第二節(jié) 證明不等式的基本方法、 數(shù)學歸納法與不等式證明1 1不等式的證明方法不等式的證明方法(1)(1)比較法比較法作差比較法作差比較法知道知道ab ab a ab0b0，ab ab a ab0bbab，即證，即證_作商比較法作商比較法由由ab0ab0 1 1，因此當，因此當a0a0，b0b0時，欲證時，欲證_，即證，即證 11a ab0b0abababab(2)(2)綜合法與分析法綜合法與分析法綜合法綜合法從已知的基本不等式出發(fā)，利用不等式的基本性質(zhì)導出欲證不從已知的基本不等式出發(fā)，利用不等式的基本性質(zhì)導出欲證不等式，這種證明方法稱為綜合法等式，這種證明方法稱為綜合法. .所謂綜合法就是由所謂綜合法就是由“_”_”導導“_”_”，從，從_出發(fā)，利出發(fā)，利用用_等逐步推進，證得等逐步推進，證得_的方法的方法. .因因果果題設條件題設條件已知定義、公理、定理已知定義、公理、定理所要求證的結(jié)論所要求證的結(jié)論分析法分析法從從_出發(fā)，執(zhí)出發(fā)，執(zhí)“_”_”索索“_”_”，層層推求使結(jié)，層層推求使結(jié)論成立的論成立的_條件，直至條件，直至_為為止，進而斷言原不等式成立，這種方法稱為分析法止，進而斷言原不等式成立，這種方法稱為分析法. . (3) (3)反證法的證明步驟反證法的證明步驟第一步第一步: :假設假設_，也就是說，也就是說_;_;第二步第二步: :結(jié)合結(jié)合_，進而推理論證，最后推出，進而推理論證，最后推出_的結(jié)果，從而斷定假設錯誤的結(jié)果，從而斷定假設錯誤. .因而確定要證明的不等式成立因而確定要證明的不等式成立. .欲證的不等式欲證的不等式果果因因充分充分能夠肯定這些充分條件已經(jīng)具備能夠肯定這些充分條件已經(jīng)具備所要證的不等式不成立所要證的不等式不成立不等式的反不等式的反面成立面成立已知條件已知條件和已知條件或已知不等式相矛盾和已知條件或已知不等式相矛盾(4)(4)放縮法放縮法所謂放縮法是證明不等式時，通過把不等式中的某些部分的值所謂放縮法是證明不等式時，通過把不等式中的某些部分的值_或或_，簡化不等式，從而達到證明目的的方法，簡化不等式，從而達到證明目的的方法. .放大放大縮小縮小【即時應用即時應用】(1)(1)設設0 0 x x1 1，則，則 中最大的一個是中最大的一個是_._.(2)(2)對實數(shù)對實數(shù)a a和和x x而言，不等式而言，不等式x x3 3+13a+13a2 2x x5ax5ax2 2+9a+9a3 3成立的充要條成立的充要條件是件是_._.(3)(3)若若x,yx,y均為正數(shù)，且均為正數(shù)，且x+yx+y2 2，求證，求證: : 與與 中至少有一中至少有一個小于個小于2.2.當你利用反證法證明此題時，第一步是假設當你利用反證法證明此題時，第一步是假設_._.(4)(4)設設a0a0，b0b0，M M ，N N ，則，則M M與與N N的大的大小關系是小關系是_1a2xb1xc1x ，1yx1xyabab2 aba2b2【解析解析】(1)0(1)0 x x1 1，只需比較只需比較1+x1+x與與 的大小的大小. .1+x1+x . .從而最大的一個是從而最大的一個是c.c.1x2 x4x2x.11x2211x1x1x01x1x1x ，11x(2)(x(2)(x3 3+13a+13a2 2x)x)(5ax(5ax2 2+9a+9a3 3) )=x=x3 35ax5ax2 2+13a+13a2 2x x9a9a3 3=(x=(xa)(xa)(x2 24ax+9a4ax+9a2 2) )=(x=(xa)a)(x(x2a)2a)2 2+5a+5a2 20.0.當當x2a0 x2a0時，有時，有(x(x2a)2a)2 2+5a+5a2 20.0.由題意故只需由題意故只需x xa a0 0即即x xa a，以上過程可逆，以上過程可逆. .所以不等式成立的充要條件是：所以不等式成立的充要條件是：x xa.a.(3)(3)至少有一個小于至少有一個小于2 2的否定是均不小于的否定是均不小于2 2，假設，假設 與與 均均不小于不小于2 2，即，即 2 2且且 2.2.(4)a0(4)a0，b0b0，N NMN.Ma (3) (1)c (2)xa (3) (4)MN(4)MN1yx1xy1yx1xyababa2b2ab2ab2 abM.ab2 1y1x22xy且2.2.數(shù)學歸納法數(shù)學歸納法數(shù)學歸納法兩大步：數(shù)學歸納法兩大步：(1)(1)歸納奠基：證明當歸納奠基：證明當n=nn=n0 0時命題時命題_;_;(2)(2)歸納遞推：假設歸納遞推：假設n=k(knn=k(kn0 0， kNkN* *) )時命題成立，證明當時命題成立，證明當n=_n=_時命題也成立時命題也成立. . 只要完成這兩個步驟，就可以斷定命題對從只要完成這兩個步驟，就可以斷定命題對從n n0 0開始的所有正整開始的所有正整數(shù)數(shù)n n都成立都成立. . 成立成立k+1k+1【即時應用即時應用】(1)(1)思考思考: :在歸納假設中在歸納假設中“n n0 0=1”=1”對嗎對嗎? ?提示提示: :不一定，不一定，n n0 0是使命題成立的正整數(shù)中的最小值，有時是是使命題成立的正整數(shù)中的最小值，有時是n n0 0=1=1或或n n0 0=2.=2.有時有時n n0 0的值也比較大的值也比較大. .而不是一定從而不是一定從1 1開始取值開始取值. .(2)(2)用數(shù)學歸納法證明用數(shù)學歸納法證明“ “ n(nN1)”n1)”時，由時，由n nk(k1)k(k1)不等式成立，推證不等式成立，推證n nk k1 1時，左邊應增加的時，左邊應增加的項數(shù)是項數(shù)是_._.【解析解析】應增加的項數(shù)為應增加的項數(shù)為(2(2k k1 11)1)(2(2k k1)1)2 2k k1 12 2k k2 2k k. .答案答案: :2 2k k 1111232n 1 熱點考向熱點考向 1 1 應用比較法證明不等式應用比較法證明不等式【方法點睛方法點睛】比較法證明不等式的兩種思路比較法證明不等式的兩種思路(1)(1)作差比較法證明不等式是不等式證明的最基本的方法作差比較法證明不等式是不等式證明的最基本的方法. .作差作差后需要判斷差的符號，作差變形的方法常常是因式分解后，把后需要判斷差的符號，作差變形的方法常常是因式分解后，把差寫成積的形式或配成完全平方式差寫成積的形式或配成完全平方式. .(2)(2)作商法要注意使用條件，如作商法要注意使用條件，如 1 1推出推出a ab b，這里要注意，這里要注意a a、b b兩數(shù)的符號兩數(shù)的符號. . ab【例例1 1】(1)(1)設設x1,y1,x1,y1,證明證明x+y+x+y+(2)1abc(2)1abc，證明，證明logloga ab+logb+logb bc+logc+logc calogalogb ba+loga+logc cb+logb+loga ac.c.【解題指南解題指南】欲證第欲證第(1)(1)題不等式成立題不等式成立, ,只需判斷左右兩式之差只需判斷左右兩式之差的正負性；觀察第的正負性；觀察第(2)(2)題的特征題的特征, ,通過換底公式化歸為通過換底公式化歸為(1)(1)的形式的形式, ,根據(jù)第根據(jù)第(1)(1)題的結(jié)論證明題的結(jié)論證明. .1xy11xyxy；【規(guī)范解答規(guī)范解答】(1)(1)由由x1,y1x1,y1得得從而從而 成立成立. .111(xy)(xy)xyxy 2222x yxy1yxx yxyx xy 1y xy 1xy1xy 1xyxy 1x1y 1,xy xy 1x1y 10,xy111xyxyxyxy(2)(2)當當1abc1bab，cdcda acbcbd d只適用于同向不等式只適用于同向不等式, ,而反向不等式之而反向不等式之間不能想當然地運用間不能想當然地運用. .11x,yxy11xy1xy111xyxyxyxy【變式訓練變式訓練】若實數(shù)若實數(shù)x1x1，求證：，求證：3(1+x3(1+x2 2+x+x4 4) )(1+x+x(1+x+x2 2) )2 2. .【證明證明】3(1+x3(1+x2 2+x+x4 4)-(1+x+x)-(1+x+x2 2) )2 2=3+3x=3+3x2 2+3x+3x4 4-1-x-1-x2 2-x-x4 4-2x-2x-2x-2x2 2-2x-2x3 3=2(x=2(x4 4-x-x3 3-x+1)=2(x-1)-x+1)=2(x-1)2 2(x(x2 2+x+1)+x+1)=2(x-1)=2(x-1)2 2(x+ )(x+ )2 2+ + . .x1x1，從而，從而(x-1)(x-1)2 20,0,且且(x+ )(x+ )2 2+ + 0 0，2(x-1)2(x-1)2 2(x+ )(x+ )2 2+ + 0 0，3(1+x3(1+x2 2+x+x4 4) )(1+x+x(1+x+x2 2) )2 2. .121212343434熱點考向熱點考向 2 2 分析法與綜合法分析法與綜合法【方法點睛方法點睛】分析法與綜合法在證明中的應用分析法與綜合法在證明中的應用在證明不等式的過程中，分析法和綜合法是不能分離的，如果在證明不等式的過程中，分析法和綜合法是不能分離的，如果使用綜合法證明不等式難以入手時，常用分析法探索證題途徑，使用綜合法證明不等式難以入手時，常用分析法探索證題途徑，之后用綜合法的形式寫出它的證明過程，有時問題證明難度較之后用綜合法的形式寫出它的證明過程，有時問題證明難度較大，常使用分析綜合法，實現(xiàn)兩頭往中間靠以達到證題目的大，常使用分析綜合法，實現(xiàn)兩頭往中間靠以達到證題目的. 【例例2 2】已知已知a a1 1，n2n2，nNnN* *. . 求證：求證：【解題指南解題指南】觀察本題特征觀察本題特征, ,通過乘方運算通過乘方運算, ,將其化歸為不含有將其化歸為不含有根式的不等式根式的不等式, ,證之證之. .【規(guī)范解答規(guī)范解答】方法一：欲證方法一：欲證 ，即證，即證 . .令令a a1=t1=t0 0，則，則a=t+1.a=t+1.也就是證也就是證 ，即，即 成立成立. .na1a 1.nna1a 1nna1a1n()ntt1 (1) .nn1nnnnttt(1)1CC ( )1tnnn na1a 1n方法二：因本題左式含有根號方法二：因本題左式含有根號, ,所以通過換元法所以通過換元法, , 設設a=xa=xn n，x x1.1.則原不等式可化為則原不等式可化為 , , 即證即證 . .聯(lián)想到等比數(shù)聯(lián)想到等比數(shù)列前列前n n項和項和1+x+1+x+x+xn n1 1= ,= ,因因x x1,1,故故1+x+1+x+x+xn n1 1n n顯然成顯然成立立, ,得證得證. .nx1x 1n nx1nx1nx1x1【反思反思感悟感悟】 1. 1.當欲證的不等式中含有分式或根式時當欲證的不等式中含有分式或根式時, ,通常通常利用分析法利用分析法, ,通過去分母或乘方運算通過去分母或乘方運算, ,進行恒等變形進行恒等變形, ,化歸為整式化歸為整式不等式不等式, ,再利用綜合法證之再利用綜合法證之. .2. 2. 所謂所謂“綜合法綜合法”、“分析法分析法”其實是證明題的兩種書寫格式，其實是證明題的兩種書寫格式，而不是真正意義上的證明方法，從本題證明過程可知而不是真正意義上的證明方法，從本題證明過程可知, ,中間步驟中間步驟利用了放縮法利用了放縮法, ,對于展開式對于展開式, ,可通過舍去其中的若干項達到縮小可通過舍去其中的若干項達到縮小的目的的目的, ,或增加若干項達到放大的目的或增加若干項達到放大的目的; ;對于值為正數(shù)的分式對于值為正數(shù)的分式, ,通通過對分母的放大或縮小達到縮小或放大的目的過對分母的放大或縮小達到縮小或放大的目的. .【變式訓練變式訓練】當當n3,nNn3,nN時，求證：時，求證：2 2n n2(n+1).2(n+1).【證明證明】22n n=(1+1)=(1+1)n n= = =2(n+1),2=2(n+1),2n n2(n+1).2(n+1).12n1n 1nnnnnnn1CCC1CCC 【變式備選變式備選】求證：求證：a a2 2+b+b2 2ab+a+b-1.ab+a+b-1.【證明證明】(a(a2 2+b+b2 2)-(ab+a+b-1)-(ab+a+b-1)=a=a2 2+b+b2 2-ab-a-b+1-ab-a-b+1= (2a= (2a2 2+2b+2b2 2-2ab-2a-2b+2)-2ab-2a-2b+2)= = (a(a2 2-2ab+b-2ab+b2 2)+(a)+(a2 2-2a+1)+(b-2a+1)+(b2 2-2b+1)-2b+1)= = (a-b)(a-b)2 2+(a-1)+(a-1)2 2+(b-1)+(b-1)2 20,0,aa2 2+b+b2 2ab+a+b-1.ab+a+b-1.121212熱點考向熱點考向 3 3 反證法反證法【方法點睛方法點睛】反證法的基本思想反證法的基本思想反證法的基本思想是否定結(jié)論就會導致矛盾它可以用下面的反證法的基本思想是否定結(jié)論就會導致矛盾它可以用下面的程序來表示：程序來表示：“否定否定推理推理矛盾矛盾肯定肯定”“否定否定”假設所要證明的結(jié)論不成立，而結(jié)論的反面成立假設所要證明的結(jié)論不成立，而結(jié)論的反面成立. .“推理推理”從已知條件和假設出發(fā)，應用一系列的論據(jù)進行從已知條件和假設出發(fā)，應用一系列的論據(jù)進行推理推理. .“矛盾矛盾”通過推導，推出與通過推導，推出與“實際需要實際需要”不符、與不符、與“公理公理”矛盾、與矛盾、與“已知定理已知定理”矛盾、與矛盾、與“定義定義”矛盾、與矛盾、與“題設題設”矛矛盾、自相矛盾等盾、自相矛盾等“肯定肯定”由于推理過程正確，故矛盾是由假設所引起的，由于推理過程正確，故矛盾是由假設所引起的，因此，假設是錯誤的，從而肯定原結(jié)論是正確的因此，假設是錯誤的，從而肯定原結(jié)論是正確的 【例例3 3】已知已知a a，bRbR，且，且a ab b1 1，用反證法求證：，用反證法求證：(a(a2)2)2 2【解題指南解題指南】本題是一個肯定性的結(jié)論本題是一個肯定性的結(jié)論, ,可利用反證法可利用反證法, ,假設其假設其不成立不成立, ,將約束條件代入其中將約束條件代入其中, ,消去消去b,b,得到一個關于得到一個關于a a的不等式的不等式, ,再通過配方法得到矛盾的結(jié)果再通過配方法得到矛盾的結(jié)果, ,證之證之. .225b2 .2【規(guī)范解答規(guī)范解答】假設假設(a(a2)2)2 2(b(b2)2)2 2 ，則則 a a2 2b b2 24(a4(ab)b)8 8 . .由由a ab b1 1，得，得b b1 1a a，于是有，于是有a a2 2(1(1a)a)2 21212 . .所以所以(a(a ) )2 20 0，這與，這與(a(a ) )2 200矛盾矛盾. .故假設不成立，所以故假設不成立，所以(a(a2)2)2 2(b(b2)2)2 2 . .2522522521212252【互動探究互動探究】若本題條件若本題條件“a,bR”a,bR”改為改為“a a0,b0,b0 0，”其余其余條件不變條件不變, ,如何用反證法證明如何用反證法證明: :【證明證明】假設假設設設a=cosa=cos2 2,b=sin,b=sin2 2,則則= = =a1b16. a1b16. 2( a1b1) ab22a1 (b1)2232cos1 (sin1)即即即即sinsin2 2221.1.這與這與sinsin2 22121矛盾矛盾. .假設不成立假設不成立. .2132sin 22 64 213sin 22.42 21sin 22 04 219sin 22.44 a1b16. 【反思反思感悟感悟】1.1.用反證法證明命題時，推導出的矛盾可能多用反證法證明命題時，推導出的矛盾可能多種多樣，有的與已知矛盾，有的與假設矛盾，有的與事實相違種多樣，有的與已知矛盾，有的與假設矛盾，有的與事實相違背等，推導出的矛盾必須是明顯的背等，推導出的矛盾必須是明顯的. .2.2.宜用反證法證明的題型：宜用反證法證明的題型：(1)(1)易導出與已知矛盾的命題；易導出與已知矛盾的命題；(2)(2)一些基本定理；一些基本定理；(3)(3)“否定性否定性”命題；命題；(4)(4)“唯一性唯一性”命題；命題；(5)(5)“必然性必然性”命題；命題；(6)(6)“至少至少”、“至多至多”命題等命題等. .3.3.注意事項：應用反證法證明命題時，反設必須恰當，如注意事項：應用反證法證明命題時，反設必須恰當，如“都都是是”的否定是的否定是“不都是不都是”、“至少一個至少一個”的否定是的否定是“不存在不存在”等等. .【變式備選變式備選】已知已知a,b,c,dR,a,b,c,dR,且且a+b=c+d=1,ac+bd1,a+b=c+d=1,ac+bd1,求證求證:a,b,c,d:a,b,c,d中至少有一個是負數(shù)中至少有一個是負數(shù). .【證明證明】假設假設a,b,c,da,b,c,d都是非負數(shù)，都是非負數(shù)，a+b=c+d=1a+b=c+d=1，(a+b)(c+d)=1(a+b)(c+d)=1，又又(a+b)(c+d)=ac+bc+ad+bdac+bd(a+b)(c+d)=ac+bc+ad+bdac+bd，即即ac+bd1,ac+bd1,這與這與ac+bd1ac+bd1矛盾，矛盾，所以所以a,b,c,da,b,c,d中至少有一個是負數(shù)中至少有一個是負數(shù). .熱點考向熱點考向 4 4 數(shù)學歸納法數(shù)學歸納法數(shù)學歸納法的關鍵及放縮法數(shù)學歸納法的關鍵及放縮法(1)(1)用數(shù)學歸納法證明不等式的關鍵是第二步，因為第二步在歸用數(shù)學歸納法證明不等式的關鍵是第二步，因為第二步在歸納假設的基礎上又構(gòu)成了一個新的命題，這時要用到不等式證納假設的基礎上又構(gòu)成了一個新的命題，這時要用到不等式證明的基本方法明的基本方法. .(2)(2)放縮放縮法是證明不等式的基本思路，具體放縮方法有公式放縮法是證明不等式的基本思路，具體放縮方法有公式放縮和利用函數(shù)的單調(diào)性放縮等和利用函數(shù)的單調(diào)性放縮等.常用技巧有：舍去一些項；在和或常用技巧有：舍去一些項；在和或積中放大或縮小某些項；擴大或縮小分式的分子或分母等積中放大或縮小某些項；擴大或縮小分式的分子或分母等. 【例例4 4】(2012(2012湖北高考湖北高考) (1) (1)已知函數(shù)已知函數(shù)f(x)f(x)rxrxx xr r(1(1r)(x0)r)(x0)，其中，其中r r為有理數(shù)，且為有理數(shù)，且0r1.0r1q1，且滿足且滿足a a2 2a a4 4=64,a=64,a3 3+2+2是是a a2 2,a,a4 4的等差中項的等差中項. .(1)(1)求數(shù)列求數(shù)列aan n 的通項公式；的通項公式；(2)(2)設設A An n=a=an+1n+1-2,B-2,Bn n= = ，試比較，試比較A An n與與B Bn n的大小，并證明的大小，并證明你的結(jié)論你的結(jié)論. .【解析解析】(1)(1)aan n0,a0,a3 3=8.=8.aa3 3+2+2是是a a2 2,a,a4 4的等差中項，的等差中項，22n 1log a22433a a64,a64,a8. 2(a2(a3 3+2)=a+2)=a2 2+a+a4 4, ,即即20= +8q,20= +8q,即即2q2q2 2-5q+2=0,-5q+2=0,解得解得q=2q=2或或q= (q= (舍去舍去) )，數(shù)列數(shù)列aan n 的通項公式為的通項公式為 (2) (2)由由(1)(1)得得當當n=1n=1時，時，A A1 1=2=2，B B1 1=(1+1)=(1+1)2 2=4=4，A A1 1BB1 1；當當n=2n=2時，時，A A2 2=6=6，B B2 2=(2+1)=(2+1)2 2=9=9，A A2 2BB2 2；當當n=3n=3時，時，A A3 3=14=14，B B3 3=(3+1)=(3+1)2 2=16=16，A A3 3BBB4 4；8q12n 3n 3nn3aa q8 22 . 2n 12n 1nn2A22,Blog 2n1，由上可猜想，當由上可猜想，當1n31n3時，時，A An nBBBn n. .下面用數(shù)學歸納法給出證明：下面用數(shù)學歸納法給出證明：當當n=4n=4時，已驗證不等式成立時，已驗證不等式成立. .假設當假設當n=k(k4n=k(k4，kNkN* *) )時，時，A Ak kBBk k成立，成立，即即2 2k+1k+1-2(k+1)-2(k+1)2 2, ,則當則當n=k+1n=k+1時時,A,Ak+1k+1=2=2k+2k+2-2=2-2=2(2(2k+1k+1-2)+2k-2)+2k2 2+4k+4=+4k+4=(k+1)+1(k+1)+12 2=B=Bk+1k+1, ,即當即當n=k+1n=k+1時不等式也成立，時不等式也成立，由知，當由知，當n4(nNn4(nN* *) )時時,A,An nBBn n. .