第26講平面向量的數(shù)量積與平面向量應(yīng)用舉例雙雙向向固固基基礎(chǔ)礎(chǔ)點(diǎn)點(diǎn)面面講講考考向向多多元元提提能能力力教教師師備備用用題題返回目錄返回目錄返回目錄返回目錄1 1理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義 2 2了解平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系了解平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系 3 3掌握數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式，會(huì)進(jìn)行平面向量數(shù)量掌握數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式，會(huì)進(jìn)行平面向量數(shù)量積的運(yùn)算積的運(yùn)算 4 4能運(yùn)用數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角能運(yùn)用數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角 5 5會(huì)用向量方法解決某些簡(jiǎn)單的平面幾何問題會(huì)用向量方法解決某些簡(jiǎn)單的平面幾何問題 6 6會(huì)用向量方法解決簡(jiǎn)單的力學(xué)問題與其他一些實(shí)會(huì)用向量方法解決簡(jiǎn)單的力學(xué)問題與其他一些實(shí)際問題際問題考試說明考試說明第26講平面向量的數(shù)量積與平面向量應(yīng)用舉例一、向量的數(shù)量積一、向量的數(shù)量積1 1向量數(shù)量積的概念向量數(shù)量積的概念已知兩個(gè)非零向量已知兩個(gè)非零向量a a與與b b，它們的夾角為，它們的夾角為，我們把數(shù)量，我們把數(shù)量_叫做叫做a a與與b b的數(shù)量積的數(shù)量積( (或內(nèi)積或內(nèi)積) )，記作，記作a ab b，即即abab_，規(guī)定，零向量與任一向量的數(shù)，規(guī)定，零向量與任一向量的數(shù)量積為量積為_2 2向量的投影向量的投影設(shè)兩個(gè)非零向量設(shè)兩個(gè)非零向量a a與與b b的夾角為的夾角為，_稱為向量稱為向量a a在在b b方向上的投影；方向上的投影；_稱為向量稱為向量b b在在a a方向上的投影方向上的投影返回目錄返回目錄雙雙向向固固基基礎(chǔ)礎(chǔ)| |a|b|cosa|b|cos| |a|b|cosa|b|cos0 0| |a|cosa|cos| |b|cosb|cos第26講平面向量的數(shù)量積與平面向量應(yīng)用舉例 向量a在b方向上(或b在a方向上)的投影是一個(gè)_，不是向量，當(dāng)090，它是_；當(dāng)90，它是_；當(dāng)90180，它是_圖4261表示b在a方向上的投影的三種情況： 圖4261返回目錄返回目錄雙雙向向固固基基礎(chǔ)礎(chǔ)0 0數(shù)量數(shù)量 正數(shù)正數(shù)負(fù)數(shù)負(fù)數(shù)第26講平面向量的數(shù)量積與平面向量應(yīng)用舉例3 3向量數(shù)量積的幾何意義：數(shù)量積向量數(shù)量積的幾何意義：數(shù)量積abab等于等于a a的長(zhǎng)度的長(zhǎng)度| |a a| |與與b b在在a a的方向上的投影的方向上的投影| |b b|cos|cos的乘積的乘積二、向量數(shù)量積的性質(zhì)二、向量數(shù)量積的性質(zhì)1 1向量數(shù)量積的運(yùn)算律向量數(shù)量積的運(yùn)算律已知向量已知向量a a，b b，c c和實(shí)數(shù)和實(shí)數(shù)，則，則(1)(1)交換律：交換律：_；(2)(2)數(shù)乘結(jié)合律：數(shù)乘結(jié)合律：( (aa)b b_(_(R)R)；(3)(3)分配律：分配律：( (a ab b) )cc_._.返回目錄返回目錄雙雙向向固固基基礎(chǔ)礎(chǔ)(ab(ab) )a(ba(b) )ababbabaacacbcbcc(ac(ab b) )第26講平面向量的數(shù)量積與平面向量應(yīng)用舉例返回目錄返回目錄雙雙向向固固基基礎(chǔ)礎(chǔ)| |a|ba|b| |abab0 0| |a|cosa|cos|a|a|2 2| |a|ba|b| |第26講平面向量的數(shù)量積與平面向量應(yīng)用舉例返回目錄返回目錄雙雙向向固固基基礎(chǔ)礎(chǔ)x x1 1y y2 2x x2 2y y1 10 0三、向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示三、向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示已知兩個(gè)非零向量已知兩個(gè)非零向量a a( (x x1 1，y y1 1) )，b b( (x x2 2，y y2 2) )向量表示向量表示坐標(biāo)表示坐標(biāo)表示向量向量a a的模的模| |a a| | |a a| |a a，b b的數(shù)量的數(shù)量積積abab|a|b|a|b|coscosababx x1 1x x2 2y y1 1y y2 2a a與與b b共線共線ababb baaabab_a a與與b b垂直垂直abababab0 0ababx x1 1x x2 2y y1 1y y2 20 0a a，b b的夾角的夾角coscos coscos_返回目錄返回目錄四、平面向量的主要應(yīng)用四、平面向量的主要應(yīng)用1 1向量在平面幾何中的應(yīng)用向量在平面幾何中的應(yīng)用平面幾何經(jīng)常涉及距離平面幾何經(jīng)常涉及距離( (線段的長(zhǎng)度線段的長(zhǎng)度) )、夾角，而向量運(yùn)算，、夾角，而向量運(yùn)算，特別是向量的數(shù)量積涉及向量的模、夾角，因此可以用向特別是向量的數(shù)量積涉及向量的模、夾角，因此可以用向量方法解決部分幾何問題，利用向量方法處理幾何問題一量方法解決部分幾何問題，利用向量方法處理幾何問題一般有以下般有以下“三步曲三步曲”： 返回目錄返回目錄2 2平面向量在解析幾何中的應(yīng)用，是以解析幾何中的坐平面向量在解析幾何中的應(yīng)用，是以解析幾何中的坐標(biāo)為背景的一種向量描述，它主要強(qiáng)調(diào)向量的坐標(biāo)運(yùn)算，標(biāo)為背景的一種向量描述，它主要強(qiáng)調(diào)向量的坐標(biāo)運(yùn)算，將向量問題轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)問題，進(jìn)而利用直線和圓錐曲線的將向量問題轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)問題，進(jìn)而利用直線和圓錐曲線的位置關(guān)系的相關(guān)知識(shí)來(lái)解答，坐標(biāo)的運(yùn)算是考查的主體位置關(guān)系的相關(guān)知識(shí)來(lái)解答，坐標(biāo)的運(yùn)算是考查的主體3 3平面向量與其他數(shù)學(xué)知識(shí)的綜合應(yīng)用平面向量與其他數(shù)學(xué)知識(shí)的綜合應(yīng)用(1)(1)向量與三角函數(shù)交匯的問題是高考經(jīng)常出現(xiàn)的問題，向量與三角函數(shù)交匯的問題是高考經(jīng)常出現(xiàn)的問題，命題以三角函數(shù)作為背景，是向量的坐標(biāo)運(yùn)算與解三角形、命題以三角函數(shù)作為背景，是向量的坐標(biāo)運(yùn)算與解三角形、三角函數(shù)圖象和性質(zhì)綜合的問題；三角函數(shù)圖象和性質(zhì)綜合的問題；(2)(2)平面向量與函數(shù)、不等式交匯的問題，主要是向量與平面向量與函數(shù)、不等式交匯的問題，主要是向量與二次函數(shù)、基本不等式結(jié)合的問題為主，要注意自變量的二次函數(shù)、基本不等式結(jié)合的問題為主，要注意自變量的取值范圍；取值范圍；返回目錄返回目錄雙雙向向固固基基礎(chǔ)礎(chǔ)第第2626講講平面向量的數(shù)量積與平面向量應(yīng)用舉例平面向量的數(shù)量積與平面向量應(yīng)用舉例返回目錄返回目錄雙雙向向固固基基礎(chǔ)礎(chǔ)第第2626講講平面向量的數(shù)量積與平面向量應(yīng)用舉例平面向量的數(shù)量積與平面向量應(yīng)用舉例返回目錄返回目錄雙雙向向固固基基礎(chǔ)礎(chǔ)第第2626講講平面向量的數(shù)量積與平面向量應(yīng)用舉例平面向量的數(shù)量積與平面向量應(yīng)用舉例返回目錄返回目錄雙雙向向固固基基礎(chǔ)礎(chǔ)第第2626講講平面向量的數(shù)量積與平面向量應(yīng)用舉例平面向量的數(shù)量積與平面向量應(yīng)用舉例返回目錄返回目錄雙雙向向固固基基礎(chǔ)礎(chǔ)第第2626講講平面向量的數(shù)量積與平面向量應(yīng)用舉例平面向量的數(shù)量積與平面向量應(yīng)用舉例返回目錄返回目錄點(diǎn)點(diǎn)面面講講考考向向第第2626講講平面向量的數(shù)量積與平面向量應(yīng)用舉例平面向量的數(shù)量積與平面向量應(yīng)用舉例考點(diǎn)考點(diǎn)考頻考頻示例示例( (難度難度) )1.1.平面向量的數(shù)量積平面向量的數(shù)量積填空填空(1)(1)20122012年浙江年浙江T15(B)T15(B)2.2.平面向量的垂直與平面向量的垂直與夾角問題夾角問題填空填空(1)(1)20112011年浙江年浙江T14(A)T14(A)3.3.平面向量的模平面向量的模填空填空(1)(1)20102010年浙江年浙江T16(B)T16(B)4.4.平面向量的實(shí)際應(yīng)平面向量的實(shí)際應(yīng)用用0 0說明：說明：A A表示簡(jiǎn)單題，表示簡(jiǎn)單題，B B表示中等題，表示中等題，C C表示難題，表示難題，考頻分析考頻分析2009200920122012年浙江卷情況年浙江卷情況 探究點(diǎn)一平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算返回目錄返回目錄點(diǎn)點(diǎn)面面講講考考點(diǎn)點(diǎn)第第2626講講平面向量的數(shù)量積與平面向量應(yīng)用舉例平面向量的數(shù)量積與平面向量應(yīng)用舉例返回目錄返回目錄點(diǎn)點(diǎn)面面講講考考點(diǎn)點(diǎn)第第2626講講平面向量的數(shù)量積與平面向量應(yīng)用舉例平面向量的數(shù)量積與平面向量應(yīng)用舉例返回目錄返回目錄點(diǎn)點(diǎn)面面講講考考點(diǎn)點(diǎn)第第2626講講平面向量的數(shù)量積與平面向量應(yīng)用舉例平面向量的數(shù)量積與平面向量應(yīng)用舉例返回目錄返回目錄點(diǎn)點(diǎn)面面講講考考點(diǎn)點(diǎn)第第2626講講平面向量的數(shù)量積與平面向量應(yīng)用舉例平面向量的數(shù)量積與平面向量應(yīng)用舉例 點(diǎn)評(píng)向量的數(shù)量積的運(yùn)算結(jié)果是一個(gè)數(shù)量，平面向量數(shù)量積的運(yùn)算類似于多項(xiàng)式的乘法我們遇到求向量的模時(shí)，可先求向量模的平方返回目錄返回目錄點(diǎn)點(diǎn)面面講講考考點(diǎn)點(diǎn)第第2626講講平面向量的數(shù)量積與平面向量應(yīng)用舉例平面向量的數(shù)量積與平面向量應(yīng)用舉例 歸納總結(jié) 求平面向量數(shù)量積的步驟是： (i)求a與b的夾角，0，180；(ii)分別求|a|和|b|；(iii)求數(shù)量積，即ab|a|b|cos，若知道向量的坐標(biāo)a(x1，y1)，b(x2，y2)，則求數(shù)量積時(shí)用公式abx1x2y1y2計(jì)算 注意共線時(shí)0或180，垂直時(shí)90，三種特殊情況返回目錄返回目錄點(diǎn)點(diǎn)面面講講考考點(diǎn)點(diǎn)第第2626講講平面向量的數(shù)量積與平面向量應(yīng)用舉例平面向量的數(shù)量積與平面向量應(yīng)用舉例返回目錄返回目錄點(diǎn)點(diǎn)面面講講考考點(diǎn)點(diǎn)第第2626講講平面向量的數(shù)量積與平面向量應(yīng)用舉例平面向量的數(shù)量積與平面向量應(yīng)用舉例返回目錄返回目錄點(diǎn)點(diǎn)面面講講考考點(diǎn)點(diǎn)第第2626講講平面向量的數(shù)量積與平面向量應(yīng)用舉例平面向量的數(shù)量積與平面向量應(yīng)用舉例 探究點(diǎn)二平面向量的垂直與夾角問題返回目錄返回目錄點(diǎn)點(diǎn)面面講講考考點(diǎn)點(diǎn)第第2626講講平面向量的數(shù)量積與平面向量應(yīng)用舉例平面向量的數(shù)量積與平面向量應(yīng)用舉例返回目錄返回目錄點(diǎn)點(diǎn)面面講講考考點(diǎn)點(diǎn)第第2626講講平面向量的數(shù)量積與平面向量應(yīng)用舉例平面向量的數(shù)量積與平面向量應(yīng)用舉例 點(diǎn)評(píng)利用向量夾角公式時(shí)，不一定非得算出|a|，|b|和ab的值，只要能得出它們的關(guān)系也可以求出比值；求角時(shí)，注意向量夾角的取值范圍是0，；若題目給出向量的坐標(biāo)表示，可直接套用公式cosa，b 求解返回目錄返回目錄點(diǎn)點(diǎn)面面講講考考點(diǎn)點(diǎn)第第2626講講平面向量的數(shù)量積與平面向量應(yīng)用舉例平面向量的數(shù)量積與平面向量應(yīng)用舉例 歸納總結(jié) 坐標(biāo)問題是高考中的一種常見題型，一般情況下，題目難度不大，在復(fù)習(xí)時(shí)，首先要明晰向量平行與垂直的兩個(gè)充要條件，然后由題設(shè)條件建立相關(guān)參數(shù)的方程組求解即可 已知兩個(gè)非零向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，是向量a，b的夾角，則cosa，b .返回目錄返回目錄點(diǎn)點(diǎn)面面講講考考點(diǎn)點(diǎn)第第2626講講平面向量的數(shù)量積與平面向量應(yīng)用舉例平面向量的數(shù)量積與平面向量應(yīng)用舉例返回目錄返回目錄點(diǎn)點(diǎn)面面講講考考點(diǎn)點(diǎn)第第2626講講平面向量的數(shù)量積與平面向量應(yīng)用舉例平面向量的數(shù)量積與平面向量應(yīng)用舉例返回目錄返回目錄點(diǎn)點(diǎn)面面講講考考點(diǎn)點(diǎn)第第2626講講平面向量的數(shù)量積與平面向量應(yīng)用舉例平面向量的數(shù)量積與平面向量應(yīng)用舉例返回目錄返回目錄點(diǎn)點(diǎn)面面講講考考點(diǎn)點(diǎn)第第2626講講平面向量的數(shù)量積與平面向量應(yīng)用舉例平面向量的數(shù)量積與平面向量應(yīng)用舉例返回目錄返回目錄點(diǎn)點(diǎn)面面講講考考點(diǎn)點(diǎn)第第2626講講平面向量的數(shù)量積與平面向量應(yīng)用舉例平面向量的數(shù)量積與平面向量應(yīng)用舉例 探究點(diǎn)三平面向量的模的求法返回目錄返回目錄點(diǎn)點(diǎn)面面講講考考點(diǎn)點(diǎn)第第2626講講平面向量的數(shù)量積與平面向量應(yīng)用舉例平面向量的數(shù)量積與平面向量應(yīng)用舉例返回目錄返回目錄點(diǎn)點(diǎn)面面講講考考點(diǎn)點(diǎn)第第2626講講平面向量的數(shù)量積與平面向量應(yīng)用舉例平面向量的數(shù)量積與平面向量應(yīng)用舉例返回目錄返回目錄點(diǎn)點(diǎn)面面講講考考點(diǎn)點(diǎn)第第2626講講平面向量的數(shù)量積與平面向量應(yīng)用舉例平面向量的數(shù)量積與平面向量應(yīng)用舉例 點(diǎn)評(píng)向量a的坐標(biāo)可以求出的，求長(zhǎng)度問題直接利用|a| ，不能求出的往往結(jié)合|a|2a2aa轉(zhuǎn)化來(lái)求返回目錄返回目錄點(diǎn)點(diǎn)面面講講考考點(diǎn)點(diǎn)第第2626講講平面向量的數(shù)量積與平面向量應(yīng)用舉例平面向量的數(shù)量積與平面向量應(yīng)用舉例返回目錄返回目錄點(diǎn)點(diǎn)面面講講考考點(diǎn)點(diǎn)第第2626講講平面向量的數(shù)量積與平面向量應(yīng)用舉例平面向量的數(shù)量積與平面向量應(yīng)用舉例返回目錄返回目錄點(diǎn)點(diǎn)面面講講考考點(diǎn)點(diǎn)第第2626講講平面向量的數(shù)量積與平面向量應(yīng)用舉例平面向量的數(shù)量積與平面向量應(yīng)用舉例返回目錄返回目錄點(diǎn)點(diǎn)面面講講考考點(diǎn)點(diǎn)第第2626講講平面向量的數(shù)量積與平面向量應(yīng)用舉例平面向量的數(shù)量積與平面向量應(yīng)用舉例 探究點(diǎn)四平面向量的實(shí)際應(yīng)用返回目錄返回目錄點(diǎn)點(diǎn)面面講講考考點(diǎn)點(diǎn)第第2626講講平面向量的數(shù)量積與平面向量應(yīng)用舉例平面向量的數(shù)量積與平面向量應(yīng)用舉例返回目錄返回目錄點(diǎn)點(diǎn)面面講講考考點(diǎn)點(diǎn)第第1 1講講集合及其運(yùn)算集合及其運(yùn)算返回目錄返回目錄點(diǎn)點(diǎn)面面講講考考點(diǎn)點(diǎn)第第1 1講講集合及其運(yùn)算集合及其運(yùn)算返回目錄返回目錄點(diǎn)點(diǎn)面面講講考考點(diǎn)點(diǎn)第第1 1講講集合及其運(yùn)算集合及其運(yùn)算 點(diǎn)評(píng)運(yùn)用向量處理幾何問題的方法有兩種：基向量法和坐標(biāo)法，應(yīng)根據(jù)已知條件選用，其基本思想是，把題中有關(guān)的線段表示為向量，將各種關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量運(yùn)算，然后利用向量運(yùn)算來(lái)處理所求問題返回目錄返回目錄點(diǎn)點(diǎn)面面講講考考點(diǎn)點(diǎn)第第1 1講講集合及其運(yùn)算集合及其運(yùn)算 歸納總結(jié)用平面向量解決平面解析幾何問題時(shí)，可以用基向量的方法和坐標(biāo)法，在便于建立直角坐標(biāo)系的情況下，通過建立平面直角坐標(biāo)系，使向量的坐標(biāo)運(yùn)算更理想一些在解決這類問題時(shí)，共線向量定理和平面向量基本定理起主導(dǎo)作用 解決向量與三角知識(shí)的綜合題的關(guān)鍵是把向量關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量的有關(guān)運(yùn)算，然后再進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)運(yùn)算(即坐標(biāo)運(yùn)算)返回目錄返回目錄點(diǎn)點(diǎn)面面講講考考點(diǎn)點(diǎn)第第1 1講講集合及其運(yùn)算集合及其運(yùn)算返回目錄返回目錄點(diǎn)點(diǎn)面面講講考考點(diǎn)點(diǎn)第第1 1講講集合及其運(yùn)算集合及其運(yùn)算返回目錄返回目錄點(diǎn)點(diǎn)面面講講考考點(diǎn)點(diǎn)第第1 1講講集合及其運(yùn)算集合及其運(yùn)算返回目錄返回目錄點(diǎn)點(diǎn)面面講講考考點(diǎn)點(diǎn)第第1 1講講集合及其運(yùn)算集合及其運(yùn)算易錯(cuò)究源易錯(cuò)究源1010誤解向量夾角致誤誤解向量夾角致誤返回目錄返回目錄多多元元提提能能力力第第2626講講平面向量的數(shù)量積與平面向量應(yīng)用舉例平面向量的數(shù)量積與平面向量應(yīng)用舉例返回目錄返回目錄多多元元提提能能力力第第2626講講平面向量的數(shù)量積與平面向量應(yīng)用舉例平面向量的數(shù)量積與平面向量應(yīng)用舉例返回目錄返回目錄多多元元提提能能力力第第2626講講平面向量的數(shù)量積與平面向量應(yīng)用舉例平面向量的數(shù)量積與平面向量應(yīng)用舉例返回目錄返回目錄多多元元提提能能力力第第2626講講平面向量的數(shù)量積與平面向量應(yīng)用舉例平面向量的數(shù)量積與平面向量應(yīng)用舉例返回目錄返回目錄多多元元提提能能力力第第2626講講平面向量的數(shù)量積與平面向量應(yīng)用舉例平面向量的數(shù)量積與平面向量應(yīng)用舉例返回目錄返回目錄多多元元提提能能力力第第2626講講平面向量的數(shù)量積與平面向量應(yīng)用舉例平面向量的數(shù)量積與平面向量應(yīng)用舉例【備選理由備選理由】 例例1 1是在函數(shù)圖象中考查數(shù)量積，比較新穎；例是在函數(shù)圖象中考查數(shù)量積，比較新穎；例2 2是在是在幾何圖形中結(jié)合平面向量基本定理考査數(shù)量積；例幾何圖形中結(jié)合平面向量基本定理考査數(shù)量積；例3 3是向是向量在解析幾何中的應(yīng)用量在解析幾何中的應(yīng)用返回目錄返回目錄教教師師備備用用題題第第2626講講平面向量的數(shù)量積與平面向量應(yīng)用舉例平面向量的數(shù)量積與平面向量應(yīng)用舉例返回目錄返回目錄教教師師備備用用題題第第2626講講平面向量的數(shù)量積與平面向量應(yīng)用舉例平面向量的數(shù)量積與平面向量應(yīng)用舉例返回目錄返回目錄教教師師備備用用題題第第2626講講平面向量的數(shù)量積與平面向量應(yīng)用舉例平面向量的數(shù)量積與平面向量應(yīng)用舉例返回目錄返回目錄教教師師備備用用題題第第2626講講平面向量的數(shù)量積與平面向量應(yīng)用舉例平面向量的數(shù)量積與平面向量應(yīng)用舉例返回目錄返回目錄教教師師備備用用題題第第2626講講平面向量的數(shù)量積與平面向量應(yīng)用舉例平面向量的數(shù)量積與平面向量應(yīng)用舉例返回目錄返回目錄教教師師備備用用題題第第2626講講平面向量的數(shù)量積與平面向量應(yīng)用舉例平面向量的數(shù)量積與平面向量應(yīng)用舉例返回目錄返回目錄教教師師備備用用題題第第2626講講平面向量的數(shù)量積與平面向量應(yīng)用舉例平面向量的數(shù)量積與平面向量應(yīng)用舉例返回目錄返回目錄教教師師備備用用題題第第2626講講平面向量的數(shù)量積與平面向量應(yīng)用舉例平面向量的數(shù)量積與平面向量應(yīng)用舉例