2019 屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題 -三角函數(shù)（有答案）與 2019 屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題 -導(dǎo)數(shù)與函數(shù)綜合問(wèn)題（帶答案）2019 屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題- 三角函數(shù)（有答案）1三角函數(shù)的圖象，主要涉及圖象變換問(wèn)題以及由圖象確定解析式問(wèn)題，主要以選擇題、填空題的形式考查；2利用三角函數(shù)的性質(zhì)求解三角函數(shù)的值、參數(shù)、最值、值域、單調(diào)區(qū)間等，主要以解答題的形式考查；3三角函數(shù)的化簡(jiǎn)與求值是高考的命題熱點(diǎn)，其中同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、誘導(dǎo)公式是解決計(jì)算問(wèn)題的工具，三角恒等變換是利用三角恒等式(兩角和與差、二倍角的正弦、余弦、正切公式)進(jìn)行變換，“角”的變換是三角恒等變換的核心1常用三種函數(shù)的圖象性質(zhì)(下表中 )函數(shù) ysin x ycos x ytan x圖象 遞增區(qū)間 遞減區(qū)間 奇偶性 奇函數(shù) 偶函數(shù) 奇函數(shù)對(duì)稱中心 對(duì)稱軸 x kxk 周期性 2 2 2三角函數(shù)的常用結(jié)論(1)yAsin(x)，當(dāng) k(kZ)時(shí)為奇函數(shù)；當(dāng) k ( )時(shí)為偶函數(shù)；對(duì)稱軸方程可由 xk ( )求得(2)yAcos(x)，當(dāng) k (kZ)時(shí)為奇函數(shù)；當(dāng) k(kZ) 時(shí)為偶函數(shù)；對(duì)稱軸方程可由 xk( )求得(3)yAtan(x ) ，當(dāng) k( )時(shí)為奇函數(shù)3三角函數(shù)的兩種常見變換(1)ysin xy sin(x) yAsin(x)(A0，0)y Asin(x)(A 0 ， 0)4三角函數(shù)公式(1)同角關(guān)系：sin2 cos21， (2)誘導(dǎo)公式：對(duì)于“ ， 的三角函數(shù)值”與“ 角的三角函數(shù)值 ”的關(guān)系可按下面口訣記憶：奇變偶不變，符號(hào)看象限(3)兩角和與差的正弦、余弦、正切公式：；(4)二倍角公式： ， (5)輔助角公式：asin xbcos xa2b2sin(x )，其中 熱點(diǎn)一 三角函數(shù)的圖象【例 1】(1) (2018清流一中)已知函數(shù) ，（1）用 “五點(diǎn)法”作出這個(gè)函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)的圖象；（2）函數(shù) 圖象經(jīng)過(guò)怎樣的變換可以得到 的圖象？(2)函數(shù) f(x) Asin(x) 的部分圖象如圖所示，則函數(shù) f(x)的解析式為( )A BC D(1)解 (1)列表0 2 0 0 2【注：列表每行 1 分，該行必須全對(duì)才得分；圖象五點(diǎn)對(duì)得 1 分，圖象趨勢(shì)錯(cuò)扣 1 分 】（2）把 的圖象向左平移 個(gè)單位得到 的圖象，再把 的圖象縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的 2 倍得到 的圖象，最后把 的圖象橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的 2 倍，得到 的圖象(2)由 (1)知 ，根據(jù)圖象平移變換，得 因?yàn)?ysin x 的對(duì)稱中心為 ， 令 2x2 k， ，解得 ， 由于函數(shù) y g(x)的圖象關(guān)于點(diǎn) 成中心對(duì)稱，令 ， ，解得 ， 由 0 可知，當(dāng) k1 時(shí)， 取得最小值 (2)解析 (1)由題意知 A 2， ，2，因?yàn)楫?dāng) 時(shí)取得最大值 2，所以 ，所以 ， ，解得 ， ，因?yàn)閨0，0)的圖象求解析式時(shí)，常采用待定系數(shù)法，由圖中的最高點(diǎn)、最低點(diǎn)或特殊點(diǎn)求 A；由函數(shù)的周期確定 ；確定 常根據(jù)“五點(diǎn)法”中的五個(gè)點(diǎn)求解，其中一般把第一個(gè)零點(diǎn)作為突破口，可以從圖象的升降找準(zhǔn)第一個(gè)零點(diǎn)的位置【訓(xùn)練 1】(1) (2018孝感期末)已知函數(shù) ， ，的圖像在 軸上的截距為 1，且關(guān)于直線 對(duì)稱若對(duì)于任意的 ，存在 ，使得 ，則實(shí)數(shù) 的取值范圍為_(2)(2017貴陽(yáng)調(diào)研 )已知函數(shù) f(x)Asin(x)( ， ， )的部分圖象如圖所示求函數(shù) f(x)的解析式；將函數(shù) y f(x)的圖象上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)保持不變，橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的 12 倍，再把所得的函數(shù)圖象向左平移 6 個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù) yg(x)的圖象，求函數(shù) g(x)在區(qū)間 0，8 上的最小值解析(1)因?yàn)?的圖像在 軸上的截距為 1，且關(guān)于直線 對(duì)稱，所以 ， ，又 ， ，所以 ， ，所以 ， ，所以 ， ， ， ，因?yàn)?， ，所以 ，若對(duì)于任意的 ，存在 ，使得 ，則 ，所以 ，解得 ，所以實(shí)數(shù) m 的取值范圍為 ，答案為 答案(2)解 設(shè)函數(shù) f(x)的最小正周期為 T，由題圖可知A1 ，T2 236 2，即 T ，所以 2，解得 2，故 f(x)sin(2x) 由 0 sin2×6 可得 3 2k， ，則 2k3，kZ，因?yàn)?|2，所以 3 ，故函數(shù) f(x)的解析式為 f(x)sin2x3根據(jù)條件得 g(x)sin4x3，當(dāng) x0，8 時(shí)，4x33，56 ，所以當(dāng) x8 時(shí)，g(x)取得最小值，且 g(x)min 12熱點(diǎn)二 三角函數(shù)的性質(zhì)【例 2】(2018 哈爾濱三中 )已知函數(shù) 的圖象與 軸的交點(diǎn)為 ，它在 軸右側(cè)的第一個(gè)最高點(diǎn)和第一個(gè)最低點(diǎn)的坐標(biāo)分別為 和 （1）求 解析式及 的值；（2）求 的單調(diào)增區(qū)間；（3）若 時(shí)，函數(shù) 有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù) 的取值范圍解（1）由題意知， ， ， ， ；又 圖象過(guò)點(diǎn) ， ， ；又 ， ； ；又 是 在 軸右側(cè)的第 1 個(gè)最高點(diǎn)， ，解得 （2）由 ，得 ， 的單調(diào)增區(qū)間為 ；（3）在 時(shí)，函數(shù) 有兩個(gè)零點(diǎn)， 有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，即函數(shù)圖象有兩個(gè)交點(diǎn) 在 上有兩個(gè)根， ， ，結(jié)合函數(shù)圖象，函數(shù) 有兩個(gè)零點(diǎn)的范圍是 探究提高 1討論三角函數(shù)的單調(diào)性，研究函數(shù)的周期性、奇偶性與對(duì)稱性，都必須首先利用輔助角公式，將函數(shù)化成一個(gè)角的一種三角函數(shù)2求函數(shù) yAsin(x)(A0，0)的單調(diào)區(qū)間，是將 x 作為一個(gè)整體代入正弦函數(shù)增區(qū)間(或減區(qū)間) ，求出的區(qū)間即為 yAsin(x )的增區(qū)間(或減區(qū)間 )，但是當(dāng) A0，0 時(shí)，需先利用誘導(dǎo)公式變形為y Asin(x)，則 yAsin( x)的增區(qū)間即為原函數(shù)的減區(qū)間，減區(qū)間即為原函數(shù)的增區(qū)間【訓(xùn)練 2】(2017 浙江卷 )已知函數(shù) f(x)sin2xcos2x23sin xcos x(xR)(1)求 f 23 的值；(2)求 f(x)的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間解 (1)f(x)sin2xcos2x23sin xcos xcos 2x3sin 2x2sin2x6，則 f 232sin43 62(2)f(x)的最小正周期為 由正弦函數(shù)的性質(zhì)，令 2k22x62k32，kZ ，得 k 6xk23，kZ所以函數(shù) f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為 k6 ，k23，kZ熱點(diǎn)三 三角函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用【例 3】(2017 西安調(diào)研 )已知函數(shù) f(x)2sin xcos x23sin2x3(0)的最小正周期為 (1)求函數(shù) f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間(2)將函數(shù) f(x)的圖象向左平移 6 個(gè)單位，再向上平移 1 個(gè)單位，得到函數(shù)y g(x)的圖象，若 yg(x)在0，b(b0)上至少含有 10 個(gè)零點(diǎn)，求 b 的最小值解 (1)f(x)2sin xcosx3(2sin2x 1)sin 2x3cos 2x2sin2x3由最小正周期為 ，得 1，所以 f(x)2sin2x3，由 2k22x32k2， ，整理得 k12xkx512， ，所以函數(shù) f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是 k12 ，k512， (2)將函數(shù) f(x)的圖象向左平移 6 個(gè)單位，再向上平移 1 個(gè)單位，得到 y2sin 2x1 的圖象；所以 g(x)2sin 2x1令 g(x)0 ，得 xk 712 或 xk1112( )，所以在0，上恰好有兩個(gè)零點(diǎn)，若 yg(x)在0，b上有 10 個(gè)零點(diǎn)，則 b 不小于第 10 個(gè)零點(diǎn)的橫坐標(biāo)即可所以 b 的最小值為 411125912探究提高 1研究三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，關(guān)鍵是將函數(shù)化為y Asin(x)B(或 yAcos(x)B)的形式，利用正余弦函數(shù)與復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)求解2函數(shù) yAsin(x)(或 yAcos(x)的最小正周期 T2|應(yīng)特別注意 y|Asin(x)|的最小正周期為 T|【訓(xùn)練 3】 函數(shù)的性質(zhì)通常指函數(shù)的定義域、值域、周期性、單調(diào)性、奇偶性、對(duì)稱性等，請(qǐng)選擇適當(dāng)?shù)奶骄宽樞?，研究函?shù) 的性質(zhì)，并在此基礎(chǔ)上填寫下表，作出 在區(qū)間 上的圖象性質(zhì) 理由 結(jié)論 得分定義域 值域 奇偶性 周期性 單調(diào)性 對(duì)稱性 作圖解1-sinx0 且 1+sinx0，在 R 上恒成立，函數(shù)的定義域?yàn)?R； ，由 |cosx|0，1，f2 （x）2，4，可得函數(shù)的值域?yàn)?，2； ， 函數(shù)的最小正周期為 ，當(dāng) 時(shí)， ，在 上為減函數(shù)，當(dāng) 時(shí)， ，在 上為增函數(shù)， 在 上遞增，在 上遞減 ， ，且 ， 在其定義域上為偶函數(shù)，結(jié)合周期為 得到圖象關(guān)于直線 對(duì)稱，因此，可得如下表格：性質(zhì) 理由 結(jié)論 得分定義域 定義域值域 值域奇偶性 偶函數(shù) 周期性 周期單調(diào)性 在 上遞增，在 上遞減對(duì)稱性 f（-x）=f（x）， ，關(guān)于直線 x=k/2 對(duì)稱作圖 熱點(diǎn)四 三角恒等變換及應(yīng)用【例 4】(1)(2015重慶卷 )若 tan 2tan 5，則 cos310sin5( )A1 B2 C3 D4解析cos310sin5 sin2310sin 5sin5sin 5 sin cos5cos sin5sin cos5cos sin5tan tan51tan tan512 12 1 3答案 C探究提高 1三角恒等變換的基本思路：找差異，化同角( 名)，化簡(jiǎn)求值2解決條件求值問(wèn)題的三個(gè)關(guān)注點(diǎn)(1)分析已知角和未知角之間的關(guān)系，正確地用已知角來(lái)表示未知角(2)正確地運(yùn)用有關(guān)公式將所求角的三角函數(shù)值用已知角的三角函數(shù)值來(lái)表示(3)解三角函數(shù)中給值求角的問(wèn)題時(shí)，要根據(jù)已知求這個(gè)角的某種三角函數(shù)值，然后結(jié)合角的取值范圍，求出角的大小【訓(xùn)練 4】 (1) (2018泰安一中 )平面直角坐標(biāo)系 中，點(diǎn) 在單位圓 上，設(shè) ，若 ，且 ，則 的值為_(2)(2017石家莊質(zhì)檢 )若 cos(2) 1114，sin(2)437，00)，滿足：f(x_1)=0，f(x_2)=-2，且|x_1-x_2 |的最小值為 /2，則 的值為（）A1 B2 C3 D42(2018 濱州期末 )已知函數(shù) f(x)=sin(x+)(0，|0，0)的性質(zhì)：(1)y_max “=“ A“+“ B，y_min=A-B(2)周期 T=2/(3)由 x+=“ /2+k“(kZ)求對(duì)稱軸，(4)由 -“ /2+2k“x+“ /2+2k“(kZ) 求增區(qū)間；由“ /2+2k“x+“3“ /2+2k“(kZ) 求減區(qū)間3【解題思路】將函數(shù) 進(jìn)行化簡(jiǎn)即可【答案】由已知得 ，的最小正周期 ，故選 C4【解題思路】求出 3x+/6 的范圍，再由函數(shù)值為零，得到 3x+/6 的取值可得零點(diǎn)個(gè)數(shù)【答案】 ， ，由題可知 3x+/6=/2，3x+/6=3/2，或 3x+/6=5/2，解得 x= /9，4/9，或 7/9，故有 3 個(gè)零點(diǎn)5【解題思路】利用兩角差的正切公式展開，解方程可得 tan=3/2【答案】tan(-5/4)=(tan-tan 5/4)/(1+tantan 5/4)=(tan-1)/(1+tan)=1/5，解方程得 tan=3/21【解題思路】由極值點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)為 0 確定 ，由奇函數(shù)確定 【答案】 ，因?yàn)楫?dāng) 時(shí)有極大值，所以 =0，解得 ， ，當(dāng) 時(shí)， ；因?yàn)?為奇函數(shù)，所以 ， ，當(dāng) 時(shí)， ，故選 D2【解題思路】根據(jù)題意得到 a(cos /4-sin /4)=0，得 =1，得出f(x)=2 sin(x+/4)，即可求解函數(shù)的最小正周期，得到答案【答案】由題設(shè)，有 f(/4)=±(a2+b2 )，即2/2 (a+b)=±(a2+b2 )，得 a=b，又 f' (/4)=0，所以 a(cos /4-sin /4)=0，從而 tan /4=1，所以 /4=k+/4，kZ，即 =4k+1，kZ，又由 00)，因?yàn)閨x_1-x_2 |的最小值為 T/4=/2，所以 T=2，則由 T=2/ 得 =12【解題思路】由函數(shù)的最值求出 A，由周期求出 ，由五點(diǎn)法作圖求出 的值，可得函數(shù) f(x)的解析式，再利用 y=Asin(x+)的圖象變換規(guī)律，得出結(jié)論【答案】由函數(shù) y=Asin(x+)(其中 A0，|0，且 a1)；(4)(logax)1xln a(a0，且 a1，x0).3.利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性(1)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系.f(x)0 是 f(x)為增函數(shù)的充分不必要條件，如函數(shù) f(x)x3 在( ，)上單調(diào)遞增，但 f(x)0.f(x)0 是 f(x)為增函數(shù)的必要不充分條件，如果函數(shù)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)恒有 f(x)0 時(shí)，則 f(x)為常數(shù)函數(shù).(2)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性的方法.若求單調(diào)區(qū)間(或證明單調(diào)性) ，只要在函數(shù)定義域內(nèi)解(或證明) 不等式 f(x)0 或 f(x)0，右側(cè) f(x)0，則 f(x0)為函數(shù) f(x)的極小值.(2)設(shè)函數(shù) yf(x) 在a，b上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，則 f(x)在a，b上必有最大值和最小值且在極值點(diǎn)或端點(diǎn)處取得.5.利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)函數(shù)的零點(diǎn)、方程的實(shí)根、函數(shù)圖象與 x 軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是三個(gè)等價(jià)的概念，解決這類問(wèn)題可以通過(guò)函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值，畫出函數(shù)圖象的變化趨勢(shì)，數(shù)形結(jié)合求解.6.三次函數(shù)的零點(diǎn)分布三次函數(shù)在存在兩個(gè)極值點(diǎn)的情況下，由于當(dāng) x時(shí)，函數(shù)值也趨向，只要按照極值與零的大小關(guān)系確定其零點(diǎn)的個(gè)數(shù)即可.存在兩個(gè)極值點(diǎn) x1，x2 且x10兩個(gè) f(x1)0 或者 f(x2)0三個(gè) f(x1)0 且 f(x2)0a0(f(x1)為極小值，f(x2)為極大值) 一個(gè) f(x1)0 或 f(x2)0兩個(gè) f(x1)0 或者 f(x2)0三個(gè) f(x1)0 且 f(x2)07.利用導(dǎo)數(shù)解決不等式問(wèn)題(1)利用導(dǎo)數(shù)證明不等式.若證明 f(x)g(x)對(duì)一切 xI 恒成立I 是 f(x)g(x)的解集的子集f(x)g(x)min0(xI).xI，使 f(x)g(x)成立I 與 f(x)g(x)的解集的交集不是空集f(x) g(x)max0(xI).對(duì)x1，x2I 使得 f(x1)g(x2)f(x)maxg(x)min.對(duì)x1I， x2I 使得 f(x1)g(x2)f(x)ming(x)min.熱點(diǎn)一 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性【例 1】(2019 衡水中學(xué) )已知函數(shù) ， .（1）討論 的單調(diào)性；（2）當(dāng) , ， 為兩個(gè)不相等的正數(shù)，證明： .解（1）函數(shù) 的定義域?yàn)?， .若 ， ，則 在區(qū)間 內(nèi)為增函數(shù)；若 ，令 ，得 .則當(dāng) 時(shí)， ， 在區(qū)間 內(nèi)為增函數(shù)；當(dāng) 時(shí)， ， 在區(qū)間 內(nèi)為減函數(shù).（2）當(dāng) 時(shí)， .不妨設(shè) ，則原不等式等價(jià)于 ，令 ，則原不等式也等價(jià)于即 .下面證明當(dāng) 時(shí)， 恒成立.設(shè) ，則 ，故 在區(qū)間 內(nèi)為增函數(shù)， ，即 ，所以 .探究提高 1.求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，只需在函數(shù)的定義域內(nèi)解(證)不等式 f(x)0或 f(x)0.(2)對(duì) k 分類討論不全，題目中已知 k0，對(duì) k 分類討論時(shí)容易對(duì)標(biāo)準(zhǔn)劃分不準(zhǔn)確，討論不全面.【訓(xùn)練 1】 已知 aR，函數(shù) f(x)( x2ax)ex(xR，e 為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).(1)當(dāng) a2 時(shí)，求函數(shù) f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)若函數(shù) f(x)在(1，1)上單調(diào)遞增，求 a 的取值范圍；(3)函數(shù) f(x)是否為 R 上的單調(diào)減函數(shù)？若是，求出 a 的取值范圍，若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.解 (1)當(dāng) a 2 時(shí)，f(x)(x22x)ex，所以 f(x)(2x 2)ex (x2 2x)ex(x2 2)ex.令 f(x)0 ，即( x22)ex0，因?yàn)?ex0 ，所以x2 20，解得2x2.所以函數(shù) f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是( 2 ，2).(2)因?yàn)楹瘮?shù) f(x)在(1，1)上單調(diào)遞增，所以 f(x)0 對(duì) x( 1，1) 都成立.因?yàn)?f(x)(2x a)ex (x2 ax)exx2(a 2)x aex，所以x2(a2)xaex0 對(duì) x(1，1)都成立.因?yàn)?ex0 ，所以x2 (a2)xa0 ，則 ax22xx1（x1）21x 1(x 1)1x1 對(duì) x(1，1)都成立.令 g(x)(x1)1x1，則 g(x)11（x1）20.所以 g(x)(x1)1x 1 在( 1 ，1) 上單調(diào)遞增.所以 g(x)g(1)(1 1)11 132.所以 a 的取值范圍是 32，.(3)若函數(shù) f(x)在 R 上單調(diào)遞減，則 f(x)0 對(duì) xR 都成立，即x2(a2)xaex0 對(duì) xR 都成立 .因?yàn)?ex0 ，所以 x2(a2)xa0 對(duì) xR 都成立.所以 (a2)24a0，即 a240，這是不可能的.故函數(shù) f(x)不可能在 R 上單調(diào)遞減 .熱點(diǎn)二 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值和最值【例 2】 (2018安陽(yáng)調(diào)研)已知函數(shù) 的極大值為 2（1）求實(shí)數(shù) 的值；（2）求 在 上的最大值解（1）依題意 ，所以 在 和 上單調(diào)遞增，在 上單調(diào)遞減，所以 在 處取得極大值，即 ，解得 （2）由（ 1）知 在 和 上單調(diào)遞增，在 上單調(diào)遞減，當(dāng) ，即 時(shí)， 在 上單調(diào)遞增，所以 在 上的最大值為 當(dāng) ，即 時(shí)， 在 上單調(diào)遞增，在 上單調(diào)遞減，在 上的最大值為 當(dāng) 且 ，即 時(shí)， 在 上單調(diào)遞減，所以 在 上的最大值為 當(dāng) ，即 時(shí)，令 ，得 或 （舍去）當(dāng) 時(shí)， 在 上的最大值為 當(dāng) 時(shí)， 在 上的最大值為 綜上可知：當(dāng) 或 時(shí)， 在 上的最大值為 ；當(dāng) 時(shí)， 在 上的最大值為 ；當(dāng) 時(shí)， 在 上的最大值為 探究提高 1.求函數(shù) f(x)的極值，則先求方程 f(x) 0 的根，再檢查 f(x)在方程根的左右附近函數(shù)值的符號(hào).2.若已知極值大小或存在情況，則轉(zhuǎn)化為已知方程 f(x)0 根的大小或存在情況來(lái)求解.3.求函數(shù) f(x)在閉區(qū)間a，b的最值時(shí)，在得到極值的基礎(chǔ)上，結(jié)合區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值 f(a)，f(b)與 f(x)的各極值進(jìn)行比較得到函數(shù)的最值 .【訓(xùn)練 2】(2017 郴州二模選編 )已知函數(shù) f(x)ax2 (12a)xln x.(1)當(dāng) a0 時(shí)，求函數(shù) f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)當(dāng) a0，因?yàn)?a0，x0，2ax1x0 ，x 10，得 x1，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(1，).(2)由 (1)可得 f(x)2ax12a（x1）x，因?yàn)?a1 ，即120，因此 f(x)在 12，1 上是增函數(shù)，f(x)的最小值為 f121234aln 2.綜上，函數(shù) f(x)在區(qū)間 12，1 上的最小值為：f(x)min12 34aln 2，a1， 114aln （2a），1a 12，1 a，12a0.熱點(diǎn)三 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)(方程的根)【例 3】(2019 上高二中 )已知函數(shù) .（）求 的單調(diào)區(qū)間；（）若 ，求證：函數(shù) 只有一個(gè)零點(diǎn) ，且 ；解（）解： 的定義域?yàn)?. ，令 ， 或 ，當(dāng) 時(shí)， ，函數(shù) 與 隨 的變化情況如下表：所以，函數(shù) 的單調(diào)遞增區(qū)間是 ，單調(diào)遞減區(qū)間是 和 ，當(dāng) 時(shí)， .所以，函數(shù) 的單調(diào)遞減區(qū)間是 ，當(dāng) 時(shí)， ，函數(shù) 與 隨 的變化情況如下表：所以，函數(shù) 的單調(diào)遞增區(qū)間是 ，單調(diào)遞減區(qū)間是 和 .（）證明：當(dāng) 時(shí)，由（）知， 的極小值為 ，極大值為 .因?yàn)?， ，且又由函數(shù) 在 是減函數(shù)，可得 至多有一個(gè)零點(diǎn)，又因?yàn)?，所以函數(shù) 只有一個(gè)零點(diǎn) ，且 .探究提高 1.三步求解函數(shù)零點(diǎn)( 方程根)的個(gè)數(shù)問(wèn)題 .第一步：將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖象與 x 軸(或直線y k)在該區(qū)間上的交點(diǎn)問(wèn)題；