第三講導數(shù)的應(yīng)用第三講導數(shù)的應(yīng)用 導數(shù)的幾何意義 (1)函數(shù)yf(x)在xx0處的導數(shù)f(x0)就是曲線yf(x)在點(x0，f(x0)處的切線的斜率，即kf(x0)； (2)曲線yf(x)在點(x0，f(x0)處的切線方程為yf(x0)f(x0)(xx0) 已知函數(shù)f(x)x3x. (1)求曲線yf(x)的過點(1，0)的切線方程； (2)若過x軸上的點(a，0)可以作曲線yf(x)的三條切線，求a的取值范圍 解析：(1)由題意得f(x)3x21.曲線yf(x)在點M(t，f(t)處的切線方程為yf(t)f(t)(xt)，即y(3t21)x2t3，將點(1，0)代入切線方程得2t33t210，解得t1或 ，代入y(3t21)x2t3得曲線yf(x)的過點(1，0)的切線方程為y2x2或y x . (2)由(1)知若過點(a，0)可作曲線yf(x)的三條切線，則方程2t33at2a0有三個相異的實根，記g(t)2t33at2a. 則g(t)6t26at6t(ta) 當a0時，函數(shù)g(t)的極大值是g(0)a，極小值是g(a)a3a，要使方程g(t)0有三個相異的實數(shù)根，需使a0且a3a0且a210，即a1； 當a0時，函數(shù)g(t)單調(diào)遞增，方程g(t)0不可能有三個相異的實數(shù)根； 當a0時，函數(shù)g(t)的極大值是g(a)a3a，極小值是g(0)a，要使方程g(t)0有三個相異的實數(shù)根，需使a0，即a0，即a0，那么函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)上單調(diào)遞增；如果f(x)0； 當x(1，)時，h(x)0，所以當x(0，1)時，f(x)0； 當x(1，)時，f(x)0時，yax22x1為開口向上的拋物線，所以ax22x10在(0，)上恒有解； (2)當a0，此時1a0)，g(x)x3bx. (1)若曲線yf(x)與曲線yg(x)在它們的交點(1，c)處具有公共切線，求a，b的值； (2)當a24b時，求函數(shù)f(x)g(x)的單調(diào)區(qū)間，并求其在區(qū)間(，1上的最大值 解析(1)f(x)2ax，g(x)3x2b， 因為曲線yf(x)與曲線yg(x)在它們的交點(1，c)處具有公共切線， 所以f(1)g(1)，且f(1)g(1) 即a11b，且2a3b. 解得a3，b3. 答案：答案：D則當則當0 x2時，時，g(x)3(x6)22160.因此因此g(x)在在(0，2)內(nèi)是遞減函數(shù)內(nèi)是遞減函數(shù) 又由g(0)0，得g(x)0，所以h(x)0. 因此h(x)在(0，2)內(nèi)是遞減函數(shù) 又h(0)0，得h(x)0. 【名師點睛】本題主要考查導數(shù)的應(yīng)用和不等式的證明以及轉(zhuǎn)化與化歸能力，難度較大本題不等式的證明關(guān)鍵在于構(gòu)造函數(shù)利用最值來解決 高考對導數(shù)的應(yīng)用的考查綜合性較強，一般為解答題，著重考查以下幾個方面：一是利用導數(shù)的幾何意義來解題；二是討論函數(shù)的單調(diào)性；三是利用導數(shù)研究函數(shù)的極值與最值常涉及不等式的證明、方程根的討論等問題 因為當0 x1時，f(x)0，此時f(x)單調(diào)遞減， 當1x0，此時f(x)單調(diào)遞增， 所以f(x)的極小值為f(1)1.