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1、 第26講 圓的相關計算 考綱要求 命題趨勢 1．會計算圓的弧長和扇形的面積． 2．會計算圓柱和圓錐的側面積和全面積． 3．了解正多邊形的概念及正多邊形與圓的關系. 能使用弧長公式、扇形面積公式實行相關的計算，會借助分割與轉化的方法探求陰影部分的面積是中考的熱點，利用圓的面積公式、周長公式、弧長公式、扇形的面積公式求圓錐的側面積和全面積是中考考查的重點，常以選擇題、填空題的形式出現(xiàn). 知識梳理 一、弧長、扇形面積的計算 1．如果弧長為l，圓心角的度數(shù)為n°，圓的半徑為r，那么弧長的計算公式為l＝__________. 2．由組成圓心角的兩條半徑和圓心角所對弧圍

2、成的圖形叫做扇形．若扇形的圓心角為n°，所在圓半徑為r，弧長為l，面積為S，則S＝__________或S＝lr；扇形的周長＝2r＋l. 二、圓柱和圓錐 1．圓柱的側面展開圖是__________，這個矩形的長等于圓柱的底面圓的__________，寬等于圓柱的__________．如果圓柱的底面半徑是r，則S側＝2πrh，S全＝2πr2＋2πrh. 2．圓錐的軸截面為由母線、底面直徑組成的等腰三角形．圓錐的側面展開圖是一個__________，扇形的弧長等于圓錐的底面圓的__________，扇形的半徑等于圓錐的__________．所以圓錐的側面積：S側＝l·2πr＝πrl(l為母線

3、長，r為底面圓半徑)；圓錐的全面積：S全＝S側＋S底＝πrl＋πr2. 三、正多邊形和圓 1．正多邊形：各邊__________、各角__________的多邊形叫做正多邊形． 2．多邊形的外接圓：經(jīng)過多邊形__________的圓叫做多邊形的外接圓，這個多邊形叫做圓的內接多邊形． 3．正多邊形的__________的圓心叫做正多邊形的中心，__________的半徑叫做正多邊形的半徑． 4．中心到正多邊形的一邊的__________叫做正多邊形的邊心距． 5．正多邊形每一邊所對的__________的圓心角叫做正多邊形的中心角，正n邊形的每個中心角都等于__________．

4、溫馨提示 (1)正多邊形的各邊、各角都相等． (2)正多邊形都是軸對稱圖形，一個正n邊形共有n條對稱軸，每條對稱軸都通過正n邊形的中心． (3)邊數(shù)為偶數(shù)的正多邊形是中心對稱圖形，它的中心是對稱中心． (4)邊數(shù)相同的正多邊形相似．它們周長的比，邊心距的比，半徑的比都等于相似比，面積的比等于相似比的平方． 四、不規(guī)則圖形面積的計算 求與圓相關的不規(guī)則圖形的面積時，最基本的思想就是轉化思想，即把所求的不規(guī)則的圖形的面積轉化為規(guī)則圖形的面積．常用的方法有： 1．直接用公式求解． 2．將所求面積分割后，利用規(guī)則圖形的面積相互加減求解． 3．將陰影中某些圖形等積變形后移位，重組成規(guī)則圖

5、形求解． 4．將所求面積分割后，利用旋轉將部分陰影圖形移位后，組成規(guī)則圖形求解． 5．將陰影圖形看成是一些基本圖形覆蓋而成的重疊部分，用整體和差法求解． 自主測試 1．已知圓柱的底面半徑為2 cm，高為5 cm，則圓柱的側面積是( ) A．20 cm2 B．20π cm2 C．10π cm2 D．5π cm2 2．如圖，一個圓錐的側面展開圖是半徑為1的半圓，則該圓錐的底面半徑是( ) A．1 B． C． D． 3．已知扇形的圓心角為150°，它所對應的弧長為20π cm，則此扇形的半徑是__________cm，

6、面積是__________cm2.(結果保留π) 4．如圖，已知AB是⊙O的直徑，CD⊥AB，垂足為E，∠AOC＝60°，OC＝2. (1)求OE和CD的長； (2)求圖中陰影部分的面積． 考點一、弧長、扇形的面積 【例1】如圖，在△ABC中，∠B＝90°，∠A＝30°，AC＝4 cm，將△ABC繞頂點C順時針方向旋轉至△A′B′C′的位置，且A，C，B′三點在同一條直線上，則點A所經(jīng)過的最短路線的長為( ) A．4cm B．8 cm C．π cm D．π cm 解析：點A所經(jīng)過的最短路線是以點C為圓心、CA為半徑的一段弧線，使用弧長公

7、式計算求解．求解過程如下： ∵∠B＝90°，∠A＝30°，A，C，B′三點在同一條直線上， ∴∠ACA′＝120°.又AC＝4， ∴的長l＝＝π(cm)．故選D. 答案：D 方法總結 當已知半徑r和圓心角的度數(shù)求扇形面積時，應選用S扇＝，當已知半徑r和弧長求扇形的面積時，應選用公式S扇＝lr，當已知半徑r和圓心角的度數(shù)求弧長時，應選用公式l＝. 觸類旁通1 如圖，一扇形紙扇完全打開后，外側兩根竹條AB和AC的夾角為120°，AB長為9，貼紙部分的寬BD為6，則貼紙部分面積(貼紙部分為兩面)是(　　) A．24π B．36π C．48π D．72

8、π 考點二、圓柱和圓錐 【例2】一圓錐的側面展開圖是半徑為2的半圓，則該圓錐的全面積是(　　) A．5π B．4π C．3π D．2π 解析：側面積是：×π×22＝2π.底面的周長是2π.則底面圓半徑是1，面積是π.則該圓錐的全面積是：2π＋π＝3π.故選C. 答案：C 方法總結 圓錐的側面展開圖是扇形，半圓的面積就是圓錐的側面積，根據(jù)半圓的弧長等于圓錐底面圓的周長，即可求得圓錐底面圓的半徑，進而求得面積和全面積，正確理解圓錐的底面的周長等于展開圖中扇形的弧長是解題的關鍵． 觸類旁通2 如圖，把一個半徑為12 cm的圓形硬紙片等分成三個扇形，用其中一

9、個扇形制作成一個圓錐形紙筒的側面(銜接處無縫隙且不重疊)，則圓錐底面半徑是______cm. 考點三、陰影面積的計算 【例3】如圖，AB是⊙O的直徑，弦DE垂直平分半徑OA，C為垂足，弦DF與半徑OB相交于點P，連接EF，EO，若DE＝2，∠DPA＝45°. (1)求⊙O的半徑； (2)求圖中陰影部分的面積． 解：(1)∵直徑AB⊥DE，∴CE＝DE＝. ∵DE平分AO，∴CO＝AO＝OE. 又∵∠OCE＝90°，∴∠CEO＝30°.在Rt△COE中，OE＝＝＝2.∴⊙O的半徑為2. (2)連接OF，如圖所示． 在Rt△DCP中，∵∠DPC＝45°， ∴∠D＝9

10、0°－45°＝45°. ∴∠EOF＝2∠D＝90°. ∵S扇形OEF＝×π×22＝π，S△OEF＝×OE×OF＝×2×2＝2. ∴S陰影＝S扇形OEF－S△OEF＝π－2. 方法總結 陰影面積的計算方法很多，靈活性強，常采用轉化的數(shù)學思想： (1)將所求面積分割后，利用規(guī)則圖形的面積相互加減求解． (2)將陰影中某些圖形等積變形后移位，重組成規(guī)則圖形求解． (3)將所求面積分割后，利用旋轉將部分陰影圖形移位后，組成規(guī)則圖形求解． (4)將陰影圖形看成是一些基本圖形覆蓋而成的重疊部分，用整體和差法求解． 1．(2012浙江舟山)已知一個圓錐的底面半徑為3 cm，母線長為1

11、0 cm，則這個圓錐的側面積為(　　) A．15π cm2 B．30π cm2 C．60π cm2 D．3cm2 2．(2012浙江衢州)用圓心角為120°，半徑為6 cm的扇形紙片卷成一個圓錐形無底紙帽(如圖所示)，則這個紙帽的高是(　　) A．cm B．3cm C．4cm D．4 cm 3．(2012四川南充)一個圓錐的側面積是底面積的2倍，則圓錐側面展開圖的扇形的圓心角是(　　) A．120° B．180° C．240° D．300° 4．(2012山東臨沂)如圖，AB是⊙O的直徑

12、，點E為BC的中點，AB＝4，∠BED＝120°，則圖中陰影部分的面積之和為(　　) (第4題圖) A．1 B． C． D．2 5．(2012四川成都)一個幾何體由圓錐和圓柱組成，其尺寸如圖所示，則該幾何體的全面積(即表面積)為__________．(結果保留π) (第5題圖) 6．(2012湖南長沙)在半徑為1 cm的圓中，圓心角為120°的扇形的弧長是__________cm. 7．(2012四川樂山)如圖，△ABC內接于⊙O，直徑BD交AC于E，過O作FG⊥AB，交AC于F，交AB于H，交⊙O于G. (第7題圖) (1)求證：OF

13、·DE＝OE·2OH； (2)若⊙O的半徑為12，且OE:OF:OD＝2:3:6，求陰影部分的面積．(結果保留根號) 1．如圖，⊙O半徑是1，A，B，C是圓周上的三點，∠BAC＝36°，則劣弧的長為(　　) A． B． C． D． 2．已知圓錐底面圓的半徑為6 cm，高為8 cm，則圓錐的側面積為(　　)． A．48 cm2 B．48π cm2 C．120π cm2 D．60π cm2 3．如圖，圓柱的底面周長為6 cm，AC是底面圓的直徑，高BC＝6 cm，點P是母線BC上一點且PC＝BC.一只螞蟻從A點出發(fā)沿著圓

14、柱體的表面爬行到點P的最短距離是(　　) A．cm B．5 cm C．3 cm D．7 cm 4．如圖，如果從半徑為9 cm的圓形紙片剪去圓周的一個扇形，將留下的扇形圍成一個圓錐(接縫處不重疊)，那么這個圓錐的高為(　　) A．6 cm B．3cm C．8 cm D．5cm 5．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CA＝CB＝4，分別以A，B，C為圓心，以AC為半徑畫弧，三條弧與邊AB所圍成的陰影部分的面積是__________． 6．如圖，⊙A，⊙B，⊙C兩兩不相交，且半徑都是2 cm，則圖中三個扇形(即陰影部分

15、)面積之和是__________ cm2. (第6題圖) 7．如圖，AB為半圓O的直徑，C，D，E，F(xiàn)是的五等分點，P是AB上的任意一點．若AB＝4，則圖中陰影部分的面積為__________． (第7題圖) 8．如圖，AB是⊙O的直徑，弦BC＝5，∠BOC＝50°，OE⊥AC，垂足為E. (1)求OE的長； (2)求劣弧AC的長(結果精確到0.1)． 參考答案 導學必備知識 自主測試 1．B　2．C　3．24　240π 4．解：(1)在△OCE中， ∵∠CEO＝90°，∠EOC＝60°，OC＝2， ∴OE＝OC＝1，∴CE＝OC＝， ∵OA⊥CD，∴C

16、E＝DE，∴CD＝2. (2)∵S△ABC＝AB·CE＝×4×＝2， ∴S陰影＝π×22－2＝2π－2. 探究考點方法 觸類旁通1．C　S＝×2＝×2＝48π. 觸類旁通2．4　因為扇形的弧長為×2×12π＝8π，即底面周長為8π，則底面半徑為＝4(cm)． 品鑒經(jīng)典考題 1．B　因為底面半徑為3 cm，則周長為6π cm， 所以圓錐的側面積為6π×10÷2＝30π(cm2)． 2．C　由題意知l＝＝4π(cm)， 圓錐的底面半徑為4π÷2π＝2(cm)， ∴這個圓錐形紙帽的高為＝4(cm)． 故選C. 3．B　設圓錐的底面半徑為r，母線為R，圓錐側面展開圖的扇形的圓

17、心角為n，則扇形的面積為×2πr×R＝πrR.由題意得πrR＝2πr2，nπR2÷360＝πrR，則R＝2r， 所以n＝180°. 4．C　如圖，連接AE. ∵AB是直徑，∴∠AEB＝90°. 又∵∠BED＝120°，∴∠AED＝30°， ∴∠AOD＝2∠AED＝60°. ∵OA＝OD，∴△AOD是等邊三角形，∴∠OAD＝60°. ∵點E為BC的中點，∠AEC＝90°， ∴AB＝AC，∴△ABC是等邊三角形． 由△AOD，△ABC是等邊三角形知△DEC，△BOE，△DOE也是等邊三角形， ∴和弦BE圍成的部分的面積＝和弦DE圍成的部分的面積， ∴陰影部分的面積＝S△E

18、DC＝×2×＝.故選C. 5．68π　圓錐的母線長是＝5， 圓錐的側面積是×8π×5＝20π， 圓柱的側面積是8π×4＝32π， 幾何體的下底面面積是π×42＝16π， 則該幾何體的全面積(即表面積)為20π＋32π＋16π＝68π. 故答案是68π. 6．π　扇形的弧長l＝＝π(cm)． 7．(1)證明：∵BD是直徑，∴∠DAB＝90°. ∵FG⊥AB，∴DA∥FO， ∴∠EOF＝∠EDA，∠EFO＝∠EAD， ∴△FOE∽△ADE， ∴＝，即OF·DE＝OE·AD. ∵O是BD的中點，DA∥OH，∴AD＝2OH， ∴OF·DE＝OE·2OH. (2)解：∵⊙O

19、的半徑為12，且OE:OF:OD＝2:3:6， ∴OE＝4，ED＝8，OF＝6， 代入(1)結論得OH＝6，AD＝12. 在Rt△OBH中，OB＝2OH，∴∠BOH＝60°， ∴BH＝BO·sin 60°＝12×＝6， ∴S陰影＝S扇形GOB－S△OHB＝－×6×6＝24π－18. 研習預測試題 1．B　2．D　3．B 4．B　留下的扇形的弧長為×2×π×9＝12π， 所以圍成一個圓錐的底面圓的周長為12π. 則底面圓的半徑為12π＝2πr，所以r＝6. 而圓錐的母線長為9， 所以由勾股定理，得到圓錐的高為＝3(cm)． 5．8－2π　6.2π　7．π 8．解：(1)∵OE⊥AC，垂足為E，∴AE＝EC. ∵AO＝BO，∴OE＝BC＝2.5. (2)∠A＝∠BOC＝25°， 在Rt△AOE中，sin A＝，∴OA＝. ∵∠AOC＝180°－50°＝130°， ∴劣弧AC的長＝≈13.4.