20或 2224002.21,3(1)0.8,02,0.2.3.2.1xyxyxyaaAB mxycmcPABP若圓的圓心到直線的距離為，則 的值為已知兩圓相交于兩點，兩圓圓心都在直線上，則的值是 動點 到點的距離是到點的距離的倍，那么點 的軌跡方程為32216xy一224(.111)CxyxyABAOBSSSSABV過圓 ：的圓心，作直線分別交、 正半軸于點 、 ，被圓分成四部分 如圖，若這四部分圖形面積滿足，則直線有條(0)2SSSSSSSSABCSSAB 如圖，由已知，得，第，部分的面積是定值，所以為定值，即為定值，當(dāng)直線繞著圓心 移動時，隨，的增大而增大，所以只可能有一個位置符合題意，即直線只解析：有一條224*132().()5.kCxkykkkN設(shè)有一組圓：下列四個命題： 存在一條定直線與所有的圓均相切； 存在一條定直線與所有的圓均相交； 存在一條定直線與所有的圓均不相交； 所有的圓均不經(jīng)過原點 其中真命題的代號是 寫出所有真命題的代號212322424*1,331310,019210212().kkkyxyxCCCkkkkkkkk N圓心為，半徑為 ，圓心在直線上，所以直線必與所有的圓相交，正確；由、的圖象可知、不正確；若存在圓過原點，則有因為左邊為奇數(shù)，右邊為偶數(shù)，故不存在 使上式成立，即所有圓不過原點解：故填、析直線與圓相切直線與圓相切 【例1】已知E(2,4)，F(xiàn)(4,1)，G(8,9)，EFG的內(nèi)切圓記為 M.(1)試求出 M的方程；(2)設(shè)過點P(0,3)作 M的兩條切線，切點分別記為A，B；又過P作 N：x2y24xy40的兩條切線，切點分別記為C，D.試確定的值，使ABCD. 222221210 0260270.()()(0)210526,345,5275(3)(4)5.EGxyEFxyFGxyMxaybrrabrabrabrabrxye由題意，易得的方程為 ，的方程為 ，的方程為 設(shè)的方程為 ，則有，解得 ， ， 所求方【程為 】解析 2.312,3326.66PMPNPMPNABCDkkPN當(dāng)且僅當(dāng)時，因為故 ，解得 當(dāng) 時， 點在圓 外，故 即為所求的滿足條件的解 為了減少計算量，本題中的三條直線，兩條互相垂直，兩條關(guān)于水平直線對稱因而也可以通過求角平分線的交點而得出圓心事實上，一條水平線為y4，兩條互相垂直直線的角平分線所在直線的斜率為tan(/4 )3(tan2)，直線方程為y3x13，兩直線交于點(3,4)，即為圓心，后利用圓心到任一條直線的距離即就是圓的半徑另外，本題中涉及線性規(guī)劃，幾何概型等考點，但僅是給出它們的背景，不要深入挖掘?qū)⒅R點有機(jī)組合而成的綜合問題，是命題的一種趨勢 【變式練習(xí)1】已知圓x2y22x2y10，點A(2a,0)，B(0,2b)，且a1，b1.(1)若圓與直線AB相切時，求線段AB的中點的軌跡方程；(2)若圓與直線AB相切，且AOB面積最小時，求直線AB的方程及AOB面積的最小值 2222221(1)(1)11,11.1(11)2211|1|2|2211122xyCrxyABababABababababab 圓的方程化為 ，則圓心，半徑 直線所在的直線方程為，因為圓與直線相切，所以【析】解，2222222(2)24()422210.()22210(11)abababababab aba bababABM xyaxbyABxyxyxy所以 ，所以 設(shè)線段的中點坐標(biāo)為， ，則 ， ，代入上式得線段的中點的軌跡方程為 ， 222212242()410(11)2232 2()2222222 0.12232 22ababababababababABxyAOBab因為 ，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng) 時，等號成立所以直線的方程為 面積的最小值為 Vgg直線和圓的方程的綜直線和圓的方程的綜合應(yīng)用合應(yīng)用 【例2】求過直線2x+y+4=0和圓x2+y2+2x-4y+1=0的交點，且滿足下列條件之一的圓的方程(1)過原點；(2)有最小面積 22222212412402(1)(4)(14 )0.1140.43170.24xyxyxyxyxyxyxy 設(shè)所求圓的方程為，即又此圓過原點，所以，故所求圓的方程為【解析】 22222245844(1)()().24555851366()().555xyxy解法一：當(dāng)半徑最小時，圓面積也最小，對方程左邊配方， 得 所以當(dāng)，此圓面積最小， 故滿足條件的圓的方程為222404( (1)2-482(1)4025.2612370.555xylxyxy解法二：當(dāng)圓心在直線上時，圓面積最小，易求得圓心坐標(biāo)為，代入直線方程得，解得所以當(dāng)時，此圓面積最小故滿足條件的圓的方程為 聯(lián)立直線與圓的方程，通過解方程組求出交點坐標(biāo)進(jìn)而求出圓的方程計算繁瑣可以用過直線與圓交點的圓系方程進(jìn)行求解 設(shè)直線l：Ax+By+C=0與圓C：x2+y2+Dx+Ey+F=0相交，則方程x2+y2+Dx+Ey+F+(Ax+By+C)=0表示過直線l與圓C的交點的圓系方程1212(2011)512239,0 xOyCCCMNxCOCA鹽城二模卷 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知曲線 由圓弧和圓弧相接而成，兩相接點、 均在直線上圓弧的圓心是坐標(biāo)原點 ，半徑為；圓弧過點【變式練習(xí) 】 21230314033CCPPAPOlxmyCEFEFOl求圓弧的方程；曲線 上是否存在點 ，滿足？若存在，指出有幾個這樣的點；若不存在，請說明理由；已知直線 ：與曲線 交于 、 兩點，當(dāng)時，求坐標(biāo)原點 到直線 的距離221222222216955,12(512)6217014,029 141514225(5)CxyxMNAMyxyCOCrCxyx（1）圓弧所在圓的方程為，令，解得，則線段中垂線的方程為，令，得圓弧所在圓的圓心為 又圓弧所在圓的半徑為，所以圓弧的方程為解析： 22222222222()302290.229070()16913522900()14225 529P xyPAPOxyxxyxxxyxxyxxxyx 假設(shè)存在這樣的點， ，則由，得由，解得舍去 ；由，解得舍去 ， 21222222222232214,01513141615131418161615.4EFrEFrEFOldlCEFdddddOl 因為，所以 、 兩點分別在兩個圓弧上設(shè)點 到直線 的距離為 ， 因為直線 恒過圓弧所在圓的圓心， 所以， 即，解得， 所以點 到直線 的距離為動圓性質(zhì)的探究動圓性質(zhì)的探究 【例3】已知tR，圓 C：x2y22tx2t2y4t40. (1)若圓C圓心在直線xy20上，求圓C的方程；(2)圓C是否過定點？如果過定點，求出定點的坐標(biāo)；如果不過定點，說明理由【解析】(1)圓C的方程可化為(xt)2(yt2)2t4t24t4，其圓心為(t，t2)，則由題意有t t220，所以t1或t2，故圓C的方程為(x1)2(y1)210或(x2)2(y4)216. 22222222221041220.402,20220044022002,0tCxytCxyxyxyxxyyxyxyxCttyxCyC方法 ：當(dāng) 時，圓 ： ；當(dāng) 時，圓 ： 解方程組解得或?qū)⒋雸A 的方程，左邊 不恒等于 ；將代入圓 的方程，左邊 右邊，故圓 過定點222222(4)(24)(2 )0.402240,.0202,0Cxyxty txyxxyyC方法 ：將圓 的方程整理為 令解得故圓 過定點 動圓過定點問題有兩種解法： 一是先從動圓系中取出兩個已知圓，求出它們的交點坐標(biāo)，再將求得的坐標(biāo)代入動圓中驗證； 二是將動圓方程改寫為關(guān)于參數(shù)t的等式，再利用多項式恒等理論列出關(guān)于x，y的方程組，解得定點坐標(biāo) 【變式練習(xí)3】已知圓C：x2y22x4y40，問是否存在斜率為1的直線l，使l被圓C截得弦AB，以AB為直徑的圓經(jīng)過原點，若存在，寫出直線l的方程；若不存在，請說明理由 22221122121212122402(22)440.()()10.OAOBlyxmxyxyyyxmxmxmmABOAOBA xyB xyyykkx xy yxx假設(shè)存在直線 ： ，由，消去 ，得 因為以為直徑的圓過原點，所以設(shè)，則 ，即【】解析1221221212121221212121221442()()()2()0.34014.1401040.xxmmmx xy yxm xmx xm xxmx xy yx xm xxmmmmmmmlxyxy 由方程，得 ，因為，所以把代入得 ，解得 或 將 和 分別代入方程，檢驗得，所以存在直線 ，方程為 和 1.過點P(0,1)與圓x2y22x30相交的所有直線中，被圓截得的弦最長時的直線方程是_2.已知直線l：xy40與圓C：(x1)2(y1)22，則C上各點到l的距離的最大值與最小值之差為_ xy102 222(3)(5)362,2( 12).5.32xyABCABCCV已知圓 和點、 ， ，若點 在圓上且的面積為 ，則滿足條件的點 的個數(shù)是_31211222212321432014330437064.(3)(5)363.ABCCABABxyABlxylxyCldCldxyllC由的面積為 知，點 到直線的距離為 ，直線的方程為 ，與直線平行且距離為 的直線為 ： 和 ： ，圓心 到直線 的距離為 ，圓心 到直線 的距離為 所以圓 與直線 相切與直線 相交，滿【解析】足條件的點 的個數(shù)是V9223480221.40PxyPAPBxyxyABCPACB 已知 是直線上的動點，、是圓的兩條切線， 、 是切點，是圓心，那么四邊形面積的最小值為22222222()11 .1|1111222.111PACBPACPxyPCxyACPAPCACxySSPAACPAxy 四邊形設(shè) 點坐標(biāo)為 ， ， 則由勾股定理及， 得， 從而解析：V22221,1()1,13480|3 14 18|()9349-12 2.PACBPACBSPACP xyCxydS 四邊形四邊形最小值故欲求的最小值，只需求的最小值，即定點與直線上動點， 的距離的平方的最小值，它也就是點到直線的距離的平方即這個最小值， 所以5.已知圓x2y22x4y30.(1)若圓C的切線在x軸上和y軸上的截距的絕對值相等，求此切線的方程；(2)從圓C外一點P(x，y)向圓引一條切線，切點為M，O是坐標(biāo)原點，且有|PM|PO|，求使|PM|最小的P點坐標(biāo) 222(1)(2)2( 1,2)210|2|2126(26) .xyCrCxyykxkdkkyx圓的方程化為 ，則圓心，半徑當(dāng)圓 的切線在 軸上和 軸上的截距都為 時，設(shè)切線方程為 ，則圓心到直線的距離 所以 ，所以所求切線的方解程為【析】000.| 12|231.21030.| 12|251.21050.(26)10301050.Cxyxyaxybaaxyxyabxyxyyxxyxyxyxy 當(dāng)圓 的切線在 軸上和 軸上的截距都不為 時，設(shè)切線的方程為 或 由，得 或所以切線的方程為 或 又由，得 或所以切線的方程為 或 所以滿足條件的切線的方程為 或 或 或 或 22222222222(1)(2)2243.2430()2430243022 .20(2430PMPCrxyxyxyPOxyPMPOxyP xyl xyPMPOOl xyOPlOPkyxxyPxy依題意， ， 因為，所以 ，即點，在直線 ： 上要使最小，需最小，即原點 到直線 ： 的距離最小此時，所以直線的斜率為 ，方程為 解方程組，得 點的坐標(biāo)為3 3, )10 5 1求圓的方程通常用待定系數(shù)法若所求的圓過已知兩圓的交點或一直線與圓的交點，一般用圓系方程 2如果圓心問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)問題更方便求解，則將圓上的點的坐標(biāo)用參數(shù)式表示，特別是求最值的問題 3有關(guān)直線和圓的位置關(guān)系，一般要由圓心到直線的距離與半徑的大小來確定 4直線與圓所涉及的知識都是平面解析幾何的最基礎(chǔ)的內(nèi)容，并滲透到解析幾何的各個部分，尤其是直線與圓的位置關(guān)系等，構(gòu)成了解析幾何問題的基礎(chǔ)因此，要在這些基礎(chǔ)知識的內(nèi)在的聯(lián)系和基本方法的運(yùn)用、通法的熟練程度上下狠功夫