第十章概率（文）第十章概率（文）第九節(jié)離散型隨機變量的均值與方差第九節(jié)離散型隨機變量的均值與方差考綱要求考情分析1.理解取有限個值的離散型隨機變量均值、方差的概念2.能計算簡單離散型隨機變量的均值、方差，并能解決一些實際問題1.從考查內容看，本節(jié)是高考每年的必考內容，主要考查隨機變量的均值、方差及其應用，且常與排列組合、互斥事件的概率、獨立事件的概率、n次獨立重復試驗結合在一起命題，另外，在近幾年的高考中，還出現(xiàn)了均值、方差與函數(shù)、不等式結合的題目2.從考查形式看，主要以解答題為主，屬中等題.一、離散型隨機變量的均值與方差若離散型隨機變量X的分布列為：Xx1x2xixnPp1p2pipnx1p1x2p2xipixnpn 數(shù)學期望 平均水平 平均偏離程度 隨機變量的均值、方差與樣本均值、方差的關系是怎樣的？提示：隨機變量的均值、方差是一個常數(shù)，樣本均值、方差是一個隨機變量，隨觀測次數(shù)的增加或樣本容量的增加，樣本均值、方差趨于隨機變量的均值與方差二、兩點分布與二項分布的均值、方差1若X服從兩點分布，則E(X) ，D(X) 2若XB(n，p)，則E(X) ，D(X) 三、均值與方差的性質1E(C)C(C為常數(shù))2E(aXb).3D(aXb)(a，b為常數(shù))pp(1p)npnp(1p)aE(X)ba2D(X)1隨機變量X的分布列如下圖，則X的數(shù)學期望是()A.2.0 B2.1C2.2D隨m的變化而變化X123P0.20.5m解析：由題知：0.20.5m1，m0.3，E(X)10.220.530.32.1.答案：B2已知隨機變量的分布列為：答案：A答案：B4. 某保險公司新開設了一項保險業(yè)務，若在一年內事件E發(fā)生，該公司要賠償a元，設一年內事件E發(fā)生的概率為p，為使公司收益的期望值等于a的10%.公司應要求投保人交的保險金為_元解析：設要求投保人交x元，公司的收益額作為隨機變量，則P(x)1p，P(xa)p.E()x(1p)(xa)pxap.xap0.1a，x(0.1p)a答案：(0.1p)a5有10件產品，其中3件是次品，從中任取兩件，若X表示取到次品的個數(shù)，則E(X)等于_【考向探尋】1根據(jù)分布列求離散型隨機變量的期望與方差2求二項分布的期望與方差【典例剖析】(2012湖北高考)根據(jù)以往的經驗，某工程施工期間的降水量X(單位：mm)對工期的影響如下表：降水量XX300300X700 700X900X900工期延誤天數(shù)Y02610歷年氣象資料表明，該工程施工期間降水量X小于300,700,900的概率分別為0.3,0.7,0.9.求：(1)工期延誤天數(shù)Y的均值與方差；(2)在降水量X至少是300的條件下，工期延誤不超過6天的概率(1)根據(jù)互斥事件求得相應概率，得分布列，利用公式求均值與方差；(2)根據(jù)條件概率求解解：(1)由已知條件和概率的加法公式有：P(X300)0.3，P(300X700)P(X700)P(X300)0.70.30.4，P(700X900)P(X900)P(X700)0.90.70.2，P(X900)1P(X900)10.90.1.所以Y的分布列為：Y02610P0.30.40.20.1故E(Y)00.320.460.2100.13；D(Y)(03)20.3(23)20.4(63)20.2(103)20.19.8.故工期延誤天數(shù)Y的均值為3，方差為9.8.求數(shù)學期望和方差主要有兩類：(1)若隨機變量服從兩點分布，則E(X)p，D(X)p(1p)；若XB(n，p)，則E(X)np，D(X)np(1p)(2)若隨機變量X是一般的離散型隨機變量，則應先求分布列，然后由數(shù)學期望和方差的定義計算(1)均值(數(shù)學期望)反映的是隨機變量取值的平均水平，均值是算術平均值概念的推廣，是概率意義下的平均(2)E(X)是一個實數(shù)，即X作為隨機變量是可變的，而E(X)是不變的【考向探尋】利用期望與方差解決實際問題【典例剖析】(2012新課標全國高考)某花店每天以每枝5元的價格從農場購進若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的價格出售，如果當天賣不完，剩下的玫瑰花作垃圾處理(1)若花店一天購進16枝玫瑰花，求當天的利潤y(單位：元)關于當天需求量n(單位：枝，nN)的函數(shù)解析式(2)花店記錄了100天玫瑰花的日需求量(單位：枝)，整理得下表：以100天記錄的各需求量的頻率作為各需求量發(fā)生的概率若花店一天購進16枝玫瑰花，X表示當天的利潤(單位：元)，求X的分布列、數(shù)學期望及方差若花店計劃一天購進16枝或17枝玫瑰花，你認為應購進16枝還是17枝？請說明理由日需求量n14151617181920頻數(shù)10201616151310X607080P0.10.20.7所以E(X)600.1700.2800.776.D(X)(6076)20.1(7076)20.2(8076)20.744.答案一：花店一天應購進16枝玫瑰花理由如下：若花店一天購進17枝玫瑰花，Y表示當天的利潤(單位：元)那么Y的分布列為：Y55657585P0.10.20.160.54所以E(Y)550.1650.2750.16850.5476.4.D(Y)(5576.4)20.1(6576.4)20.2(7576.4)20.16(8576.4)20.54112.04.由以上的計算結果可以看出，D(X)D(Y)，即購進16枝玫瑰花時利潤波動相對較小另外，雖然E(X)E(Y)，但兩者相差不大，故花店一天應購進16枚玫瑰花答案二：花店一天應購進17枝玫瑰花，理由如下：若花店一天購進17枝玫瑰花，Y表示當天的利潤(單位：元)，那么Y的分布列為所以E(Y)550.1650.2750.16850.5476.4由以上的計算結果可以看出，E(X)2)0.5；X1對應第一個顧客辦理業(yè)務所需的時間為1分鐘且第二個顧客辦理業(yè)務所需的時間超過1分鐘，或第一個顧客辦理業(yè)務所需的時間為2分鐘，所以P(X1)P(Y1)P(Y1)P(Y2)0.10.90.40.49；X2對應兩個顧客辦理業(yè)務所需的時間均為1分鐘，所以P(X2)P(Y1)P(Y1)0.10.10.01. 9分所以X的分布列為X012P0.50.490.0110分E(X)00.510.4920.010.51. 12分方法二：X的所有可能取值為0,1,2. 6分X0對應第一個顧客辦理業(yè)務所需的時間超過2分鐘，所以P(X0)P(Y2)0.5； X2對應兩個顧客辦理業(yè)務所需的時間均為1分鐘，所以P(X2)P(Y1)P(Y1)0.10.10.01；P(X1)1P(X0)P(X2)0.49.所以X的分布列為9分X012P0.50.490.0110分E(X)00.510.4920.010.51. 12分求離散型隨機變量的均值和方差問題的一般步驟第一步：確定隨機變量的所有可能值第二步：求每一個可能值所對應的概率第三步：列出離散型隨機變量的分布列第四步：求均值和方差