考 向 案 考題解構視角拓展高頻考點一:任意角的三角函數(shù)、同角三角函數(shù)的基本關系、誘導公式 (2011年江西卷)已知角的頂點為坐標原點,始邊為x軸的正半軸,若P(4,y)是角終邊上一點,且sin =- ,則y= .2 55 【解析】r= = ,且sin =- ,所以sin = =- ,解得y=-8.【答案】-822xy216y2 55yr216yy2 55真題索引情境構造角度切入2011年江西卷文14對三角函數(shù)定義的考查.代入正弦函數(shù)的定義公式即可求得y的值. 任意角的三角函數(shù)、同角三角函數(shù)關系與誘導公式是這兩年江西卷高考命題的熱點,但卻很少單獨命題,主要是在三角函數(shù)的求值、化簡過程中,與和差角公式及倍角公式的綜合應用中體現(xiàn)出來,體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想的應用,這也反映了高考的一個重要考向.切入角度說明 對三角函數(shù)的定義及倍角公式應用的考查.由三角函數(shù)定義可求出角的正切值,然后代入倍角公式.已知三角函數(shù)的值求值,是對同角三角函數(shù)基本關系式的考查.首先求得sin 的值,由同角三角函數(shù)關系式求得tan 的值,在求解過程中需要注意角的范圍及三角函數(shù)值的符號. 角度探究:案例落實:1.已知角的頂點與原點重合,始邊與x軸的正半軸重合,終邊在直線y=2x上,則cos 2等于( ) (A)-. (B)-. (C). (D).45353545【解析】依題意得tan =2,cos 2=cos2 -sin2 = = =-.故選B.【答案】B2222cossincossin221tan1tan352.若cos =-,且(,),則tan = .【解析】cos =-,且(,),sin =- =-,tan = =.【答案】 3532353221 cos 45sincos4343 高頻考點二:三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)1.(2012年江西卷)如右圖,|OA|=2(單位:m),|OB|=1(單位:m),OA與OB的夾角為,以A為圓心,AB為半徑作圓弧 與線段OA的延長線交于點C.甲、乙兩質(zhì)點同時從點O出發(fā),甲先以速率1(單位:m/s)沿線段OB行至點B,再以速率3(單位:m/s)沿圓弧 行至點C后6BDCBDC停止;乙以速率2(單位:m/s)沿線段OA行至點A后停止.設t時刻甲、乙所到達的兩點連線與它們經(jīng)過的路徑所圍成圖形的面積為S(t)(S(0)=0),則函數(shù)y=S(t)的圖像大致是( )【解析】由余弦定理知,cosAOB= = ,求得AB= ,由已知可知:當t1時,S(t)=t2tsin=t2,對應的2222OAOBABOA OB3252 312612函數(shù)圖像為開口向上的拋物線的一部分;存在t0,使得當1t0時,甲乙兩質(zhì)點停止運動,S(t)的值恒定不變,對應圖像為平行于x軸的直線. 故應選A.【答案】A1212123 52 323 52 322.(2012年新課標全國卷)已知0,00)的最小正周期為.(1)求的值;(2)將函數(shù)y=f(x)的圖像上各點的橫坐標縮短到原來的,縱坐標不變,得到函數(shù)y=g(x)的圖像,求函數(shù)g(x)在區(qū)間0,上的最小值.1216所以f(x)=sin xcos x+ =sin 2x+cos 2x+=sin(2x+)+.由于0,依題意得=,所以=1.(2)由(1)知f(x)= sin(2x+)+,1cos22x121212224122222412【解析】(1)因為f(x)=sin(-x)cos x+cos2x,所以g(x)=f(2x)= sin(4x+)+.當0 x時,4x+,所以sin(4x+)1,因此1g(x) ,故g(x)在區(qū)間0,上的最小值為1.224121644222412216 高頻考點三:三角恒等變換1.(2012年江西卷)若 =,則tan 2等于( )(A)-. (B). (C)-. (D).sincossincos1234344343【解析】因為 =,所以 =-3=tan ,tan 2= =.【答案】Bsincossincos12sincos22tan1tan342.(2012年江西卷)已知f(x)=sin2(x+),若a=f(lg 5),b=f(lg),則( )(A)a+b=0. (B)a-b=0.(C)a+b=1. (D)a-b=1.415【答案】C 【解析】因為f(x)=sin2(x+)= = ,令lg 5=t,則lg=-t,所以a=f(lg 5)= ,b=f(lg)= ,所以a+b=1,故應選C.41cos(2)22x1 sin22x151 sin22t151 sin22t真題索引情境構造角度切入2012年江西卷文4考查同角三角函數(shù)間的基本關系、二倍角公式等.先利用同角函數(shù)間的關系求出tan ,再利用二倍角公式求出tan 2.真題索引情境構造角度切入2012年江西卷文9考查三角恒等變換、二倍角公式以及換元思想.先利用三角恒等變換化簡f(x)的函數(shù)解析式,再通過換元尋找a,b之間的數(shù)量關系.從這兩年江西卷的命題情況來看,對三角恒等變換的考查,常把三角恒等變換作為一種工具,與三角函數(shù)的性質(zhì)、解三角形等進行綜合考查.考查時,除了注重和差公式、倍角公式等的考查外,還有輔助角公式等的考查,因此,我們在復習過程中要注重公式間的內(nèi)在聯(lián)系和變形,要重視公式的逆用,不要在化簡或證明上過于繁雜化和技巧化,盡量把握常規(guī)的變形方式. 角度探究:切入角度說明 考查同角三角函數(shù)關系及和角正弦公式.代入相應的公式解答,但在求解過程中要注意角的范圍.考查sin cos 與sin 2的關系.平方即可,但要注意角的范圍.案例落實:1.若cos =-,是第三象限的角,則sin (+)等于( ) (A)-. (B). (C)-. (D).【解析】為第三象限角,sin =- =-sin (+)=sin cos +cos sin =- ,選A.【答案】A4547 2107 21021021021cos 354447 2102.已知sin -cos = ,(0,),則sin 2等于( )(A)-1. (B)-. (C). (D)1.【解析】將sin -cos = 兩邊平方得2sin cos =-1, 即sin 2=-1.【答案】A222222 高頻考點四:正弦定理、余弦定理及其應用1.(2012年江西卷)在ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c.已知3cos(B-C)-1=6cos Bcos C.(1)求cos A;(2)若a=3,ABC的面積為2 ,求b,c.2即cos(B+C)=-,從而cos A=-cos(B+C)=.1313【解析】(1)由3cos(B-C)-1=6cos Bcos C,得3(cos Bcos C-sin Bsin C)=-1,由方程組 解得 或 226,13,bcbc2,3bc3,2.bc(2)由于0A,cos A=,所以sin A= .又SABC=2 ,即bcsin A=2 ,解得bc=6.由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A,得b2+c2=13,132 2321222.(2011年江西卷)在ABC中,角A,B,C的對邊分別是a,b,c,已知3acos A=ccos B+bcos C.(1)求cos A的值;(2)若a=1,cos B+cos C= ,求邊c的值.【解析】(1)由余弦定理得b2=a2+c2-2accos B,c2=a2+b2-2abcos C,兩式相加有ccos B+bcos C=a,2 33代入已知條件得3acos A=a,即cos A=.13(2)由cos A=得sin A= ,則cos B=-cos(A+C)=-cos C+ sin C,代入cos B+cos C= ,得cos C+ sin C= ,從而得sin(C+)=1,其中sin =,cos =,且0.132 23132 232 332333632則C+=,于是sin C=,由正弦定理得c= = .263sinsinaCA32 真題索引情境構造角度切入2012年江西卷文16考查三角變換與解三角形.(1)利用差角的余弦公式展開已知式,便可求得cos A;(2)由三角形的面積公式求出bc=6,由余弦定理得到b2+c2=13,解這兩個關于b,c的方程組便可求得b與c.2011年江西卷文17求三角形的邊. 利用三角恒等變換求三角函數(shù)的值及三角形的邊長.從這兩年江西卷的命題情況可以看出,對正、余弦定理的考查是高考的熱點,且試題常利用正、余弦定理來求解邊長、角度、周長、面積等,或以三角形或其他平面圖形為背景,考查正、余弦定理及三角函數(shù)的化簡與證明.切入角度說明 解三角形中的角、邊問題.第(1)問可由正弦定理先化邊為角,再由三角恒等式作進一步的變換求角;第(2)問可由面積公式及余弦定理進行求解. 角度探究:切入角度說明三角恒等變換與解三角形的綜合,求三角形的面積.先把條件化為正弦的形式,代入正弦定理,可證得第一問;第二問求面積,代入面積公式S=acsin B即可,但需先求出sin B的值.求三角形的面積.結合面積公式及題中所給條件,可先求sin A的值后代入面積公式,亦可先利用余弦定理求出邊BC的長后再代入面積公式.121.已知a,b,c分別為ABC三個內(nèi)角A,B,C的對邊,c= asin C-ccos A.(1)求A;(2)若a=2,ABC的面積為 ,求b,c.33案例落實:由于sin C0,所以sin(A-)=.又0A,故A=.(2)ABC的面積S=bcsin A= ,故bc=4.而a2=b2+c2-2bccos A,得b2+c2=8.解得b=c=2.6123123【解析】(1)由c= asin C-ccos A及正弦定理得 sinAsin C-cos Asin C-sin C=0.332.在ABC中,內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,已知sin B(tan A+tan C)=tan Atan C.(1)求證:a,b,c成等比數(shù)列;(2)若a=1,c=2,求ABC的面積S.【解析】(1)在ABC中,由于sin B(tan A+tan C)=tan Atan C,所以sin B( + )= ,sincosAAsincosCCsincosAAsincosCC即sin B(sin Acos C+cos Asin C)=sin Asin C,所以sin Bsin(A+C)=sin Asin C,又A+B+C=,所以sin(A+C)=sin B,因此sin2B=sin Asin C.由正弦定理得b2=ac,即a,b,c成等比數(shù)列.(2)因為a=1,c=2,所以b= ,由余弦定理得cos B= = =,因為0B,所以sin B= =,故ABC的面積S=acsin B=12=.22222acbac221222 1 2 3421 cos B74121274743.ABC中,B=120,AC=7,AB=5,則ABC的面積為 .【解析】由正弦定理可得 = ,sin C= ,又0C60,cos C=,于是sin A=sin(60-C)=cos C-sin C= ,SABC=ABACsin A=57 = .【答案】 7sin1205sinC5 314111432123 31412123 31415 3415 34基礎角度思路一、選擇題(本大題共10小題,每小題5分)1.(基礎再現(xiàn))函數(shù)y=1-2sin x的最大值、最小值分別為( )(A)3、-1. (B)1、-1.(C)3、-3. (D)1、-3.【解析】-1sin x1,-1y3.【答案】A2.(基礎再現(xiàn))要得到函數(shù)y=sin(3x-)的圖像,只需將函數(shù)y=sin 3x的圖像( )(A)向左平移個單位. (B)向右平移個單位.(C)向左平移個單位. (D)向右平移個單位.5551515【答案】D【解析】y=sin (3x-)=sin 3(x-),只需y=sin 3x的圖像向右平移個單位.515153.(視角拓展)若ABC的內(nèi)角滿足tan A-sin A0,則角A的取值范圍是( )(A)(0,). (B)(,).(C)(,). (D)(,).4422434【答案】C【解析】由tan A-sin A0,得 0,所以1,從而A0,xR)的最小正周期為,則它的一條對稱軸方程可以是( )(A)x=. (B)x=-.(C)x=. (D)x=-.3321212sin(2x+)的最小正周期為,=1,f(x)=sin(2x+),當x=時取最大值.【答案】C3312【解析】f(x)= (1+cos 2x)+ sin 2x- =3212326.(高度提升)在ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且a-b=4,a+c=2b,又知ABC的最大角為120,則邊a等于( )(A)12. (B)14. (C)16. (D)8.【解析】由a+c=2b得a-b=b-c,又a-b=4,a-b=b-c=4,abc,故最大角是A,即A=120,b=a-4,c=b-4=a-8,cos 120= =-,化簡得a2-18a+56=0.222(4)(8)2(4)(8)aaaaa12a=14或a=4(舍去).【答案】B7.(高度提升)已知函數(shù)y=Asin(x+)+B的一部分圖像如右圖所示,如果A0,0,|0,|),y=f(x)的部分圖像如圖所示,若f(x0)=,則x0等于( )(A).(B)+,kZ.(C)k+,kZ.23242k243(D)+,kZ.2k3【解析】由圖像知:最小正周期T=,=2,將點(0,1)和(,0)代入f(x)得: 238tan1,3tan(2)0,8AAtan1,3,Z.4Akk又|0,解得 - .【答案】( - ,+)2ac2222bcabc22ac323216.(基礎再現(xiàn))在ABC中,求證: + + =0.【解析】 = = =4R2(cos B-cos A).22coscosabAB22coscosbcBC22coscoscaCA22coscosabAB22(2 sin)(2 sin)coscosRARBAB2224(1cos)(1cos)coscosRABAB2224(coscos)coscosRBAAB三、解答題(本大題共6小題,共75分)同理: =4R2(cos C-cos B), =4R2(cos A-cos C).左邊=4R2(cos B-cos A)+4R2(cos C-cos B)+4R2(cos A-cos C)=0.原等式成立.22coscosbcBC22coscoscaCA17.(基礎再現(xiàn))已知(,),且sin +cos = .(1)求cos 的值;(2)若sin(+)=-,(0,),求sin 的值.【解析】(1)因為sin +cos = ,所以(sin +cos )2=,所以1+2sin cos =,sin =.2222 33352222 332243224313因為(,),所以cos =- =- =- .(2)因為(,),(0,),所以+(,),又sin(+)=-,得cos(+)=-.sin =sin (+)-=sin(+)cos -cos(+)sin =(-) (- )-(-)= .221 sin 1192 23222323545352 2345136 241518.(視角拓展)設ABC的內(nèi)角A、B、C所對的邊長分別為a、b、c,且acos B=3,bsin A=4.(1)求邊長a;(2)若ABC的面積S=10,求ABC的周長l.又由acos B=3知:cos B0,則cos B=,sin B=,則a=5.(2)由S=acsin B,得到c=5.由cos B= ,解得:b=2 ,所以l=10+2 .3545122222acbac55【解析】(1)由acos B=3與bsin A=4兩式相除,有: = = = = ,34cossinaBbAsinaAcosBbsinbBcosBb1tanB19.(視角拓展)設函數(shù)f(x)=cos(2x+)+sin2x.(1)求函數(shù)f(x)的最大值和最小正周期;(2)設A,B,C為ABC的三個內(nèi)角,若cos B=,f()=-,且C為銳角,求sin A.【解析】 (1)f(x)=cos(2x+)+sin2x =cos 2xcos -sin 2xsin + 3132C143331cos22x=-sin 2x.函數(shù)f(x)的最大值為 ,最小正周期為.(2)f()=-sin C=-,sin C=,因為C為銳角,所以C=,又因為在ABC中,cos B=,所以sin B=,所以sin A=sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C12321322C123214323132 23= += .2321213322 23620.(高度提升)某人在M汽車站的北偏西20的方向上的A處,觀察到點C處有一輛汽車沿公路向M站行駛.公路的走向是M站的北偏東40.開始時,汽車到A的距離為31千米,汽車前進20千米后,到A的距離縮短了10千米.問汽車還需行駛多遠,才能到達M汽車站?【解析】由題設,畫出示意圖如圖所示.設汽車前進20千米后到達B處.在ABC中,AC=31,BC=20,AB=21,由余弦定理得cos C= = ,則sin2C=1-cos2C= ,sin C= ,2222ACBCABAC BC233124323112 331AMC=20+40=60,sin MAC=sin(120-C)=sin 120cos C-cos 120sin C= .在MAC中,由正弦定理得MC= = =35,從而有MB=MC-BC=15.答:汽車還需要行駛15千米才能到達M汽車站.35 362sinsinACMACAMC313235 36221.(能力綜合)函數(shù)f1(x)=Asin(x+)(A0,0,|)的一段圖像過點(0,1),如下圖所示.2(2)將函數(shù)y=f1(x)的圖像向右平移,得到函數(shù)y=f2(x),求y=f1(x)+f2(x)的最大值,并求此時自變量x的集合.【解析】(1)由題圖知:T=,于是=2,函數(shù)的圖像過點(0,1),(-,0). =,A=2.412sin(2 0)1,sin2 ()0,12AA 6(1)求函數(shù)f1(x)的解析式;故f1(x)=2sin(2x+).(2)依題意f2(x)=2sin2(x-)+=-2cos(2x+),故y=2sin(2x+)-2cos(2x+)=2 sin(2x-).當2x-=2k+,即x=k+,kZ時,ymax=2 .此時,x的取值集合為x|x=k+,kZ.6466662121227242724