第二十五講 選 擇 題 的 解 法 一、題型特點(diǎn)： 1高考數(shù)學(xué)試題中，選擇題注重多個(gè)知識(shí)點(diǎn)的小型綜合，滲透各種數(shù)學(xué)思想和方法，體現(xiàn)以考查“三基”為重點(diǎn)的導(dǎo)向，能否在選擇題上獲取高分，對(duì)高考數(shù)學(xué)成績(jī)影響重大.解答選擇題的基本要求是四個(gè)字準(zhǔn)確、迅速. 2選擇題主要考查基礎(chǔ)知識(shí)的理解、基本技能的熟練、基本計(jì)算的準(zhǔn)確、基本方法的運(yùn)用、考慮問(wèn)題的嚴(yán)謹(jǐn)、解題速度的快捷等方面. 解答選擇題的基本策略是：要充分利用題設(shè)和選擇支兩方面提供的信息作出判斷。一般說(shuō)來(lái)，能定性判斷的，就不再使用復(fù)雜的定量計(jì)算；能使用特殊值判斷的，就不必采用常規(guī)解法；能使用間接法解的，就不必采用直接解；對(duì)于明顯可以否定的選擇應(yīng)及早排除，以縮小選擇的范圍；對(duì)于具有多種解題思路的，宜選最簡(jiǎn)解法等。解題時(shí)應(yīng)仔細(xì)審題、深入分析、正確推演、謹(jǐn)防疏漏；初選后認(rèn)真檢驗(yàn)，確保準(zhǔn)確。 3解數(shù)學(xué)選擇題的常用方法，主要分直接法和間接法兩大類.直接法是解答選擇題最基本、最常用的方法；但高考的題量較大，如果所有選擇題都用直接法解答，不但時(shí)間不允許，甚至有些題目根本無(wú)法解答.因此，我們還要掌握一些特殊的解答選擇題的方法.二、例題解析1.直接求解法 涉及數(shù)學(xué)定義、定理、法則、公式的應(yīng)用的問(wèn)題，常通過(guò)直接演算得出結(jié)果，與選擇支進(jìn)行比照，作出選擇，稱之直接求解法例1、 圓x22xy24y30上到直線xy10的距離為的點(diǎn)共有（ ）.1個(gè) .2個(gè) .3個(gè) .4個(gè)解 :本題的關(guān)鍵是確定已知直線與圓的相對(duì)位置,這就需對(duì)圓心到直線的距離作定量分析將圓的方程化為(x1)2(y2)2(2)2, r2. 圓心(1，2)到直線xy10的距離d,恰為半徑的一半故選例2、設(shè)F1、F2為雙曲線y21的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)P在雙曲線上滿足F1PF290o，則F1PF2的面積是（ ）.1 ./2 .2 .解 |PF1|PF2|±2a±4， |PF1|2|PF2|22|PF1|·|PF2|16， F1PF290o， |PF1|·|PF2|(|PF1|2|PF2|216).又 |PF1|2|PF2|2(2c)220. 1，選例3、 橢圓mx2ny21與直線xy1交于A、B兩點(diǎn)，過(guò)AB中點(diǎn)M與原點(diǎn)的直線斜率為，則的值為（ ）. . .1 .分析:命題：“若斜率為k(k0)的直線與橢圓1（或雙曲線1）相交于A、B的中點(diǎn)，則k·kOM(或k·kOM)，”（證明留給讀者）在處理有關(guān)圓錐曲線的中點(diǎn)弦問(wèn)題中有著廣泛的應(yīng)用運(yùn)用這一結(jié)論，不難得到：解 kAB·kOM, kAB·kOM1·，故選2.直接判斷法 涉及有關(guān)數(shù)學(xué)概念的判斷題，需依據(jù)對(duì)概念的全面、正確、深刻的理解而作出判斷和選擇例1、甲：“一個(gè)二面角的兩個(gè)半平面分別垂直于另一個(gè)二面角的兩個(gè)半平面”，乙：“兩個(gè)二面角相等或互補(bǔ)”則甲是乙的（ ）.充分而非必要條件 .必要而非充分條件.充要條件 .既非充分又非要條件分析 顯然“乙Þ甲”不成立，因而本題關(guān)鍵是判斷“甲Þ乙”是否成立？由反例：正方體中，二面角A1ABC與B1DD1A滿足條件甲(圖311)，但它們的度數(shù)分別為90o和45o，并不滿足乙，故應(yīng)選例2、下列四個(gè)函數(shù)中，既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)的是（ ）.f(x)xlg .f(x)(x1).f(x) .f(x)解 由于選擇支給出的函數(shù)的定義域?yàn)?，1，該定義區(qū)間關(guān)于原點(diǎn)不對(duì)稱，故選3、特殊化法（即特例判斷法）例1如右下圖,定圓半徑為a，圓心為 ( b ,c ), 則直線ax+by+c=0與直線 xy+1=0的交點(diǎn)在( B ) A. 第四象限 B. 第三象限 C. 第二象限 D. 第一象限 提示：取滿足題設(shè)的特殊值a=2，b=3，c=1 解方程 得 于是排除A、C、D，故應(yīng)選B例2函數(shù)f(x)=Msin() ()在區(qū)間a，b上是增函數(shù)，且f(a)=M， f(b)=M，則函數(shù)g(x)=Mcos()在a，b上（ C ） A是增函數(shù) B是減函數(shù) C可以取得最大值M D可以取得最小值M解：取特殊值。令=0，則 因，則，這時(shí), 顯然應(yīng)選C例3已知等差數(shù)列an的前m項(xiàng)和為30，前2m項(xiàng)和為100，則它的前3m項(xiàng)和為（ C ） A130 B170 C210 D260解：特殊化法。令m=1，則a1=S1=30，又a1+a2=S2=100 a2=70, 等差數(shù)列的公差d=a2a1=40，于是a3=a2+d=110, 故應(yīng)選C例4已知實(shí)數(shù)a，b均不為零，且，則等于（ B ） A B C D提示：特殊化法。取，則 故應(yīng)選B4、排除法（篩選法）例1設(shè)函數(shù)，若f(x0)>1，則x0的取值范圍是（ D ） A(1,1) B(1,+) C(,2)(0,+) D(,1)(1,+)例2已知是第三象限角，|cos|=m，且，則等于（ D ） A B C D例3已知二次函數(shù)f(x)=x2+2(p2)x+p，若f(x)在區(qū)間0，1內(nèi)至少存在一個(gè)實(shí)數(shù)c，使f( c)>0， 則實(shí)數(shù)p的取值范圍是（ C ） A（1，4） B（1，+） C（0，+） D（0，1）點(diǎn)評(píng)：排除法，是從選擇支入手，根據(jù)題設(shè)條件與各選擇支的關(guān)系，逐個(gè)淘汰與題設(shè)矛盾的選擇支，從而篩選出正確答案。5、數(shù)形結(jié)合法（圖象法） 根據(jù)題目特點(diǎn)，畫(huà)出圖象，得出結(jié)論。例1對(duì)于任意xR，函數(shù)f(x)表示x+3，x24x+3中的較大者，則f(x)的最小值是（ A ） A2 B3 C8 D1例2已知向量，向量，向量，則向量與向量的夾角的取值范圍是（ D ） A0， B， C， D，例3已知方程|x2n|=k(nN*)在區(qū)間2n1，2n+1上有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是（ B ） Ak>0 B0<k Ck D以上都不是6、代入檢驗(yàn)法（驗(yàn)證法）將選擇支中給出的答案（尤其關(guān)注分界點(diǎn)），代入題干逐一檢驗(yàn)，從而確定正確答案的方法為驗(yàn)證法。例1已知a，b是任意實(shí)數(shù)，記|a+b|，|ab|，|b1|中的最大值為M，則（D ） AM0 B0M CM1 DM解：把M=0代入，排除A、B；再把M=代入檢驗(yàn)滿足條件，排除C。例2已知二次函數(shù)，若在區(qū)間0，1內(nèi)至少存在一個(gè)實(shí)數(shù)c，使，則實(shí)數(shù)p的取值范圍是（ C ） A（1，4） B（1，+） C（0，+） D（0，1）解：取p=1代入檢驗(yàn)。例3(2004廣東)變量x，y滿足下列條件： 則使得z=3x+2y的值的最小的(x，y)是（ B ） A（4.5，3） B（3，6） C（9，2） D（6，4）解：一一代入檢驗(yàn)。代入運(yùn)算后比較大小。7、推理分析法通過(guò)對(duì)四個(gè)選擇支之間的邏輯關(guān)系的分析，達(dá)到否定謬誤支，肯定正確支的方法，稱之為邏輯分析法，例如：若“(A)真 Þ (B)真”，則(A)必假，否則將與“只有一個(gè)選擇支正確”的前提相矛盾例1 當(dāng)xÎ4，0時(shí)，ax1恒成立，則a的一個(gè)可能值是（ ）.5 . . .5解 0， (A)真Þ(B)真Þ(C)真Þ(D)真， (D)真.例3、已知sinq ,cosq （q p）,則tg( ). .| . .5解 因受條件sin2q cos2q 1的制約，故m為一確定值，于是sinq 、cosq 的值應(yīng)與m無(wú)關(guān)，進(jìn)而推知tg的值與m無(wú)關(guān)， q p， Î(，)， tg1，故選()注:直接運(yùn)用半角公式求tg，將會(huì)錯(cuò)選()若直接計(jì)算，由()2()21，可得m0或m8， q p， sinq 0，cosq 0，故應(yīng)舍去m0，取m8，得sinq ，cosq ,再由半角公式求出tg5,也不如上述解法簡(jiǎn)捷. 三、練習(xí)1已知點(diǎn)P（sin-cos,tan）在第一象限，則在內(nèi)的取值范圍為（ B ）A B C D 2一個(gè)直角三角形的三內(nèi)角成等比數(shù)列，則其最小內(nèi)角為（ B ）A B C D3若，則（ B ）A B C D 4函數(shù)的反函數(shù)為（ B ）A B C D 5已知函數(shù)在0，1上是x的減函數(shù)，則a的取值范圍為（ B ）A （0，1） B （1，2） C （0，2） D 6（07天津）設(shè)均為正數(shù)，且，則（A）7設(shè)f(x)是定義在實(shí)數(shù)集R上的任意一個(gè)增函數(shù)，且F（x）=f(x)-f(-x),那么F（x）應(yīng)為（ A ）A 增函數(shù)且是奇函數(shù) B增函數(shù)且是偶函數(shù)C 減函數(shù)且是奇函數(shù) D減函數(shù)且是偶函數(shù)解: 取f(x)=x，知F（x）=x-(-x)=2x，故選A。8定義在上的奇函數(shù)為增函數(shù)，偶函數(shù)在區(qū)間的圖象與的圖象重合，設(shè)，給出下列不等式：1）f(b)-f(-a)>g(a)-g(-b) 2) f(b)-f(-a)<g(a)-g(-b)3) f(a)-f(-b)>g(b)-g(-a) 4) f(a)-f(-b)<g(b)-g(-a)其中成立的是（ C ）A 1）與2） B 2）與3） C 1）與3） D 2）與4）9若，則的值為（ D ）A B C D 10將直線3x-y+2=0繞原點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)900，得到的直線方程為（ A ）A x+3y+2=0 B x+3y-2=0 C x-3y+2=0 D x-3y-2=011已知集合A=，B，C的則A、B、C的關(guān)系是（ C ）. A. B. C. D. 12集合，1，1，2，其中1，2，9且，把滿足上述條件的一對(duì)有序整數(shù)（）作為一個(gè)點(diǎn)，這樣的點(diǎn)的個(gè)數(shù)是(B) （A）9 （B）14 （C）15 （D）2113已知函數(shù)，R，且，則的值(B) （A）一定大于零 （B）一定小于零 （C）等于零 （D）正負(fù)都有可能14已知1是與的等比中項(xiàng)，又是與的等差中項(xiàng)，則的值是 (D) （A）1或 （B）1或 （C）1或 （D）1或15平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知兩點(diǎn)（2，1），（1，3），若點(diǎn)滿足其中01，且，則點(diǎn)的軌跡方程為(C) （A） （B） （C）（12） （D）（12）16已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)在上為減函數(shù)，且函數(shù)為偶函數(shù)，則（ D ）17下列各圖是正方體或正四面體，P，Q，R，S分別是所在棱的中點(diǎn)，這四個(gè)點(diǎn)中不共面的一個(gè)圖是(D) （A） （B） （C） （D）18如圖所示，單位圓中弧AB的長(zhǎng)為x,f(x)表示弧AB與弦AB所圍成的弓形面積的倍，則函數(shù)y=f(x)的圖象是 ( D ) 19為確保信息安全，信息需加密傳輸，發(fā)送方由明文密文（加密），接收方由密文明文（解密），已知加密規(guī)則為：明文對(duì)應(yīng)密文例如，明文對(duì)應(yīng)密文當(dāng)接收方收到密文時(shí)，則解密得到的明文為（B）（A）（B）（C）（D）20關(guān)于的方程，給出下列四個(gè)命題： 存在實(shí)數(shù)，使得方程恰有2個(gè)不同的實(shí)根； 存在實(shí)數(shù)，使得方程恰有4個(gè)不同的實(shí)根； 存在實(shí)數(shù)，使得方程恰有5個(gè)不同的實(shí)根； 存在實(shí)數(shù)，使得方程恰有8個(gè)不同的實(shí)根.其中假命題的個(gè)數(shù)是 （A）A. 0 B. 1 C. 2 D. 321設(shè)是二次函數(shù)，若的值域是，則的值域是（ C ）ABCD22如果的三個(gè)內(nèi)角的余弦值分別等于的三個(gè)內(nèi)角的正弦值，則（ D ）A和都是銳角三角形 B和都是鈍角三角形C是鈍角三角形，是銳角三角形D是銳角三角形，是鈍角三角形23已知非零向量與滿足且則為（A）（A）等邊三角形（B）直角三角形（C）等腰非等邊三角形（D）三邊均不相等的三角形24已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，是準(zhǔn)線上一點(diǎn)，且，則雙曲線的離心率是（B）OM（，）25如圖，平面中兩條直線和相交于點(diǎn)O，對(duì)于平面上任意一點(diǎn)M，若、分別是M到直線和的距離，則稱有序非負(fù)實(shí)數(shù)對(duì)（，）是點(diǎn)M的“距離坐標(biāo)”已知常數(shù)0，0，給出下列命題：若0，則“距離坐標(biāo)”為（0，0）的點(diǎn)有且僅有1個(gè)；若0，且0，則“距離坐標(biāo)”為（，）的點(diǎn)有且僅有2個(gè)；若0，則“距離坐標(biāo)”為（，）的點(diǎn)有且僅有4個(gè)上述命題中，正確命題的個(gè)數(shù)是( D )（A）0； （B）1； （C）2； （D）326（06江西）對(duì)于R上可導(dǎo)的任意函數(shù)f（x），若滿足（x1）³0，則必有（ C ）A f（0）f（2）<2f（1） B. f（0）f（2）£2f（1）C. f（0）f（2）³2f（1） D. f（0）f（2）>2f（1）