第二講第二講 數(shù)學的高級統(tǒng)帥數(shù)學的高級統(tǒng)帥數(shù)學思想數(shù)學思想 高考試題一是著眼于知識點新穎巧妙的組合；二是高考試題一是著眼于知識點新穎巧妙的組合；二是著眼于對數(shù)學思想方法、數(shù)學能力的考查如果說數(shù)學著眼于對數(shù)學思想方法、數(shù)學能力的考查如果說數(shù)學知識是數(shù)學內容，可用文字和符號來記錄和描述，那么知識是數(shù)學內容，可用文字和符號來記錄和描述，那么數(shù)學思想方法則是數(shù)學意識，重在領會、運用，屬于思數(shù)學思想方法則是數(shù)學意識，重在領會、運用，屬于思維的范疇，用以對數(shù)學問題的認識、處理和解決中學維的范疇，用以對數(shù)學問題的認識、處理和解決中學數(shù)學思想主要有數(shù)形結合思想、函數(shù)和方程思想、分類數(shù)學思想主要有數(shù)形結合思想、函數(shù)和方程思想、分類討論思想、化歸和轉化思想討論思想、化歸和轉化思想一、函數(shù)與方程思想一、函數(shù)與方程思想函數(shù)的思想，就是用運動和變化的觀點，分析和研究函數(shù)的思想，就是用運動和變化的觀點，分析和研究數(shù)學中的數(shù)量關系，建立函數(shù)關系或構造函數(shù)，運用函數(shù)數(shù)學中的數(shù)量關系，建立函數(shù)關系或構造函數(shù)，運用函數(shù)的圖像和性質去分析問題、轉化問題，從而使問題獲得解的圖像和性質去分析問題、轉化問題，從而使問題獲得解決的數(shù)學思想決的數(shù)學思想. 方程的思想，就是分析數(shù)學問題中變量間的等量關系方程的思想，就是分析數(shù)學問題中變量間的等量關系，建立方程或方程組，或者構造方程，通過解方程或方程，建立方程或方程組，或者構造方程，通過解方程或方程組，或者運用方程的性質去分析、轉化問題，使問題獲得組，或者運用方程的性質去分析、轉化問題，使問題獲得解決的數(shù)學思想解決的數(shù)學思想.函數(shù)與方程思想的含義函數(shù)與方程思想的含義立體幾何中有關線段、角、面積、體積的計算，經常需立體幾何中有關線段、角、面積、體積的計算，經常需要運用列方程或建立函數(shù)表達式的方法加以解決要運用列方程或建立函數(shù)表達式的方法加以解決.4解析幾何中的許多問題，需要通過解二元方程組才能解解析幾何中的許多問題，需要通過解二元方程組才能解決這都涉及二次方程與二次函數(shù)的有關理論決這都涉及二次方程與二次函數(shù)的有關理論3數(shù)列的通項與前數(shù)列的通項與前n項和是自變量為正整數(shù)的函數(shù)，用函項和是自變量為正整數(shù)的函數(shù)，用函數(shù)的觀點去處理數(shù)列問題十分重要數(shù)的觀點去處理數(shù)列問題十分重要2函數(shù)與不等式的相互轉化，對函數(shù)函數(shù)與不等式的相互轉化，對函數(shù)yf( (x) )，當，當y 0時，時，就化為不等式就化為不等式f( (x)0，借助于函數(shù)的圖像和性質可解決，借助于函數(shù)的圖像和性質可解決有關問題，而研究函數(shù)的性質也離不開不等式有關問題，而研究函數(shù)的性質也離不開不等式1函數(shù)與方程思想在解題中的應用函數(shù)與方程思想在解題中的應用典例示范典例示范 即時應用即時應用 答案：答案：(1)B(2)8二、數(shù)形結合思想二、數(shù)形結合思想數(shù)形結合思想，就是根據(jù)數(shù)與形之間的對應關系，通數(shù)形結合思想，就是根據(jù)數(shù)與形之間的對應關系，通過數(shù)與形的相互轉化來解決數(shù)學問題的思想數(shù)形結合思過數(shù)與形的相互轉化來解決數(shù)學問題的思想數(shù)形結合思想的應用包括以下兩個方面：想的應用包括以下兩個方面：(1)“以形助數(shù)以形助數(shù)”，把某些抽，把某些抽象的數(shù)學問題直觀化、生動化，能夠變抽象思維為形象思象的數(shù)學問題直觀化、生動化，能夠變抽象思維為形象思維，揭示數(shù)學問題的本質；維，揭示數(shù)學問題的本質；(2)“以數(shù)定形以數(shù)定形”，把直觀圖形，把直觀圖形數(shù)量化，使形更加精確數(shù)量化，使形更加精確.數(shù)形結合思想的含義數(shù)形結合思想的含義構建函數(shù)模型并結合其幾何意義研究函數(shù)的最值問構建函數(shù)模型并結合其幾何意義研究函數(shù)的最值問題和證明不等式題和證明不等式4構建函數(shù)模型并結合其圖像研究量與量之間的大小構建函數(shù)模型并結合其圖像研究量與量之間的大小關系關系3構建函數(shù)模型并結合其圖像研究方程根的范圍構建函數(shù)模型并結合其圖像研究方程根的范圍2構建函數(shù)模型并結合其圖像求參數(shù)的取值范圍構建函數(shù)模型并結合其圖像求參數(shù)的取值范圍1數(shù)形結合思想在解題中的應用數(shù)形結合思想在解題中的應用研究圖形的形狀、位置關系、性質等研究圖形的形狀、位置關系、性質等.8構建方程模型，求根的個數(shù)構建方程模型，求根的個數(shù)7構建解析幾何中的斜率、截距、距離等模型研究最構建解析幾何中的斜率、截距、距離等模型研究最值問題值問題6構建立體幾何模型研究代數(shù)問題構建立體幾何模型研究代數(shù)問題5數(shù)形結合思想在解題中的應用數(shù)形結合思想在解題中的應用典例示范典例示范 答案答案(1)B(2)B即時應用即時應用 答案：答案：(1)D(2)2,6三、分類討論思想三、分類討論思想分類討論的思想是將一個較復雜的數(shù)學問題分解分類討論的思想是將一個較復雜的數(shù)學問題分解(或或分割分割)成若干個基礎性問題，通過對基礎性問題的解答來成若干個基礎性問題，通過對基礎性問題的解答來實現(xiàn)解決原問題的思想策略對問題實行分類與整合，分實現(xiàn)解決原問題的思想策略對問題實行分類與整合，分類標準等于增加一個已知條件，實現(xiàn)了有效增設，將大問類標準等于增加一個已知條件，實現(xiàn)了有效增設，將大問題題(或綜合性問題或綜合性問題)分解為小問題分解為小問題(或基礎性問題或基礎性問題)，優(yōu)化解，優(yōu)化解題思路，降低問題難度題思路，降低問題難度.分類討論思想的含義分類討論思想的含義由數(shù)學運算要求而引起的分類討論：如除法運算中除由數(shù)學運算要求而引起的分類討論：如除法運算中除數(shù)不為零，偶次方根為非負數(shù)，對數(shù)運算中真數(shù)與底數(shù)不為零，偶次方根為非負數(shù)，對數(shù)運算中真數(shù)與底數(shù)的要求，指數(shù)運算中底數(shù)的要求，不等式中兩邊同數(shù)的要求，指數(shù)運算中底數(shù)的要求，不等式中兩邊同乘以一個正數(shù)、負數(shù)，三角函數(shù)的定義域，等比數(shù)列乘以一個正數(shù)、負數(shù)，三角函數(shù)的定義域，等比數(shù)列a an n 的前的前n項和公式等項和公式等2由數(shù)學概念而引起的分類討論：如絕對值的定義、不由數(shù)學概念而引起的分類討論：如絕對值的定義、不等式的定義、二次函數(shù)的定義、直線的傾斜角等等式的定義、二次函數(shù)的定義、直線的傾斜角等1分類討論思想在解題中的應用分類討論思想在解題中的應用由參數(shù)的變化而引起的分類討論：如某些含有參數(shù)的由參數(shù)的變化而引起的分類討論：如某些含有參數(shù)的問題，由于參數(shù)的取值不同會導致所得的結果不同，問題，由于參數(shù)的取值不同會導致所得的結果不同，或者由于對不同的參數(shù)值要運用不同的求解或證明方或者由于對不同的參數(shù)值要運用不同的求解或證明方法等法等.5由圖形的不確定性而引起的分類討論：如二次函數(shù)圖由圖形的不確定性而引起的分類討論：如二次函數(shù)圖像、指數(shù)函數(shù)圖像、對數(shù)函數(shù)圖像等像、指數(shù)函數(shù)圖像、對數(shù)函數(shù)圖像等4由性質、定理、公式的限制而引起的分類討論：如函由性質、定理、公式的限制而引起的分類討論：如函數(shù)的單調性、基本不等式等數(shù)的單調性、基本不等式等3分類討論思想在解題中的應用分類討論思想在解題中的應用典例示范典例示范 即時應用即時應用四、轉化與化歸思想四、轉化與化歸思想轉化與化歸思想方法，就是在研究和解決有關數(shù)學轉化與化歸思想方法，就是在研究和解決有關數(shù)學問題時采用某種手段將問題通過變換使之轉化，進而解問題時采用某種手段將問題通過變換使之轉化，進而解決問題的一種方法一般總是將復雜的問題通過變換轉決問題的一種方法一般總是將復雜的問題通過變換轉化為簡單的問題，將難解的問題通過變換轉化為容易求化為簡單的問題，將難解的問題通過變換轉化為容易求解的問題，將未解決的問題通過變換轉化為已解決的問解的問題，將未解決的問題通過變換轉化為已解決的問題題.轉化與化歸思想的含義轉化與化歸思想的含義在解決平面向量與三角函數(shù)、平面幾何、解析幾何等知在解決平面向量與三角函數(shù)、平面幾何、解析幾何等知識的交匯題目時，常將平面向量語言與三角函數(shù)、平面識的交匯題目時，常將平面向量語言與三角函數(shù)、平面幾何、解析幾何語言進行轉化幾何、解析幾何語言進行轉化3換元法：是將一個復雜的或陌生的函數(shù)、方程、不等式換元法：是將一個復雜的或陌生的函數(shù)、方程、不等式轉化為簡單的或熟悉的函數(shù)、方程、不等式的一種重要轉化為簡單的或熟悉的函數(shù)、方程、不等式的一種重要的方法的方法2在三角函數(shù)中，涉及到三角式的變形，一般通過轉化與在三角函數(shù)中，涉及到三角式的變形，一般通過轉化與化歸將復雜的三角問題轉化為已知或易解的三角問題，化歸將復雜的三角問題轉化為已知或易解的三角問題，以起到化暗為明的作用，主要的方法有公式的以起到化暗為明的作用，主要的方法有公式的“三三用用”(順用、逆用、變形用順用、逆用、變形用)、角度的轉化、函數(shù)的轉化、角度的轉化、函數(shù)的轉化等等1轉化與化歸思想在解題中的應用轉化與化歸思想在解題中的應用在解決解析幾何、立體幾何問題時，常常在數(shù)與形在解決解析幾何、立體幾何問題時，常常在數(shù)與形之間進行轉化之間進行轉化.6在利用導數(shù)研究函數(shù)問題時，常將函數(shù)的單調性、在利用導數(shù)研究函數(shù)問題時，常將函數(shù)的單調性、極值極值(最值最值)、切線問題，轉化為其導函數(shù)、切線問題，轉化為其導函數(shù)f(x)構成的構成的方程、不等式問題求解方程、不等式問題求解5在解決數(shù)列問題時，常將一般數(shù)列轉化為等差數(shù)列在解決數(shù)列問題時，常將一般數(shù)列轉化為等差數(shù)列或等比數(shù)列求解或等比數(shù)列求解4轉化與化歸思想在解題中的應用轉化與化歸思想在解題中的應用典例示范典例示范 答案答案(1)B(2)D即時應用即時應用答案：答案：C