第七章立體幾何第七章立體幾何第五節(jié)直線、平面垂直的判定及性質(zhì)第五節(jié)直線、平面垂直的判定及性質(zhì)考綱要求考情分析以立體幾何的定義、公理和定理為出發(fā)點(diǎn)，認(rèn)識(shí)和理解空間中線面垂直的判定定理與有關(guān)性質(zhì).1.(理)從考查內(nèi)容看，高考對(duì)本考點(diǎn)重點(diǎn)考查線線垂直、線面垂直和面面垂直的判定和性質(zhì)以及線面角、二面角的求法. (文)從考查內(nèi)容看，本考點(diǎn)重點(diǎn)考查線線垂直、線面垂直和面面垂直的判定和性質(zhì)；從近幾年的高考看，線面角的求法也逐漸成為考查的重點(diǎn). 2.從考查形式看，主要以解答題為主，且常將位置關(guān)系的證明與角的求法結(jié)合在一起命題，綜合考查學(xué)生的邏輯推理能力和運(yùn)算能力.一、直線與平面垂直1直線和平面垂直的定義直線l與平面內(nèi)的 一條直線都垂直，就說(shuō)直線l與平面互相垂直任意2直線與平面垂直的判定與性質(zhì)兩條相交直線 平行 a、b abO lb la a b 它在平面內(nèi)的射影 1兩條直線和一個(gè)平面所成的角相等，這兩條直線的位置關(guān)系怎樣？提示：平行、相交、異面三種情況都有可能二、平面與平面垂直1二面角的有關(guān)概念(1)二面角：從一條直線出發(fā)的 所組成的圖形叫做二面角(2)二面角的平面角：在二面角的棱上任一點(diǎn)，以該點(diǎn)為垂足，在兩個(gè)半平面內(nèi)分別作 的兩條射線，這兩條射線所構(gòu)成的角叫做二面角的平面角(3)二面角的范圍：0，兩個(gè)半平面垂直于棱2平面和平面垂直的定義兩個(gè)平面相交，如果所成的二面角是 ，就說(shuō)這兩個(gè)平面互相垂直直二面角3平面與平面垂直的判定定理與性質(zhì)定理垂線 交線 l l l a la 2垂直于同一平面的兩平面是否平行？提示：不一定，可能平行也可能相交1設(shè)l、m、n均為直線，其中m、n在平面內(nèi)，則“l(fā)”是“l(fā)m且ln”的()A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件解析：當(dāng)l時(shí)，lm且ln.但當(dāng)lm，ln時(shí)，若m、n不是相交直線，則得不到l.答案：A2將圖1中的等腰直角三角形ABC沿斜邊BC的中線AD折起得到四面體ABCD(如圖2)，則在四面體ABCD中，AD與BC的位置關(guān)系是() A相交且垂直B相交但不垂直C異面且垂直D異面但不垂直解析：由題意知ADBD，ADDC，又BDDCD，故AD平面BCD.又BC平面BCD，所以ADBC.又AD與BC異面，故選C.答案：C3在正方體ABCDA1B1C1D1中，B1C與平面DD1B1B所成角的大小是()A15B30C45D604設(shè)，是空間兩個(gè)不同的平面，m，n是平面及外的兩條不同直線從“mn；n；m”中選取三個(gè)作為條件，余下一個(gè)作為結(jié)論，寫(xiě)出你認(rèn)為正確的一個(gè)命題：_(用代號(hào)表示)解析：將作為條件，構(gòu)造長(zhǎng)方體進(jìn)行證明，即從長(zhǎng)方體的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的兩條棱與其對(duì)面垂直，這兩個(gè)對(duì)面互相垂直，故；對(duì)于，可仿照前面的例子進(jìn)行證明答案：(或)5(理)設(shè)P是60的二面角l內(nèi)一點(diǎn)，PA，PB，A、B分別為垂足，PA2，PB4，則AB的長(zhǎng)是_解析：如圖所示，PA與PB確定平面，設(shè)平面與l交于點(diǎn)E，則BEl，AEl，BEA即為二面角的平面角，5(文)在正三棱錐PABC中，D，E分別是AB，BC的中點(diǎn)，有下列三個(gè)論斷：ACPB；AC平面PDE；AB平面PDE.其中所有正確論斷的序號(hào)為_(kāi)解析：取AC中點(diǎn)O，連接PO，BO，則ACPO，ACBO，又POBOO，所以AC平面POB，故ACPB.由ACDE知AC平面PDE.顯然不成立答案： 【考向探尋】1直線與平面垂直的判定2直線與平面垂直的性質(zhì)3直線與平面垂直的判定與性質(zhì)的綜合應(yīng)用【典例剖析】 (1)如圖甲，在ABC中，ABC90，PA平面ABC，則圖中直角三角形的個(gè)數(shù)是_ (1)利用線面垂直的判定、性質(zhì)尋求圖中的垂直關(guān)系(2)證明PHAD，PHAB即可由知PH為四棱錐的高，證四邊形ABCD為直角梯形，根據(jù)公式求體積即可取PA中點(diǎn)M，證DM平面PAB及EFDM即可(1)解析：PA平面ABC，AB，AC平面ABC，PAAB，PAAC，PABC.又CBAB，PAABA，CB平面PAB.CBPB.PAB，PAC，PBC，ABC均為直角三角形答案：4(2)證明：因?yàn)锳B平面PAD，PH平面PAD，所以PHAB.因?yàn)镻H為PAD中AD邊上的高，所以PHAD.因?yàn)镻H 平面ABCD，ABADA，AB，AD平面ABCD，所以PH平面ABCD.解：因?yàn)镻DAD，所以MDPA.因?yàn)锳B平面PAD，所以MDAB.因?yàn)镻AABA，所以MD平面PAB，所以EF平面PAB.(1)證明直線和平面垂直的常用方法有(2)當(dāng)直線和平面垂直時(shí)，該直線垂直于平面內(nèi)的任意一條直線，常用來(lái)證明線線垂直方法一利用判定定理證明方法二利用ab，a則b證明方法三利用a，則 a證明.方法四利用面面垂直的性質(zhì)【活學(xué)活用】1.( 理)如右圖所示，已知PA矩形ABCD所在平面，M，N分別是AB，PC的中點(diǎn)(1)求證：MNCD；(2)若PDA45，求證：MN平面PCD.(2)如圖所示，連接PM，CM，PDA45，PAAD，APAD.四邊形ABCD為矩形，ADBC，PABC.又M為AB的中點(diǎn)，AMBM，而PAMCBM90，PMCM.又N為PC的中點(diǎn)，MNPC.由(1)知，MNCD，PCCDC，MN平面PCD.1.(文)如圖，已知三棱錐ABPC中，APPC，ACBC，M為AB中點(diǎn)，D為PB中點(diǎn)，且PMB為正三角形，求證：(1)MD平面APC；(2)BC平面APC.證明：(1)M為AB中點(diǎn)，D為PB中點(diǎn)，MDAP.又MD 平面APC，AP平面APC，MD平面APC.(2)PMB為正三角形，D為PB的中點(diǎn)，MDPB.又由(1)知MDAP，APPB，又已知APPC，PBPCP，AP平面PBC，APBC.又ACBC，ACAPA，BC平面APC.【考向探尋】1平面與平面垂直的判定2平面與平面垂直的性質(zhì)3平面與平面垂直的判定與性質(zhì)的綜合應(yīng)用【典例剖析】 (1)(2012浙江高考)設(shè)l是直線，是兩個(gè)不同的平面A若l，l，則B若l，l，則C若，l，則lD若，l，則l(2)(2012江蘇高考)如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1中，A1B1A1C1，D，E分別是棱BC，CC1上的點(diǎn)(點(diǎn)D不同于點(diǎn)C)，且ADDE，F(xiàn)為B1C1的中點(diǎn) 求證：平面ADE平面BCC1B1；直線A1F平面ADE.題號(hào)分析(1)利用線面、面面關(guān)系定理判定(2)先證AD平面BCC1B1，再證兩平面垂直；轉(zhuǎn)化為證明A1FAD即可.(1)解析：設(shè)a，若直線l a，且l ，l ，則l ，l ，因此不一定平行于，故A錯(cuò)誤；由于l ，故在內(nèi)存在直線l l，又因?yàn)閘，所以l，故，所以B正確；若，在內(nèi)作交線的垂線l，則l，此時(shí)l在平面內(nèi)，因此C錯(cuò)誤；已知，若a，l a，且l不在平面，內(nèi)，則l 且l ，因此D錯(cuò)誤答案：B(2)證明：因?yàn)锳BCA1B1C1是直三棱柱，所以CC1平面ABC.又AD平面ABC，所以CC1AD.又ADDE，CC1，DE平面BCC1B1，CC1DEE，所以AD平面BCC1B1.因?yàn)锳D平面ADE，所以平面ADE平面BCC1B1.因?yàn)锳1B1A1C1，F(xiàn)為B1C1的中點(diǎn)，所以A1FB1C1.因?yàn)镃C1平面A1B1C1，且A1F平面A1B1C1，所以CC1A1F.又因?yàn)镃C1，B1C1平面BCC1B1，CC1B1C1C1，所以A1F平面BCC1B1.由(1)知AD平面BCC1B1，所以A1F AD.又AD平面ADE，A1F 平面ADE，所以A1F平面ADE.(1)證明平面和平面垂直的方法利用定義證明只需判定兩平面所成的二面角為直二面角即可利用線面垂直的判定定理此種方法要注意平面內(nèi)的兩條直線必須相交(2)面面垂直的性質(zhì)應(yīng)用技巧：兩平面垂直，在一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線必垂直于另一個(gè)平面這是把面面垂直轉(zhuǎn)化為線面垂直的依據(jù)運(yùn)用時(shí)要注意“平面內(nèi)的直線”兩個(gè)相交平面同時(shí)垂直于第三個(gè)平面，那么它們的交線也垂直于第三個(gè)平面【活學(xué)活用】2.如圖所示，已知矩形ABCD中，AB10，BC6，將矩形沿對(duì)角線BD把ABD折起，使A移到A1點(diǎn)，且A1在平面BCD上的射影O恰好在CD上(1)求證：BCA1D；(2)求證：平面A1BC平面A1BD.證明：(1)A1在平面BCD上的射影O在CD上，A1O平面BCD，又BC平面BCD，BCA1O.又BCCO，A1OCOO，BC平面A1CD，又A1D平面A1CD，BCA1D.(2)ABCD為矩形，A1DA1B，由(1)知A1DBC，A1BBCB，A1D平面A1BC，又A1D平面A1BD，平面A1BC平面A1BD.(理)【考向探尋】1與平行、垂直有關(guān)的綜合問(wèn)題2與垂直、平行有關(guān)的折疊、探索性問(wèn)題3求二面角的大小【典例剖析】 (1)求證：AA1BC；(2)求AA1的長(zhǎng)；(3)求二面角ABCA1的余弦值解答此題可按以下思路進(jìn)行：(1)先證CBDD1，BCAD，進(jìn)而證得BC平面AD1A1D，從而可得結(jié)論(2)延長(zhǎng)A1D1到G，使GD1AD，可求得AG及A1G，再利用勾股定理求解(3)作出二面角的平面角，用通過(guò)解三角形求解(1)證明：如圖，取BC，B1C1的中點(diǎn)分別為D和D1，連接A1D1，DD1，AD，A1D，AD1.由條件可知，BCAD，B1C1A1D1.由上可得AD平面BB1C1C，A1D1平面BB1C1C，由此得ADA1D1，即AD，A1D1確定平面AD1A1D.又因?yàn)镈D1BB1，BB1BC，所以DD1BC.又ADBC，ADDD1D，所以BC平面AD1A1D，又AA1平面AD1A1D.故BCAA1.(2)解：延長(zhǎng)A1D1到G點(diǎn)，使GD1AD.連接AG，則ADGD1.所以四邊形AGD1D為平行四邊形所以AGDD1，又DD1BB1，所以AGBB1.由于BB1平面A1B1C1，所以AG平面A1B1C1，又A1G平面A1B1C1，所以AGA1G.由條件可知，A1GA1D1D1G3，AG4，所以AA15.【活學(xué)活用】3三棱錐PABC中，PC、AC、BC兩兩垂直，BCPC1，AC2，E、F、G分別是AB、AC、AP的中點(diǎn)(1)求證：平面GFE平面PCB；(2)求二面角BAPC的正切值(1)證明：因?yàn)镋、F、G分別是AB、AC、AP的中點(diǎn)，所以EFBC，GFCP.因?yàn)镋F，GF 平面PCB.所以EF平面PCB，GF平面PCB.又EFGFF，所以平面GFE平面PCB. (文)【考向探尋】1與垂直、平行有關(guān)的綜合問(wèn)題2與平行、垂直有關(guān)的折疊、探索性問(wèn)題3求直線與平面所成角的大小【典例剖析】解答此題可按以下思路進(jìn)行(1)先證C1B1平面A1D1DA，再利用線面平行的性質(zhì)證EFA1D1.證明BA1B1C1，BA1B1F即可(2)作出直線與平面所成的角，通過(guò)解三角形求解因?yàn)锽B1平面A1B1C1D1，所以BB1B1C1.又因?yàn)锽1C1B1A1，所以B1C1平面ABB1A1，所以B1C1BA1.在矩形ABB1A1中，F(xiàn)是AA1的中點(diǎn)，tanA1B1FtanAA1B，即A1B1FAA1B，故BA1B1F.所以BA1平面B1C1EF.(1)求線面角的方法根據(jù)線面角的定義作出直線與平面所成的角，然后通過(guò)解三角形的方法求出該角，其具體步驟是“作證求”(2)解決垂直的綜合問(wèn)題時(shí)要注意三種垂直相互轉(zhuǎn)化，具體為【活學(xué)活用】3.AB為圓O的直徑，點(diǎn)E，F(xiàn)在圓上，ABEF，矩形ABCD所在平面與圓O所在平面互相垂直，已知AB2，EF1.(1)求證：BF平面DAF；(2)求BF與平面ABCD所成的角；(3)若AC與BD相交于點(diǎn)M，求證：ME平面DAF. (1)證明：AB為圓O的直徑，BFAF.又平面ABCD圓O面，且平面ABCD圓O面AB，DAAB.DA圓面O，BF圓面O，DABF，DAAFA，所以BF平面ADF. (1)EF平面ABC.證明：因?yàn)锳B平面BCD，CD平面BCD.所以ABCD.又BCD中，BCD90，所以BCCD，因?yàn)锳BBCB，所以CD平面ABC， 2分 (1)證明：取AD的中點(diǎn)G，連PG，BG，BD.PAD為等邊三角形，PGAD，2分又平面PAD平面ABCD，PG平面ABCD.在ABD中，DAB60，ADAB，ABD為等邊三角形，BGAD，5分又PGBGG.AD平面PBG，PB平面PBG，ADPB. 7分(2)連CG，DE，設(shè)CG與DE相交于點(diǎn)H，在PGC中作HFPG，交PC于F點(diǎn)，連接DF. 8分FH平面ABCD，F(xiàn)H平面DHF，平面DHF平面ABCD.H是CG的中點(diǎn)，F(xiàn)是PC的中點(diǎn)，11分當(dāng)F為PC的中點(diǎn)時(shí)，滿足平面DEF平面ABCD. 12分(1)第一步，探求出點(diǎn)的位置第二步，證明符合要求第三步，給出明確答案第四步，反思回顧，查看關(guān)鍵點(diǎn)，易錯(cuò)點(diǎn)和答題規(guī)范(2)從結(jié)論出發(fā)，“要使什么成立”，“只須使什么成立”，尋求使結(jié)論成立的充分條件，類似于分析法