基本不等式及其應(yīng)用教學(xué)目標(biāo)【知識與能力目標(biāo)】1、掌握兩個基本不等式：（、）、（、為任意正數(shù)），并能用于解決一些簡單問題.2、理解兩個基本不等式相應(yīng)的幾何解釋.初步理解代換的數(shù)學(xué)方法.3、在公式的探求過程中，領(lǐng)悟數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，進(jìn)一步體會事物之間互相聯(lián)系及一定條件下互相 轉(zhuǎn)化等辨證唯物主義觀點.【過程與方法目標(biāo)】1 '掌握兩個基本不等式：（、）、（、為任意正數(shù)），并能用于解決一些簡單問題.2、理解兩個基本不等式相應(yīng)的幾何解釋.初步理解代換的數(shù)學(xué)方法.【情感態(tài)度價值觀目標(biāo)】在公式的探求過程中，領(lǐng)悟數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，進(jìn)一步體會事物之間互相聯(lián)系及一定條件下互相轉(zhuǎn) 化等辨證唯物主義觀點.教學(xué)重難點【教學(xué)重點】兩個基本不等式的知識發(fā)生過程和證明；基本不等式的應(yīng)用.【教學(xué)難點】基本不等式的應(yīng)用教學(xué)過程新課引入基本不等式J及其證明基本不等式1的圖形解釋匚二？圖形引入基本不等式2 I二,基本不等式2的證明=基本不等式的簡單應(yīng)用（探索）二課堂小結(jié)作業(yè)布置（含課外思考）一、新課引入在客觀世界中，有些量的大小關(guān)系是永遠(yuǎn)成立的例如，、（）、三角形任意兩邊之和大于第三邊、三角形任意兩邊之差小于第三邊等等二、新課講授1 '基本不等式1基本不等式1對于任意實數(shù)和，有，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立（1 ） 基本不等式1的證明證明：因為，所以當(dāng)時，.當(dāng)時，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，的等號成立（2） 基本不等式1的幾何解釋解釋1邊長為的正方形面積與邊長為的正方形面積之和大于等于以、為鄰邊長的矩形面積的2倍（當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立）已知正方形，分別在邊、邊上取點、，使得分別過點、作、，垂足為、和交于點由幾何畫板進(jìn)行動態(tài)計算演示，得到陰影部分的面積剩余部分的面積，當(dāng)且僅當(dāng)點移至中點時等號成立解釋2某屆數(shù)學(xué)大會的會徽怎樣的？三國時期趙爽在勾股方圓圖注中對勾股定理的證明可用現(xiàn)代數(shù)學(xué)表述為：如圖所示，以、分別表示勾、股、弦，那么，表示“弦圖”中兩塊“朱實”的面積，表示“中黃 實”的面積.于是，從圖中可明顯看出，四塊“朱實”的面積加上一個“中黃實”的面積就等于以為邊長的 正方形“弦實”的面積，即這就是勾股定理的一般表達(dá)式. .由圖可知：以為邊長的正方形“弦實”的面積四塊“朱實”的面積即，（當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立）2、基本不等式2觀察下面這個幾何圖形.已知半圓，是半圓上任一點，是直徑.過作，垂足為.顯然有線段的長度大于等于垂線段的長度.設(shè)，請用、來表示上述這個不等關(guān)系.（即，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.）基本不等式2對于任意正數(shù)、，有，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.我們把和分別叫做正數(shù)、的算術(shù)平均數(shù)和幾何平均數(shù).因此基本不等式2也可敘述為：兩個正數(shù)的算 術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù).（1 ）基本不等式2的證明證明：因為，所以.當(dāng)時，.當(dāng)時，.所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，的等號成立.另證：因為、為正數(shù)，所以、均存在.由基本不等式1，得，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立即，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立2）基本不等式2的擴(kuò)充對于任意非負(fù)數(shù)、，有，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立例1已知，求證：，并指出等號成立的條件.證 明：因為，所以、同號，并有，.所以，.當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立.說明1、體會代換的方法.2、用語言表述上述結(jié)論.3、思考：若，則代數(shù)式的取值范圍是什么？（，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.）3、兩個基本不等式的簡單應(yīng)用（1 ）幾何問題 例2在周長保持不變的條件下，何時矩形的面積最大？猜想：由幾何畫板電腦演示得出.解：設(shè)矩形的長、寬分別為、（、）且（定值），則同樣周長的正方形的邊長為.矩形面積，正方形面積 由基本不等式2，得，又由不等式的性質(zhì)得，即.由題意，（定值），所以（定值）.當(dāng)且僅當(dāng)，即矩形為正方形時，矩形的面積最大.說明當(dāng)兩個正數(shù)的和為定值時，它們的積有最大值.例如，若時，有，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.（事實上，由（），得，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.）思考題（1 ）通過查閱資料，了解這兩個基本不等式其它的幾何解釋（2）在面積保持不變的條件下，正方形的周長與矩形的周長之間有什么大小關(guān)系？（3）整理一些基本不等式的常用變式并給出證明教學(xué)反思本堂課是基本不等式及其應(yīng)用的第一節(jié)課，在學(xué)生熟練掌握不等式性質(zhì)的前提下，介紹了兩個基本 不等式及其初步應(yīng)用.盡管對于基本不等式而言證明不困難，但它卻是今后學(xué)習(xí)諸如不等式證明、求函數(shù) 最值等時的有力工具，因此牢固掌握這兩個基本不等式是十分重要的.為了避免單純地講授基本不等式.，本堂課借助計算機(jī)軟件，采用以幾何圖形輔助代數(shù)知識講授，由數(shù) 到形，再由形到數(shù)的設(shè)計思路，將兩個基本不等式的證明、解釋及其在應(yīng)用時的注意點穿插其中，并通過 幾何解釋加強(qiáng)對基本不等式的感性認(rèn)識，從而達(dá)到較好的教學(xué)效果.整堂課主要采用“觀察一一猜測一 -歸納一一證明”的探索流程，讓學(xué)生通過觀察兩式的大小關(guān)系、幾何圖形中線段的長度來猜測相應(yīng)的 結(jié)論，最后再由討論、歸納得出兩個基本不等式.在教學(xué)過程中始終“關(guān)注學(xué)生的思維發(fā)展” .例如，將教科書上例1的證明題改成了一道探索題，通 過對有關(guān)過程的設(shè)計，進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生自行探索、解決問題的能力.此外，為了培養(yǎng)學(xué)生“觀察一一猜測” 的能力，借用了幾何畫板的有關(guān)功能，幫助學(xué)生進(jìn)行有關(guān)的猜想與驗證，使學(xué)生始終處于自我發(fā)現(xiàn)、自我探 索的過程中.通過整堂課的教學(xué)，不僅要求學(xué)生對有關(guān)知識點的掌握，此外還對應(yīng)初步理解代換的數(shù)學(xué)方法有一定要求，并在公式的探求過程中，繼續(xù)領(lǐng)悟數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想.