第46課時 數(shù)據(jù)的波動描述數(shù)據(jù)離散程度的特征量：極差、方差、標(biāo)準(zhǔn)差描述數(shù)據(jù)離散程度的特征量：極差、方差、標(biāo)準(zhǔn)差1.1.極差：一組數(shù)據(jù)中的極差：一組數(shù)據(jù)中的_數(shù)據(jù)與數(shù)據(jù)與_數(shù)據(jù)的數(shù)據(jù)的_；2.2.方差：有方差：有n n個數(shù)據(jù)個數(shù)據(jù)x x1 1,x,x2 2,x,xn n, ,各數(shù)據(jù)與它們的平均數(shù)的差的各數(shù)據(jù)與它們的平均數(shù)的差的平方分別是平方分別是 我們用它們的平均數(shù)，我們用它們的平均數(shù)，即用即用s s2 2= =來衡量這組數(shù)據(jù)的波動大小來衡量這組數(shù)據(jù)的波動大小. .3.3.標(biāo)準(zhǔn)差：方差的標(biāo)準(zhǔn)差：方差的_，即，即s=_.s=_.最大最大最小最小差差22212nxx) ,(xx) ,(xx) ,（22212n1(xx)(xx)(xx)n算術(shù)平方根算術(shù)平方根2s【核心點撥【核心點撥】數(shù)據(jù)離散程度與極差、方差的關(guān)系：極差反映數(shù)據(jù)的變化范圍，數(shù)據(jù)離散程度與極差、方差的關(guān)系：極差反映數(shù)據(jù)的變化范圍，方差反映數(shù)據(jù)波動的大小方差反映數(shù)據(jù)波動的大小. .一組數(shù)據(jù)的方差越大，數(shù)據(jù)的波動一組數(shù)據(jù)的方差越大，數(shù)據(jù)的波動越大，數(shù)據(jù)越不穩(wěn)定或不整齊越大，數(shù)據(jù)越不穩(wěn)定或不整齊. .【即時檢驗【即時檢驗】1.1.已知樣本：已知樣本：3 3，4 4，0 0，2 2，6 6，1 1，那么這個樣本的極差是，那么這個樣本的極差是_. .2.2.一組數(shù)據(jù)：一組數(shù)據(jù)：5 5，7 7，3 3，x x，6 6，4 4，若這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是，若這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是5 5，則這組數(shù)據(jù)的方差是則這組數(shù)據(jù)的方差是 , ,標(biāo)準(zhǔn)差是標(biāo)準(zhǔn)差是 . . 8 853153 極差、方差的概念及其計算極差、方差的概念及其計算【例【例1 1】（】（20112011蕪湖中考蕪湖中考) )某中學(xué)開展某中學(xué)開展“唱紅歌唱紅歌”比賽活動，比賽活動，九年級（九年級（1 1）、（）、（2 2）班根據(jù)初賽成績，各選出）班根據(jù)初賽成績，各選出5 5名選手參加復(fù)賽，名選手參加復(fù)賽，兩個班各選出的兩個班各選出的5 5名選手的復(fù)賽成績（滿分為名選手的復(fù)賽成績（滿分為100100分）如圖所示分）如圖所示. .(1)(1)根據(jù)圖示填寫下表；根據(jù)圖示填寫下表；(2)(2)結(jié)合兩班復(fù)賽成績的平均數(shù)和中位數(shù)，分析哪個班級的復(fù)賽結(jié)合兩班復(fù)賽成績的平均數(shù)和中位數(shù)，分析哪個班級的復(fù)賽成績較好；成績較好；(3)(3)計算兩班復(fù)賽成績的方差計算兩班復(fù)賽成績的方差. .（方差公式（方差公式: : ）班級班級平均數(shù)（分）平均數(shù)（分） 中位數(shù)（分）中位數(shù)（分）眾數(shù)（分）眾數(shù)（分）九（九（1 1）85858585九（九（2 2）8080222212n1s(xx)(xx)(xx)n【思路點撥【思路點撥】【自主解答【自主解答】（1 1）填表）填表: :分析統(tǒng)計圖提取信息計算數(shù)據(jù)并填表依據(jù)統(tǒng)計量分析根據(jù)公式計算方差班級班級平均數(shù)（分）平均數(shù)（分） 中位數(shù)（分）中位數(shù)（分）眾數(shù)（分）眾數(shù)（分）九（九（1 1）8585九（九（2 2）8585100100（2 2）九年級（）九年級（1 1）班成績好些）班成績好些. .因為兩個班級的平均數(shù)都相同，因為兩個班級的平均數(shù)都相同，九年級（九年級（1 1）班的中位數(shù)高，所以在平均數(shù)相同的情況下中位數(shù)）班的中位數(shù)高，所以在平均數(shù)相同的情況下中位數(shù)高的九年級（高的九年級（1 1）班成績好些）班成績好些. .（3 3）九年級）九年級(1)(1)班班5 5名選手復(fù)賽成績的方差名選手復(fù)賽成績的方差九年級九年級(2)(2)班班5 5名選手復(fù)賽成績的方差名選手復(fù)賽成績的方差2222221758580858585858510085s70,522222227085100851008575858085s160.5【規(guī)律總結(jié)【規(guī)律總結(jié)】方差計算的方差計算的“兩種類型兩種類型”及計算步驟及計算步驟1.1.單純的方差計算：單純的方差計算：（1 1）計算數(shù)據(jù)的平均數(shù)；）計算數(shù)據(jù)的平均數(shù)；（2 2）代入方差公式計算）代入方差公式計算. .2.2.與統(tǒng)計圖表有關(guān)的綜合計算：與統(tǒng)計圖表有關(guān)的綜合計算：（1 1）認(rèn)真分析題目信息；（）認(rèn)真分析題目信息；（2 2）求平均數(shù)或其他相關(guān)量；）求平均數(shù)或其他相關(guān)量；（3 3）代入公式仔細(xì)計算）代入公式仔細(xì)計算. .【對點訓(xùn)練【對點訓(xùn)練】1.1.（20122012寧波中考）我市某一周每天的最高氣溫統(tǒng)計如下：寧波中考）我市某一周每天的最高氣溫統(tǒng)計如下：27,28,29,29,30,29,2827,28,29,29,30,29,28（單位：（單位：）. .則這組數(shù)據(jù)的極差與眾數(shù)則這組數(shù)據(jù)的極差與眾數(shù)分別是分別是( )( )（A A）2,28 2,28 （B B）3,29 3,29 （C C）2,27 2,27 （D D）3,283,28【解析【解析】選選B.B.極差為極差為30-27=330-27=3；在；在27,28,29,29,30,29,2827,28,29,29,30,29,28中出現(xiàn)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)是次數(shù)最多的數(shù)是2929，因此，這組數(shù)據(jù)的極差是，因此，這組數(shù)據(jù)的極差是3 3，眾數(shù)是，眾數(shù)是29.29.2.2.（20112011襄陽中考襄陽中考)2011)2011年春我市發(fā)生了嚴(yán)重干旱，市政府號年春我市發(fā)生了嚴(yán)重干旱，市政府號召居民節(jié)約用水，為了解居民用水情況，在某小區(qū)隨機抽查了召居民節(jié)約用水，為了解居民用水情況，在某小區(qū)隨機抽查了1010戶家庭的月用水量，結(jié)果如下表：戶家庭的月用水量，結(jié)果如下表：則關(guān)于這則關(guān)于這1010戶家庭的月用水量，下列說法錯誤的是戶家庭的月用水量，下列說法錯誤的是( )( )（A A）眾數(shù)是）眾數(shù)是6 6 （B B）極差是）極差是2 2 （C C）平均數(shù)是）平均數(shù)是6 6 （D D）方差是）方差是4 4月用水量（噸）月用水量（噸）5 56 67 7戶數(shù)戶數(shù)2 26 62 2【解析【解析】選選D.D.這這1010戶家庭月用水量（噸）按照從小到大的順序戶家庭月用水量（噸）按照從小到大的順序可以排列為可以排列為5 5，5 5，6 6，6 6，6 6，6 6，6 6，6 6，7 7，7.7.因為因為6 6出現(xiàn)了出現(xiàn)了6 6次，出現(xiàn)次數(shù)最多，所以這次，出現(xiàn)次數(shù)最多，所以這1010戶家庭的月用水量的眾數(shù)是戶家庭的月用水量的眾數(shù)是6 6，選項選項A A正確；月用水量最多為正確；月用水量最多為7 7噸，最少為噸，最少為5 5噸，噸，7 75 52 2，即這，即這1010戶家庭的月用水量的極差是戶家庭的月用水量的極差是2 2，選項，選項B B正確；經(jīng)計算可知，這正確；經(jīng)計算可知，這1010戶家庭的月用水量平均數(shù)為戶家庭的月用水量平均數(shù)為 選項選項C C也也正確，用排除法可知，選項正確，用排除法可知，選項D D錯誤，故選錯誤，故選D.D.5 26 672x610 ，3.(20123.(2012德陽中考德陽中考) )已知一組數(shù)據(jù)已知一組數(shù)據(jù)1010，8 8，9 9，x x，5 5的眾數(shù)是的眾數(shù)是8 8，那么這組數(shù)據(jù)的方差是，那么這組數(shù)據(jù)的方差是( )( )（A A）2.8 2.8 （B B） （C C）2 2 （D D）5 5【解析【解析】選選A.A.這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是8 8，x=8.x=8.這組數(shù)據(jù)的平均這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是數(shù)是 根據(jù)方差公式計算根據(jù)方差公式計算s s2 2= = (10-8)(10-8)2 2+(8-8)+(8-8)2 2+(9-8)+(9-8)2 2+(8-8)+(8-8)2 2+(5-8)+(5-8)2 2=2.8.=2.8.143108985x85 ，15【技巧點撥【技巧點撥】平均數(shù)、方差與數(shù)據(jù)的四種變化規(guī)律平均數(shù)、方差與數(shù)據(jù)的四種變化規(guī)律設(shè)一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為設(shè)一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為 方差為方差為s s2 2. .1.1.當(dāng)數(shù)據(jù)都增加當(dāng)數(shù)據(jù)都增加a a時，平均數(shù)為時，平均數(shù)為 方差為方差為s s2 2; ;2.2.當(dāng)數(shù)據(jù)都減少當(dāng)數(shù)據(jù)都減少a a時，平均數(shù)為時，平均數(shù)為 方差為方差為s s2 2; ;3.3.當(dāng)數(shù)據(jù)都擴大當(dāng)數(shù)據(jù)都擴大a a倍時，平均數(shù)為倍時，平均數(shù)為 方差為方差為a a2 2s s2 2; ;4.4.當(dāng)數(shù)據(jù)都縮小當(dāng)數(shù)據(jù)都縮小 倍時，平均數(shù)為倍時，平均數(shù)為 方差為方差為x,xa ，xa ，ax，1a1xa，221s .a 極差、方差的應(yīng)用極差、方差的應(yīng)用【例【例2 2】（】（8 8分）（分）（20112011麗水中考麗水中考) )王大伯幾年前承辦了甲、王大伯幾年前承辦了甲、乙兩片荒山，各栽乙兩片荒山，各栽100100棵楊梅樹，成活棵楊梅樹，成活98%98%，現(xiàn)已掛果，經(jīng)濟效，現(xiàn)已掛果，經(jīng)濟效益初步顯現(xiàn)，為了分析收成情況，他分別從兩山上隨意各采摘益初步顯現(xiàn)，為了分析收成情況，他分別從兩山上隨意各采摘了了4 4棵樹上的楊梅，每棵的產(chǎn)量如折線統(tǒng)計圖所示棵樹上的楊梅，每棵的產(chǎn)量如折線統(tǒng)計圖所示. .（1 1）分別計算甲、乙兩山樣本的平均數(shù)，并估算出甲、乙兩山）分別計算甲、乙兩山樣本的平均數(shù)，并估算出甲、乙兩山楊梅的產(chǎn)量總和；楊梅的產(chǎn)量總和；（2 2）試通過計算說明，哪個山上的楊梅產(chǎn)量較穩(wěn)定？）試通過計算說明，哪個山上的楊梅產(chǎn)量較穩(wěn)定？【規(guī)范解答【規(guī)范解答】（1 1） （_）4 4=40(=40(千克千克) )，1 1分分 （_）4=40(4=40(千克千克) )，2 2分分總產(chǎn)量為總產(chǎn)量為4040100100_2 27 840(7 840(千克千克).).3 3分分x甲50+36+40+3450+36+40+34x乙36+40+48+3636+40+48+3698%98%（2 2）s s甲甲2 2 (50(5040)40)2 2(36(3640)40)2 2(40(4040)40)2 2(34(3440)40)2 2 38(38(千克千克2 2) )，5 5分分s s乙乙2 2 (36(3640)40)2 2(40(4040)40)2 2(48(4840)40)2 2(36(3640)40)2 2 24(24(千克千克2 2) )，7 7分分_ _，_山上的楊梅產(chǎn)量較穩(wěn)定山上的楊梅產(chǎn)量較穩(wěn)定. .8 8分分1414s s甲甲2 2s s乙乙2 2乙乙【自主歸納【自主歸納】方差的應(yīng)用方差的應(yīng)用方差是反映一組數(shù)據(jù)與其平均值方差是反映一組數(shù)據(jù)與其平均值_程度大小的指標(biāo)，方差程度大小的指標(biāo)，方差越小，說明這組數(shù)據(jù)越越小，說明這組數(shù)據(jù)越_. .離散離散穩(wěn)定穩(wěn)定【對點訓(xùn)練【對點訓(xùn)練】4.(20114.(2011德州中考德州中考) )某賽季甲、乙兩名籃球運動員某賽季甲、乙兩名籃球運動員1212場比賽得場比賽得分情況用圖表示如下：分情況用圖表示如下：對這兩名運動員的成績進行比較，下列四個結(jié)論中，不正確的對這兩名運動員的成績進行比較，下列四個結(jié)論中，不正確的是是( )( )（A A）甲運動員得分的極差大于乙運動員得分的極差）甲運動員得分的極差大于乙運動員得分的極差（B B）甲運動員得分的中位數(shù)大于乙運動員得分的中位數(shù)）甲運動員得分的中位數(shù)大于乙運動員得分的中位數(shù)（C C）甲運動員的得分平均數(shù)大于乙運動員的得分平均數(shù)）甲運動員的得分平均數(shù)大于乙運動員的得分平均數(shù)（D D）甲運動員的成績比乙運動員的成績穩(wěn)定）甲運動員的成績比乙運動員的成績穩(wěn)定【解析【解析】選選D.D.由統(tǒng)計圖可知甲運動員得分的極差大于乙運動員由統(tǒng)計圖可知甲運動員得分的極差大于乙運動員得分的極差，得分的極差，A A正確正確; ;甲運動員在甲運動員在6 6、7 7場的成績比乙運動員的高，場的成績比乙運動員的高，因而中位數(shù)也高，故因而中位數(shù)也高，故B B也正確；由圖易知甲運動員的總成績要比也正確；由圖易知甲運動員的總成績要比乙運動員的高，則得分平均數(shù)也高，故乙運動員的高，則得分平均數(shù)也高，故C C也正確；由圖可以看出也正確；由圖可以看出表示甲運動員成績的折線沒有乙運動員的平緩，因而乙運動員表示甲運動員成績的折線沒有乙運動員的平緩，因而乙運動員的成績比甲運動員的成績穩(wěn)定，故的成績比甲運動員的成績穩(wěn)定，故D D錯誤錯誤. .5.5.（20122012鹽城中考）甲、乙、丙、丁四人進行射擊測試鹽城中考）甲、乙、丙、丁四人進行射擊測試, ,每每人人1010次射擊的平均成績恰好都是次射擊的平均成績恰好都是9.49.4環(huán)環(huán), ,方差分別是方差分別是s s甲甲2 2=0.90,=0.90,s s乙乙2 2=1.22,s=1.22,s丙丙2 2=0.43,s=0.43,s丁丁2 2=1.68.=1.68.在本次射擊測試中在本次射擊測試中, ,成績最穩(wěn)成績最穩(wěn)定的是定的是( )( )（A A）甲）甲 （B B）乙）乙 （C C）丙）丙 （D D）?。┒　窘馕觥窘馕觥窟x選C.C.成績的穩(wěn)定性取決于方差的大小，方差越小越穩(wěn)定，成績的穩(wěn)定性取決于方差的大小，方差越小越穩(wěn)定，選選C.C.【特別提醒【特別提醒】極差與方差應(yīng)用的兩點注意極差與方差應(yīng)用的兩點注意1.1.當(dāng)多組數(shù)據(jù)的平均數(shù)相同或接近時，一般用極差或方差來判當(dāng)多組數(shù)據(jù)的平均數(shù)相同或接近時，一般用極差或方差來判定其穩(wěn)定程度；定其穩(wěn)定程度；2.2.注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，方差的計算較為繁瑣，數(shù)據(jù)的穩(wěn)注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，方差的計算較為繁瑣，數(shù)據(jù)的穩(wěn)定程度也可以通過圖象，根據(jù)其波動幅度的大小來判斷定程度也可以通過圖象，根據(jù)其波動幅度的大小來判斷. . 【易錯誤區(qū)【易錯誤區(qū)】忽視統(tǒng)計量的綜合分析忽視統(tǒng)計量的綜合分析【例】（【例】（20112011雅安中考雅安中考) )某初中數(shù)學(xué)老師要從甲乙兩位學(xué)生某初中數(shù)學(xué)老師要從甲乙兩位學(xué)生中選一名參加數(shù)學(xué)競賽，甲乙兩人前中選一名參加數(shù)學(xué)競賽，甲乙兩人前5 5學(xué)期的數(shù)學(xué)成績?nèi)缦卤韺W(xué)期的數(shù)學(xué)成績?nèi)缦卤? :第一學(xué)第一學(xué)期期第二學(xué)第二學(xué)期期第三學(xué)第三學(xué)期期第四學(xué)第四學(xué)期期第五學(xué)第五學(xué)期期甲甲75758080858590909595乙乙95958787888880807575（1 1）分別求出甲乙二人前五學(xué)期的數(shù)學(xué)平均成績）分別求出甲乙二人前五學(xué)期的數(shù)學(xué)平均成績; ;（2 2）在圖中分別畫出甲、乙前五學(xué)期數(shù)學(xué)成績折線圖）在圖中分別畫出甲、乙前五學(xué)期數(shù)學(xué)成績折線圖. .（3 3）如果你是老師，你認(rèn)為該選哪位學(xué)生參加數(shù)學(xué)競賽？請簡）如果你是老師，你認(rèn)為該選哪位學(xué)生參加數(shù)學(xué)競賽？請簡要說明理由要說明理由. .【錯誤解答【錯誤解答】（1 1）甲的前五學(xué)期的數(shù)學(xué)平均成績?yōu)椋┘椎那拔鍖W(xué)期的數(shù)學(xué)平均成績?yōu)?8585，乙的前五學(xué)期的數(shù)學(xué)平均成績乙的前五學(xué)期的數(shù)學(xué)平均成績= =85;= =85;（2 2） 7580859095595878880755（3 3）甲同學(xué)成績的方差為：）甲同學(xué)成績的方差為：s s甲甲2 2 (75-85)(75-85)2 2+(80-85)+(80-85)2 2+(85-85)+(85-85)2 2+(90-85)+(90-85)2 2+(95-85)+(95-85)2 2=50=50s s乙乙2 2 (95-85)(95-85)2 2+(87-85)+(87-85)2 2+(88-85)+(88-85)2 2+(80-85)+(80-85)2 2+(75-85)+(75-85)2 2=47.6,=47.6,ss甲甲2 2ss乙乙2 2. .應(yīng)選乙同學(xué)參加競賽應(yīng)選乙同學(xué)參加競賽. .1515【糾錯空間【糾錯空間】1.1.找錯：通過分析錯誤解答過程，可知第找錯：通過分析錯誤解答過程，可知第_步出現(xiàn)了錯誤；步出現(xiàn)了錯誤；2.2.錯因：錯因：_. .3.3.糾錯：糾錯：_. .忽視了實際問題的情景，對數(shù)據(jù)的變化趨勢沒有理忽視了實際問題的情景，對數(shù)據(jù)的變化趨勢沒有理清，單純從方差的角度去考慮問題清，單純從方差的角度去考慮問題從折線統(tǒng)計圖可以看出，甲、乙兩位同學(xué)的成績走從折線統(tǒng)計圖可以看出，甲、乙兩位同學(xué)的成績走勢為甲同學(xué)的成績穩(wěn)步上升，乙同學(xué)的成績呈下降趨勢，所勢為甲同學(xué)的成績穩(wěn)步上升，乙同學(xué)的成績呈下降趨勢，所以應(yīng)該選甲同學(xué)參加競賽以應(yīng)該選甲同學(xué)參加競賽【即時訓(xùn)練【即時訓(xùn)練】（20102010德州中考）某工廠甲、乙兩名工人參加操作技能培德州中考）某工廠甲、乙兩名工人參加操作技能培訓(xùn)現(xiàn)分別從他們在培訓(xùn)期間參加的若干次測試成績中隨機抽訓(xùn)現(xiàn)分別從他們在培訓(xùn)期間參加的若干次測試成績中隨機抽取取8 8次，記錄如下：次，記錄如下：(1)(1)請你計算這兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)；請你計算這兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)；(2)(2)現(xiàn)要從中選派一人參加操作技能比賽，從統(tǒng)計學(xué)的角度考慮，現(xiàn)要從中選派一人參加操作技能比賽，從統(tǒng)計學(xué)的角度考慮，你認(rèn)為選派哪名工人參加合適？請說明理由你認(rèn)為選派哪名工人參加合適？請說明理由 甲甲95958282888881819393797984847878乙乙83839292808095959090808085857575【解析【解析】(1) (1) (95+82+88+81+93+79+84+78)=85(95+82+88+81+93+79+84+78)=85， (83+92+80+95+90+80+85+75)=85(83+92+80+95+90+80+85+75)=85這兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)都是這兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)都是8585這兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)分別為這兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)分別為8383，8484(2)(2)派甲參賽比較合適理由如下：由派甲參賽比較合適理由如下：由(1)(1)知知 （78-8578-85）2 2+ +（79-8579-85）2 2+ +（81-8581-85）2 2+ +（82-8582-85）2 2+ +（84-8584-85）2 2+(88-85)+(88-85)2 2+ +（93-8593-85）2 2+ +（95-8595-85）2 2=35.5.=35.5. （75-8575-85）2 2+ +（80-8580-85）2 2+ +（80-8580-85）2 2+ +（83-8583-85）2 2+ +（85-8585-85）2 2+ +（90-8590-85）2 2+ +（92-8592-85）2 2+ +（95-8595-85）2 2=41.=41.1x8甲1x8乙xx甲乙，21s8甲21s8乙 s s甲甲2 2sPP1 1，派乙參賽比較合適派乙參賽比較合適xx甲乙，13P8，241P82【狀元心得【狀元心得】應(yīng)用統(tǒng)計量預(yù)測的兩點關(guān)注應(yīng)用統(tǒng)計量預(yù)測的兩點關(guān)注1.1.全面考慮：綜合考慮各個統(tǒng)計量，不要只針對單一的統(tǒng)計量全面考慮：綜合考慮各個統(tǒng)計量，不要只針對單一的統(tǒng)計量就進行判斷；就進行判斷；2.2.針對實際：要認(rèn)真分析題意，根據(jù)實際問題的要求選用合適針對實際：要認(rèn)真分析題意，根據(jù)實際問題的要求選用合適的統(tǒng)計量進行合理科學(xué)的評判，做到有理有據(jù)的統(tǒng)計量進行合理科學(xué)的評判，做到有理有據(jù). .