第24講平面向量的概念及其線性運算雙雙向向固固基基礎(chǔ)礎(chǔ)點點面面講講考考向向多多元元提提能能力力教教師師備備用用題題返回目錄返回目錄返回目錄返回目錄1 1了解向量的實際背景了解向量的實際背景 2 2理解平面向量的概念，理解兩個向量相等的含理解平面向量的概念，理解兩個向量相等的含義義 3 3理解向量的幾何表示理解向量的幾何表示 4 4掌握向量加法、減法的運算，并理解其幾何意掌握向量加法、減法的運算，并理解其幾何意義義 5 5掌握向量數(shù)乘的運算及其意義，理解兩個向量共掌握向量數(shù)乘的運算及其意義，理解兩個向量共線的含義線的含義 6 6了解向量線性運算的性質(zhì)及其幾何意義了解向量線性運算的性質(zhì)及其幾何意義考試說明考試說明第24講平面向量的概念及其線性運算返回目錄返回目錄雙雙向向固固基基礎(chǔ)礎(chǔ)大小大小一、向量的有關(guān)概念及表示一、向量的有關(guān)概念及表示名稱名稱定義定義表示表示向量向量在平面中，既有在平面中，既有_又有又有_的量的量用用a a，b b，c c，或或 ，表示表示向量向量的模的模向量向量a a的的_，也就是表示向量也就是表示向量a a的有向線段的有向線段ABAB的的_(_(或稱?；蚍Q模) )_或或_零向量零向量長度為長度為_的向量的向量用用_表示表示方向方向大小大小長度長度|a|a|0 00 0返回目錄返回目錄雙雙向向固固基基礎(chǔ)礎(chǔ)第第2424講講平面向量的概念及其線性運算平面向量的概念及其線性運算1 1單位單位向量向量長度等于長度等于_個單位個單位的向量的向量用用e e表示，表示，| |e e| |_平行平行向量向量方向相同或相反方向相同或相反的非零向量的非零向量abab相等相等向量向量_相等且相等且方向方向_的的向量向量a ab b相反相反向量向量_相等，相等，方向方向_的的向量向量向量向量a a的相反向量的相反向量是是_1 1長度長度相同相同長度長度相反相反a a說明：零向量的方向是說明：零向量的方向是_，規(guī)定：零向量與任一，規(guī)定：零向量與任一向量向量_任意的任意的平行平行返回目錄返回目錄雙雙向向固固基基礎(chǔ)礎(chǔ)第第2424講講平面向量的概念及其線性運算平面向量的概念及其線性運算和和平行四邊形平行四邊形三角形三角形b ba a二、向量的線性運算二、向量的線性運算向量運向量運算算定義定義法則法則( (或幾何意義或幾何意義) )運算律運算律加法加法求兩個向量求兩個向量_的運的運算算_法則法則 _法則法則(1)(1)加法交換律：加法交換律：a ab b_(2)(2)加法結(jié)合律：加法結(jié)合律：( (a ab b) )c c_減法減法減去一個向量減去一個向量相當于加上這相當于加上這個向量的個向量的_法則法則a ab b_數(shù)乘數(shù)乘實數(shù)實數(shù)與向量與向量a a的積是一個的積是一個_，這，這種運算叫做向種運算叫做向量的量的_，記作記作_(1)|(1)|aa| |_(2)(2)當當0 0時，時，aa與與a a的方的方向向_；當；當0 0時，時，aa與與a a的方向的方向_；當；當0 0時，時，aa_(1)(1)對向量加法的分配律：對向量加法的分配律：( (a ab b) )_(2)(2)對實數(shù)加法的分配律：對實數(shù)加法的分配律：( (1 12 2) )a a_a a(b(bc c) )相反向量相反向量三角形三角形a a( (b b) )向量向量數(shù)乘數(shù)乘aa| |a|a| |相同相同相反相反0 0aabb1a1a2a2a返回目錄返回目錄雙雙向向固固基基礎(chǔ)礎(chǔ)第第2424講講平面向量的概念及其線性運算平面向量的概念及其線性運算b baa三、向量的共線定理三、向量的共線定理向量向量a a( (a a0)0)與與b b共線，當且僅當有唯一一個實數(shù)共線，當且僅當有唯一一個實數(shù)，使，使_返回目錄返回目錄雙雙向向固固基基礎(chǔ)礎(chǔ)第第2424講講平面向量的概念及其線性運算平面向量的概念及其線性運算返回目錄返回目錄雙雙向向固固基基礎(chǔ)礎(chǔ)第第2424講講平面向量的概念及其線性運算平面向量的概念及其線性運算返回目錄返回目錄雙雙向向固固基基礎(chǔ)礎(chǔ)第第2424講講平面向量的概念及其線性運算平面向量的概念及其線性運算返回目錄返回目錄雙雙向向固固基基礎(chǔ)礎(chǔ)第第2424講講平面向量的概念及其線性運算平面向量的概念及其線性運算返回目錄返回目錄雙雙向向固固基基礎(chǔ)礎(chǔ)第第2424講講平面向量的概念及其線性運算平面向量的概念及其線性運算返回目錄返回目錄雙雙向向固固基基礎(chǔ)礎(chǔ)第第2424講講平面向量的概念及其線性運算平面向量的概念及其線性運算返回目錄返回目錄點點面面講講考考向向第第2424講講平面向量的概念及其線性運算平面向量的概念及其線性運算考點考點考頻考頻示例示例( (難度難度) )1.1.平面向量有關(guān)平面向量有關(guān)的概念的概念選擇選擇(1)(1)填空填空(1)(1)20102010年浙江年浙江T16(B)T16(B)，20122012年浙江年浙江T5(B)T5(B)2.2.平面向量的線平面向量的線性運算性運算0 03.3.向量共線定理向量共線定理0 04.4.向量線性運算向量線性運算0 0說明：說明：A A表示簡單題，表示簡單題，B B表示中等題，表示中等題，C C表示難題，表示難題，考頻分析考頻分析2009200920122012年浙江卷情況年浙江卷情況 探究點一平面向量有關(guān)的概念問題返回目錄返回目錄點點面面講講考考點點第第2424講講平面向量的概念及其線性運算平面向量的概念及其線性運算返回目錄返回目錄點點面面講講考考點點第第2424講講平面向量的概念及其線性運算平面向量的概念及其線性運算返回目錄返回目錄點點面面講講考考點點第第2424講講平面向量的概念及其線性運算平面向量的概念及其線性運算返回目錄返回目錄點點面面講講考考點點第第2424講講平面向量的概念及其線性運算平面向量的概念及其線性運算 點評解決這類與平面向量的概念有關(guān)的命題真假的判定問題，其關(guān)鍵在于透徹理解平面向量的概念，還應注意零向量的特殊性以及兩個向量相等必須滿足：(1)模相等；(2)方向相同返回目錄返回目錄點點面面講講考考點點第第2424講講平面向量的概念及其線性運算平面向量的概念及其線性運算 歸納總結(jié) 對于向量的概念應注意以下幾條： 向量的兩個特征：有大小，有方向，向量既可以用有向線段表示，字母表示，也可以用坐標表示 相等向量不僅模相等，而且方向要相同，所以相等向量一定是平行向量，而平行向量則未必是相等向量 向量與數(shù)量不同，數(shù)量可以比較大小，向量則不能，但向量的模是非負實數(shù)，故可以比較大小 向量是自由向量，所以平行向量就是共線向量，二者是等價的返回目錄返回目錄點點面面講講考考點點第第2424講講平面向量的概念及其線性運算平面向量的概念及其線性運算返回目錄返回目錄點點面面講講考考點點第第2424講講平面向量的概念及其線性運算平面向量的概念及其線性運算返回目錄返回目錄點點面面講講考考點點第第2424講講平面向量的概念及其線性運算平面向量的概念及其線性運算 探究點二平面向量的線性運算返回目錄返回目錄點點面面講講考考點點第第2424講講平面向量的概念及其線性運算平面向量的概念及其線性運算 返回目錄返回目錄點點面面講講考考點點第第2424講講平面向量的概念及其線性運算平面向量的概念及其線性運算返回目錄返回目錄點點面面講講考考點點第第2424講講平面向量的概念及其線性運算平面向量的概念及其線性運算返回目錄返回目錄點點面面講講考考點點第第2424講講平面向量的概念及其線性運算平面向量的概念及其線性運算返回目錄返回目錄點點面面講講考考點點第第2424講講平面向量的概念及其線性運算平面向量的概念及其線性運算 點評兩個幾何結(jié)論的向量表示： (1)若D為線段AB的中點，O為平面內(nèi)一點，則()(如圖) (2)已知平面內(nèi)不共線的三點A，B，C，()G為ABC的重心，特別地，0P為ABC的重心返回目錄返回目錄點點面面講講考考點點第第2424講講平面向量的概念及其線性運算平面向量的概念及其線性運算 歸納總結(jié) 用已知向量來表示另外一些向量是用向量解題的基本功，除利用向量的加、減法、數(shù)乘向量外，還應充分利用平面幾何的一些定理； 在求向量時要盡可能轉(zhuǎn)化到平行四邊形或三角形中，運用平行四邊形法則、三角形法則，利用三角形中位線、相似三角形對應邊成比例等平面幾何的性質(zhì)，把未知向量轉(zhuǎn)化為與已知向量有直接關(guān)系的向量求解返回目錄返回目錄點點面面講講考考點點第第2424講講平面向量的概念及其線性運算平面向量的概念及其線性運算返回目錄返回目錄點點面面講講考考點點第第2424講講平面向量的概念及其線性運算平面向量的概念及其線性運算返回目錄返回目錄點點面面講講考考點點第第2424講講平面向量的概念及其線性運算平面向量的概念及其線性運算返回目錄返回目錄點點面面講講考考點點第第2424講講平面向量的概念及其線性運算平面向量的概念及其線性運算返回目錄返回目錄點點面面講講考考點點第第2424講講平面向量的概念及其線性運算平面向量的概念及其線性運算返回目錄返回目錄點點面面講講考考點點第第2424講講平面向量的概念及其線性運算平面向量的概念及其線性運算 探究點三向量共線定理的應用返回目錄返回目錄點點面面講講考考點點第第2424講講平面向量的概念及其線性運算平面向量的概念及其線性運算返回目錄返回目錄點點面面講講考考點點第第2424講講平面向量的概念及其線性運算平面向量的概念及其線性運算返回目錄返回目錄點點面面講講考考點點第第2424講講平面向量的概念及其線性運算平面向量的概念及其線性運算 點評證明三點共線問題，可用向量共線來解決，但要注意向量共線與三點共線的區(qū)別與聯(lián)系，當兩向量共線且有公共點時，才能得出三點共線；解決此類問題的關(guān)鍵是利用向量共線定理得出ba，即要證明A，B，C三點共線，只需證明，再利用對應系數(shù)相等，列出方程組，解出系數(shù)返回目錄返回目錄點點面面講講考考點點第第2424講講平面向量的概念及其線性運算平面向量的概念及其線性運算返回目錄返回目錄點點面面講講考考點點第第2424講講平面向量的概念及其線性運算平面向量的概念及其線性運算返回目錄返回目錄點點面面講講考考點點第第2424講講平面向量的概念及其線性運算平面向量的概念及其線性運算返回目錄返回目錄點點面面講講考考點點第第2424講講平面向量的概念及其線性運算平面向量的概念及其線性運算 探究點四向量線性運算的簡單應用返回目錄返回目錄點點面面講講考考點點第第2424講講平面向量的概念及其線性運算平面向量的概念及其線性運算返回目錄返回目錄點點面面講講考考點點第第1 1講講集合及其運算集合及其運算返回目錄返回目錄點點面面講講考考點點第第1 1講講集合及其運算集合及其運算返回目錄返回目錄點點面面講講考考點點第第1 1講講集合及其運算集合及其運算 點評 (1)將同一個向量用兩種方法線性表示后，利用向量相等得出線性系數(shù)的關(guān)系 (2)利用向量共線定理解決三點共線問題時有兩種方法，一是在三點所確定的向量中任選兩個，如 ，再看這兩個向量能否滿足 ；二是運用一個常見的結(jié)論： ，且1，則A，B，C三點共線它的證明方法是運用向量共線定理和線性運算知識，結(jié)論的結(jié)構(gòu)特征非常明顯，容易記憶返回目錄返回目錄點點面面講講考考點點第第1 1講講集合及其運算集合及其運算 歸納總結(jié)平面向量的線性運算包括向量的加法、向量的減法及實數(shù)與向量的積，在解決這類問題時，經(jīng)常出現(xiàn)的錯誤有：忽視向量的終點與起點，導致加法與減法混淆；錯用數(shù)乘公式對此，要注意三角形法則和平行四邊形法則適用的條件，運用平行四邊形法則時兩個向量的起點必須重合；運用三角形法則時兩個向量必須首尾相接，否則就要把向量進行平移，使之符合條件返回目錄返回目錄點點面面講講考考點點第第1 1講講集合及其運算集合及其運算返回目錄返回目錄點點面面講講考考點點第第1 1講講集合及其運算集合及其運算返回目錄返回目錄點點面面講講考考點點第第1 1講講集合及其運算集合及其運算易錯究源易錯究源9 9解題時忽視零向量的特殊性致誤解題時忽視零向量的特殊性致誤返回目錄返回目錄多多元元提提能能力力第第2424講講平面向量的概念及其線性運算平面向量的概念及其線性運算返回目錄返回目錄多多元元提提能能力力第第2424講講平面向量的概念及其線性運算平面向量的概念及其線性運算返回目錄返回目錄多多元元提提能能力力第第2424講講平面向量的概念及其線性運算平面向量的概念及其線性運算返回目錄返回目錄多多元元提提能能力力第第2424講講平面向量的概念及其線性運算平面向量的概念及其線性運算【備選理由備選理由】 例例1 1是繼續(xù)鞏固向量的概念和線性運算，是對探究點是繼續(xù)鞏固向量的概念和線性運算，是對探究點一的補充；例一的補充；例2 2是向量共線定理的應用，例是向量共線定理的應用，例3 3、例、例4 4是關(guān)于是關(guān)于三點共線的問題，是對探究點四的補充三點共線的問題，是對探究點四的補充返回目錄返回目錄教教師師備備用用題題第第2424講講平面向量的概念及其線性運算平面向量的概念及其線性運算返回目錄返回目錄教教師師備備用用題題第第2424講講平面向量的概念及其線性運算平面向量的概念及其線性運算返回目錄返回目錄教教師師備備用用題題第第2424講講平面向量的概念及其線性運算平面向量的概念及其線性運算返回目錄返回目錄教教師師備備用用題題第第2424講講平面向量的概念及其線性運算平面向量的概念及其線性運算返回目錄返回目錄教教師師備備用用題題第第2424講講平面向量的概念及其線性運算平面向量的概念及其線性運算返回目錄返回目錄教教師師備備用用題題第第2424講講平面向量的概念及其線性運算平面向量的概念及其線性運算返回目錄返回目錄教教師師備備用用題題第第2424講講平面向量的概念及其線性運算平面向量的概念及其線性運算返回目錄返回目錄教教師師備備用用題題第第2424講講平面向量的概念及其線性運算平面向量的概念及其線性運算 返回目錄返回目錄點點面面講講考考點點第第1 1講講集合及其運算集合及其運算 返回目錄返回目錄點點面面講講考考點點第第1 1講講集合及其運算集合及其運算 返回目錄返回目錄點點面面講講考考點點第第1 1講講集合及其運算集合及其運算