第第4節(jié)指數(shù)函數(shù)節(jié)指數(shù)函數(shù)基 礎(chǔ) 梳 理 1根式的概念(1)根式的概念n次方根的概念及討論符號表示備注一般地，如果_，那么x叫做a的n次方根n1且nN*當(dāng)n為奇數(shù)時，正數(shù)的n次方根是一個_，負(fù)數(shù)的n次方根是一個_零的n次方根是零當(dāng)n為偶數(shù)時，正數(shù)的n次方根有_，它們互為_負(fù)數(shù)沒有偶次方根xna正數(shù)負(fù)數(shù)兩個相反數(shù)aaaa2有理數(shù)指數(shù)冪(1)冪的有關(guān)概念正整數(shù)指數(shù)冪：an_ (nN*)；零指數(shù)冪：a0_(a0)；負(fù)整數(shù)指數(shù)冪：ap_ (a0，pN*)；aa10的指數(shù)冪：0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于_,0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪無意義0(2)有理數(shù)指數(shù)冪的性質(zhì)aras_(a0，r、sQ)；(ar)s_(a0，r、sQ)；(ab)r_(a0，b0，rQ)arsarsarbr3指數(shù)函數(shù)(1)指數(shù)函數(shù)的概念解析式：_自變量：_；定義域： _.yax(a0且a1)xR(2)指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)解析式y(tǒng)ax(a0，且a1)參數(shù)分類0a1圖象圖象特征在x軸上方，過定點(diǎn)(0,1)當(dāng)x逐漸增大時，圖象逐漸下降呈“捺”狀當(dāng)x逐漸增大時，圖象逐漸上升呈“撇”狀解析式y(tǒng)ax(a0，且a1)定義域R值域單調(diào)性遞_遞_函數(shù)值變化規(guī)律當(dāng)x0時，y_當(dāng)x0時，0y1當(dāng)x0時，0y0時，y_1(0，)減增1質(zhì)疑探究：如圖是指數(shù)函數(shù)(1)yax，(2)ybx，(3)ycx，(4)ydx的圖象，底數(shù)a，b，c，d與1之間的大小關(guān)系如何？你能得到什么規(guī)律？提示：圖中直線x1與它們圖象交點(diǎn)的縱坐標(biāo)即為它們各自底數(shù)的值，即c1d11a1b1，cd1ab.一般規(guī)律：在y軸右(左)側(cè)圖象越高(低)，其底數(shù)越大解析： 答案：D 2已知函數(shù)f(x)4ax1(a0且a1)的圖象恒過定點(diǎn)P，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是()A(1,5)B(1,4)C(0,4)D(4,0)解析：當(dāng)x10即x1時，f(1)415，因此圖象恒過定點(diǎn)P(1,5)故選A.答案：A答案：A 4函數(shù)y(a23a3)ax是指數(shù)函數(shù)，則a_.答案：2考 點(diǎn) 突 破 例1求值與化簡：指數(shù)式的化簡與求值 冪的運(yùn)算的一般規(guī)律及要求(3)在進(jìn)行冪的運(yùn)算時，一般是先將根式化成冪的形式，并化小數(shù)指數(shù)冪為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，再利用冪的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行運(yùn)算(4)結(jié)果不能同時含有根式和分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，也不能既有分母又有負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪 指數(shù)函數(shù)的圖象及應(yīng)用思維導(dǎo)引(1)根據(jù)運(yùn)算的含義，寫出f(x)的解析式，然后選擇f(x)的圖象(2)把方程的解的個數(shù)問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象交點(diǎn)的個數(shù)問題解決(2)由2x2x0得2x2x.在同一坐標(biāo)系內(nèi)分別作出函數(shù)y12x與y22x的圖象，如圖所示由圖象可以看出，函數(shù)y12x與y22x的圖象只有一個交點(diǎn)，故方程2xx20只有一個解答案(1)A(2)1(1)與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)圖象可以利用相應(yīng)指數(shù)函數(shù)的圖象，通過平移、對稱變換而得到；(2)一些指數(shù)方程根的個數(shù)、指數(shù)不等式解集等問題，常利用相應(yīng)指數(shù)函數(shù)的圖象數(shù)形結(jié)合求解即時突破2 (1)若函數(shù)yaxb1(a0且a1)的圖象經(jīng)過第二、三、四象限，則a、b的取值范圍是_(2)方程|3x1|k有兩解，則k的范圍為_解析：(1)函數(shù)yaxb1的圖象經(jīng)過第二、三、四象限，所以函數(shù)必為減函數(shù)故0a1.又當(dāng)x0時，y0，即a0b10，b0.(2)畫出函數(shù)y|3x1|的大致圖象如圖所示由圖象可以看出，當(dāng)0k1時，方程|3x1|k有兩個解答案：(1)a(0,1)，b(，0)(2)(0,1)指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用 求解與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)問題，首先要熟知指數(shù)函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性等相關(guān)性質(zhì)，其次要明確復(fù)合函數(shù)的構(gòu)成，涉及值域、單調(diào)區(qū)間、最值等問題時，都要借助“同增異減”這一性質(zhì)分析判斷解析：(1)函數(shù)y1.7x，y0.6x分別為R上的增函數(shù)、減函數(shù)，因此1.72.51.73,0.610.62，故選項(xiàng)A錯，B正確因0.80.11.250.1，又1.250.11.250.2，即0.80.11.250.2，故選項(xiàng)C錯170.31.7010.900.93.1，故選項(xiàng)D錯，故選B.分類討論思想在求參數(shù)問題中的應(yīng)用典題設(shè)a0且a1，函數(shù)ya2x2ax1在1,1上的最大值是14，求a的值分析：先換元轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)最值問題，再分a1,0a1兩種情況討論，得到關(guān)于a的方程，再求解a的值由于指數(shù)函數(shù)yax(a0且a1)的單調(diào)性與a的取值有關(guān)，故涉及指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與最值問題，當(dāng)?shù)讛?shù)不確定時，一般需分a1和0a1兩種情況討論