009200920122012年浙江卷情況年浙江卷情況 探究點(diǎn)一利用比較法證明不等式返回目錄返回目錄點(diǎn)點(diǎn)面面講講考考點(diǎn)點(diǎn)第第6969講講不等式的證明不等式的證明返回目錄返回目錄點(diǎn)點(diǎn)面面講講考考點(diǎn)點(diǎn)第第6969講講不等式的證明不等式的證明返回目錄返回目錄點(diǎn)點(diǎn)面面講講考考點(diǎn)點(diǎn)第第6969講講不等式的證明不等式的證明返回目錄返回目錄點(diǎn)點(diǎn)面面講講考考點(diǎn)點(diǎn)第第6969講講不等式的證明不等式的證明返回目錄返回目錄點(diǎn)點(diǎn)面面講講考考點(diǎn)點(diǎn)第第6969講講不等式的證明不等式的證明 歸納總結(jié) 比較法是不等式證明的最基本的方法，常見(jiàn)的方法有作差法和作商法，以作差法為主作差法證明不等式的步驟：作差變形判定符號(hào)結(jié)論其中變形的目的是能判斷出差式的符號(hào)，常用分解因式和配方兩種變形方式對(duì)含有變量的不等式證明還需分類討論返回目錄返回目錄點(diǎn)點(diǎn)面面講講考考點(diǎn)點(diǎn)第第6969講講不等式的證明不等式的證明 探究點(diǎn)二利用綜合法證明不等式返回目錄返回目錄點(diǎn)點(diǎn)面面講講考考點(diǎn)點(diǎn)第第6969講講不等式的證明不等式的證明返回目錄返回目錄點(diǎn)點(diǎn)面面講講考考點(diǎn)點(diǎn)第第6969講講不等式的證明不等式的證明返回目錄返回目錄點(diǎn)點(diǎn)面面講講考考點(diǎn)點(diǎn)第第6969講講不等式的證明不等式的證明返回目錄返回目錄點(diǎn)點(diǎn)面面講講考考點(diǎn)點(diǎn)第第6969講講不等式的證明不等式的證明 歸納總結(jié) 用綜合法證明不等式常常要觀察不等式兩邊的變量和整體形式變化，應(yīng)用基本不等式，或構(gòu)造函數(shù)利用單調(diào)性或利用其他已知結(jié)論對(duì)不等式進(jìn)行證明在證明的過(guò)程中要正確運(yùn)用不等式的有關(guān)性質(zhì)及重要的結(jié)論，并且要注意分析法與綜合法的結(jié)合使用返回目錄返回目錄點(diǎn)點(diǎn)面面講講考考點(diǎn)點(diǎn)第第6969講講不等式的證明不等式的證明 探究點(diǎn)三利用放縮法證明不等式返回目錄返回目錄點(diǎn)點(diǎn)面面講講考考點(diǎn)點(diǎn)第第6969講講不等式的證明不等式的證明返回目錄返回目錄點(diǎn)點(diǎn)面面講講考考點(diǎn)點(diǎn)第第6969講講不等式的證明不等式的證明返回目錄返回目錄點(diǎn)點(diǎn)面面講講考考點(diǎn)點(diǎn)第第6969講講不等式的證明不等式的證明返回目錄返回目錄點(diǎn)點(diǎn)面面講講考考點(diǎn)點(diǎn)第第6969講講不等式的證明不等式的證明返回目錄返回目錄點(diǎn)點(diǎn)面面講講考考點(diǎn)點(diǎn)第第6969講講不等式的證明不等式的證明返回目錄返回目錄點(diǎn)點(diǎn)面面講講考考點(diǎn)點(diǎn)第第6969講講不等式的證明不等式的證明 探究點(diǎn)四用柯西不等式求最值返回目錄返回目錄點(diǎn)點(diǎn)面面講講考考點(diǎn)點(diǎn)第第6969講講不等式的證明不等式的證明返回目錄返回目錄點(diǎn)點(diǎn)面面講講考考點(diǎn)點(diǎn)第第6969講講不等式的證明不等式的證明返回目錄返回目錄點(diǎn)點(diǎn)面面講講考考點(diǎn)點(diǎn)第第6969講講不等式的證明不等式的證明返回目錄返回目錄點(diǎn)點(diǎn)面面講講考考點(diǎn)點(diǎn)第第6969講講不等式的證明不等式的證明返回目錄返回目錄點(diǎn)點(diǎn)面面講講考考點(diǎn)點(diǎn)第第6969講講不等式的證明不等式的證明返回目錄返回目錄點(diǎn)點(diǎn)面面講講考考點(diǎn)點(diǎn)第第6969講講不等式的證明不等式的證明返回目錄返回目錄點(diǎn)點(diǎn)面面講講考考點(diǎn)點(diǎn)第第6969講講不等式的證明不等式的證明 探究點(diǎn)五數(shù)學(xué)歸納法返回目錄返回目錄點(diǎn)點(diǎn)面面講講考考點(diǎn)點(diǎn)第第6969講講不等式的證明不等式的證明返回目錄返回目錄點(diǎn)點(diǎn)面面講講考考點(diǎn)點(diǎn)第第6969講講不等式的證明不等式的證明返回目錄返回目錄點(diǎn)點(diǎn)面面講講考考點(diǎn)點(diǎn)第第6969講講不等式的證明不等式的證明返回目錄返回目錄點(diǎn)點(diǎn)面面講講考考點(diǎn)點(diǎn)第第6969講講不等式的證明不等式的證明返回目錄返回目錄點(diǎn)點(diǎn)面面講講考考點(diǎn)點(diǎn)第第6969講講不等式的證明不等式的證明返回目錄返回目錄點(diǎn)點(diǎn)面面講講考考點(diǎn)點(diǎn)第第6969講講不等式的證明不等式的證明