第二章 第九節(jié) 函數(shù)與方程題組一函數(shù)零點(diǎn)的判定1.若函數(shù)f(x)在區(qū)間2,2上的圖象是連續(xù)不斷的曲線，且函數(shù)f(x)在(2,2)內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn)，則f(2)·f(2)的值 ()A.大于0 B.小于0 C.等于0 D.不能確定解析：若函數(shù)f(x)在(2,2)內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn)，則該零點(diǎn)是變號(hào)零點(diǎn)，則f(2)f(2)<0.若不是變號(hào)零點(diǎn)，則f(2)f(2)>0.答案：D2.設(shè)f(x)3xx2，則在下列區(qū)間中，使函數(shù)f(x)有零點(diǎn)的區(qū)間是 ()A.0,1 B.1,2C.2，1 D.1,0解析：f(1)31(1)21<0，f(0)3001>0，函數(shù)f(x)3xx2在區(qū)間1,0內(nèi)存在零點(diǎn).答案：D3.(2010·蘇北三市聯(lián)考)若方程lnx2x100的解為x0，則不小于x0的小整數(shù)是.解析：令f(x)lnx2x10，則f(5)ln50，f(4)ln4204x05不小于x0的最小整數(shù)是5.答案：5題組二函數(shù)零點(diǎn)的求法4.(2009·福建高考)若函數(shù)f(x)的零點(diǎn)與g(x)4x2x2的零點(diǎn)之差的絕對(duì)值不超過(guò)0.25，則f(x)可以是 ()A.f(x)4x1 B.f(x)(x1)2C.f(x)ex1 D.f(x)ln(x)解析：4個(gè)選項(xiàng)中的零點(diǎn)是確定的.A：x；B：x1；C：x0；D：x.又g(0)402×0210，g()2×210，g(x)4x2x2的零點(diǎn)介于(0，)之間.從而選A.答案：A5.f(x)是定義在R上的以3為周期的偶函數(shù)，且f(2)0，則方程f(x)0在區(qū)間(0,6)內(nèi)解的個(gè)數(shù)的最小值是 ()A.5 B.4 C.3 D.2解析：f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且周期是3，f(2)0，f(2)f(5)f(2)f(1)f(4)0.答案：B6.設(shè)函數(shù)f(x)則函數(shù)F(x)f(x)的零點(diǎn)是.解析：當(dāng)x1時(shí)，f(x)2x22x0，x.當(dāng)x1時(shí)，x22x0，410，x，又x1，x.函數(shù)F(x)f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)和.答案：，題組三函數(shù)零點(diǎn)的應(yīng)用7.若二次函數(shù)yax2bxc中a·c<0，則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是 ()A.1個(gè) B.2個(gè) C.0個(gè) D.不確定解析：cf(0)，aca·f(0)<0.a與f(0)異號(hào)，即函數(shù)必有兩個(gè)零點(diǎn).答案：B8.已知函數(shù)f(x)x|x4|5，則當(dāng)方程f(x)a有三個(gè)根時(shí)，實(shí)數(shù)a的取值范圍是.A.5a1 B.5a1 C.a5 D.a1解析：f(x)x|x4|5在平面直角坐標(biāo)系中畫(huà)出該函數(shù)的圖象(圖略)，可得當(dāng)直線ya與該函數(shù)的圖象有三個(gè)交點(diǎn)時(shí)，a的取值范圍是5<a<1.答案：A9.(2009·山東高考)若函數(shù)f(x)axxa(a0，且a1)有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.解析：函數(shù)f(x)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)就是函數(shù)yax與函數(shù)yxa交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，由函數(shù)的圖象可知a1時(shí)兩函數(shù)圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，0a1時(shí)兩函數(shù)圖象有唯一交點(diǎn)，故a1.答案：(1，)10.已知關(guān)于x的二次函數(shù)f(x)x2(2t1)x12t.(1)求證：對(duì)于任意tR，方程f(x)1必有實(shí)數(shù)根；(2)若t，求證：方程f(x)0在區(qū)間(1,0)及(0，)內(nèi)各有一個(gè)實(shí)數(shù)根.解：(1)證明：由f(1)1知f(x)1必有實(shí)數(shù)根.(2)當(dāng)t時(shí)，因?yàn)閒(1)34t4(t)0，f(0)12t2(t)0，f()(2t1)12tt0，所以方程f(x)0在區(qū)間(1,0)及(0，)內(nèi)各有一個(gè)實(shí)數(shù)根.11.已知a是實(shí)數(shù)，函數(shù)f(x)2ax22x3a，如果函數(shù)yf(x)在區(qū)間1,1上有零點(diǎn)，求a的取值范圍.解：若a0，則f(x)2x3顯然在1,1上沒(méi)有零點(diǎn)，所以a0.令48a(3a)8a224a40，解得a.當(dāng)a時(shí)，yf(x)恰有一個(gè)零點(diǎn)在1,1上；而a時(shí)，經(jīng)檢驗(yàn)不 符合要求.當(dāng)f(1)·f(1)(a1)(a5)0時(shí)，得1a5，因當(dāng)a5時(shí)，方程f(x)0在1,1 上有兩個(gè)相異實(shí)根，故1a5時(shí)，yf(x)在1,1上恰有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)yf(x)在1,1上有兩個(gè)零點(diǎn)時(shí)，則解得a5或a.綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍是a|a1或a.