第二講空間中的平行與垂直第二講空間中的平行與垂直 例1(2012年高考山東卷)在如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD是等腰梯形，ABCD，DAB60，F(xiàn)C平面ABCD，AEBD，CBCDCF. (1)求證：BD平面AED； (2)求二面角FBDC的余弦值(1)(2) 例2(2012年高考江蘇卷)如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1中，A1B1A1C1，D，E分別是棱BC，CC1上的點(diǎn)(點(diǎn)D不同于點(diǎn)C)，且ADDE，F(xiàn)為B1C1的中點(diǎn) 求證：(1)平面ADE平面BCC1B1； (2)直線A1F平面ADE. 將平面圖形沿其中一條或幾條線段折起，使其成為空間圖形，這類問題稱之為平面圖形翻折問題平面圖形經(jīng)過翻折成為空間圖形后，原有的性質(zhì)有的發(fā)生了變化、有的沒有發(fā)生變化，弄清它們是解決問題的關(guān)鍵一般地，翻折后還在同一個(gè)平面上的性質(zhì)不發(fā)生變化，不在同一個(gè)平面上的性質(zhì)發(fā)生變化 解析找出圖形在翻折過程中變化的量與不變的量對(duì)于選項(xiàng)對(duì)于選項(xiàng)A，過點(diǎn)，過點(diǎn)A作作AEBD，垂足為，垂足為E，過點(diǎn)，過點(diǎn)C作作CFBD，垂，垂足為足為F，在圖，在圖(1)中，由邊中，由邊AB，BC不相等可知點(diǎn)不相等可知點(diǎn)E，F(xiàn)不重合在圖不重合在圖(2)中，連接中，連接CE，若直線，若直線AC與直線與直線BD垂直，又垂直，又ACAEA，BD面面ACE，BDCE，與點(diǎn)，與點(diǎn)E，F(xiàn)不重合相矛盾，故不重合相矛盾，故A錯(cuò)誤錯(cuò)誤 答案B 如圖1，直角梯形ABCD中，ADBC，ABC90，E，F(xiàn)分別為邊AD和BC上的點(diǎn)，且EFAB，AD2AE2AB4FC4.將四邊形EFCD沿EF折起成如圖2的形狀，使ADAE.(1)求證：求證：BC平面平面DAE；(2)求四棱錐求四棱錐DAEFB的體積的體積 【真題】(2012年高考陜西卷)(1)如圖所示，證明命題“a是平面內(nèi)的一條直線，b是外的一條直線(b不垂直于)，c是直線b在上的投影，若ab，則ac”為真； (2)寫出上述命題的逆命題，并判斷其真假(不需證明) 【解析】(1)證明：證法一如圖(1)，過直線b上任一點(diǎn)作平面的垂線n，設(shè)直線a，b，c，n的方向向量分別是a，b，c，n，則b，c，n共面 根據(jù)平面向量基本定理，存在實(shí)數(shù)，使得cbn， 則aca(bn)(ab)(an) 因?yàn)閍b，所以ab0. 又因?yàn)閍 ，n，所以an0. 故ac0，從而ac. 證法二如圖(2)，記cbA，P為直線b上異于點(diǎn)A的任意一點(diǎn)，過P作PO，垂足為O，則Oc. 因?yàn)镻O，a，所以直線POa. 又ab，b平面PAO，PObP， 所以a平面PAO. 又c平面PAO， 所以ac. (2)逆命題為：a是平面內(nèi)的一條直線，b是外的一條直線(b不垂直于)，c是直線b在上的投影，若ac，則ab. 逆命題為真命題 【名師點(diǎn)睛】本題實(shí)際上考查了三垂線定理逆定理的證明，命題創(chuàng)意新穎，改變了多數(shù)高考命題以空間幾何體為載體考查線面位置關(guān)系的證明著重考查推理論證能力 高考對(duì)空間中的平行與垂直的考查多數(shù)仍以解答題形式出現(xiàn)，還會(huì)以常見的空間幾何體為載體主要考查線面平行線面垂直與面面垂直的證明 【押題】一個(gè)空間幾何體的三視圖及部分?jǐn)?shù)據(jù)如圖所示，其正視圖、俯視圖均為矩形，側(cè)視圖為直角三角形 (1)請(qǐng)畫出該幾何體的直觀圖，并求出它的體積； (2)證明：A1C平面AB1C1； (3)若D是棱CC1的中點(diǎn)，E是棱AB的中點(diǎn)，判斷DE是否平行于平面AB1C1，并證明你的結(jié)論 (2)證明：由(1)知平面AA1C1C平面BB1C1C且B1C1CC1，所以B1C1平面ACC1A1，所以B1C1A1C. 因?yàn)樗倪呅蜛CC1A1為正方形，所以A1CAC1， 而B1C1AC1C1，所以A1C平面AB1C1. (3)DE平面AB1C1，證明如下： 如圖，取BB1的中點(diǎn)F，連接EF，DF，DE. 因?yàn)镈，E，F(xiàn)分別為CC1，AB，BB1的中點(diǎn)，所以EFAB1，DFB1C1.