第第6講離散型隨機變量的均值與方差講離散型隨機變量的均值與方差 知 識 梳 理 1離散型隨機變量的均值與方差若離散型隨機變量X的分布列為P(Xxi)pi，i1,2，n(1)均值：稱E(X) 為隨機變量X的均值或數(shù)學(xué)期望x1p1x2p2xipixnpn標(biāo)準(zhǔn)差 2均值與方差的性質(zhì)(1)E(aXb) .(2)V(aXb) (a，b為常數(shù)) 3兩點分布與二項分布的均值、方差aE(X)ba2V(X)均值方差變量X服從兩點分布E(X)V(X)XB(n，p) E(X)V(X)pnpp(1p)np(1p) 辨 析 感 悟 1離散型隨機變量的均值與方差( 1 ) 期 望 是 算 術(shù) 平 均 數(shù) 概 念 的 推 廣 ， 與 概 率 無關(guān)()(2)(教材習(xí)題改編)在籃球比賽中，罰球命中1次得1分，不中得0分如果某運動員罰球命中的概率為0.7，那么他罰球1次的得分X的均值是0.7，方差是0.21.() 2均值與方差的性質(zhì)(3)隨機變量的方差和標(biāo)準(zhǔn)差都反映了隨機變量取值偏離均值的平均程度，方差或標(biāo)準(zhǔn)差越小，則偏離均值的平均程度越小()(4)已知X的分布列為(5)(2013上海卷改編)設(shè)等差數(shù)列x1，x2，x3，x19的公差為1，若隨機變量X等可能地取值x1，x2，x3，x19，則方差V(X)30.() 感悟提升 1對均值(或數(shù)學(xué)期望)的理解(1)期望是算術(shù)平均值概念的推廣，是概率意義下的平均，如(1)(2)E(X)是一個實數(shù)，由X的分布列唯一確定，即X作為隨機變量是可變的，而E(X)是不變的，它描述X取值的平均狀態(tài)(3)公式E(X)x1p1x2p2xnpn直接給出了E(X)的求法，即隨機變量取值與相應(yīng)概率值分別相乘后相加，由此可知，求E(X)的關(guān)鍵在于寫出隨機變量的分布列 考點一離散型隨機變量的均值與方差 【例1】 (2013浙江卷)設(shè)袋子中裝有a個紅球，b個黃球，c個藍球，且規(guī)定：取出一個紅球得1分，取出一個黃球得2分，取出一個藍球得3分(1)當(dāng)a3，b2，c1時，從該袋子中任取(有放回，且每球取到的機會均等)2個球，記隨機變量X為取出此2球所得分?jǐn)?shù)之和，求X的分布列；審題路線(1)對取出球的顏色進行分類以確定得分值，進而確定隨機變量X的取值，計算相應(yīng)的概率，再列出分布列(2)用a，b，c表示出Y取值的概率，列出隨機變量Y的分布列，求出均值和方差，轉(zhuǎn)化為關(guān)于a，b，c的方程求解規(guī)律方法 求解該類問題，首先要理解問題的關(guān)鍵，其次要準(zhǔn)確無誤地找出隨機變量的所有可能取值，計算出相應(yīng)的概率，寫出隨機變量的分布列，正確運用均值、方差公式進行計算，也就是要過“三關(guān)”：閱讀理解關(guān)；概率計算關(guān)；公式應(yīng)用關(guān)，如方差、期望公式要準(zhǔn)確理解、記憶 【訓(xùn)練1】 (2014南昌質(zhì)檢)如圖，從A1(1,0,0)，A2(2,0,0)，B1(0,1,0)，B2(0,2,0)，C1(0,0,1)，C2(0,0,2)這6個點中隨機選取3個點，將這3個點及原點O兩兩相連構(gòu)成一個“立體”，記該“立體”的體積為隨機變量V(如果選取的3個點與原點在同一個平面內(nèi)，此時“立體”的體積V0)(1)求V0的概率；(2)求V的分布列及數(shù)學(xué)期望E(V) 考點二與二項分布有關(guān)的均值、方差(1)若小明選擇方案甲抽獎，小紅選擇方案乙抽獎，記他們的累計得分為X，求X3的概率；(2)若小明、小紅兩人都選擇方案甲或都選擇方案乙進行抽獎，問：他們選擇何種方案抽獎，累計得分的數(shù)學(xué)期望較大？審題路線(1)易知X0,2,3,5，則“X3”與“X5”為對立事件，根據(jù)相互獨立事件與對立事件公式計算(2)每種方案的得分與中獎次數(shù)有關(guān)，且中獎次數(shù)服從二項分布，運用均值的性質(zhì)求解法二設(shè)小明、小紅都選擇方案甲所獲得的累計得分為Y1，都選擇方案乙所獲得的累計得分為Y2，則Y1，Y2的分布列為：規(guī)律方法 求離散型隨機變量的均值與方差的方法：(1)先求隨機變量的分布列，然后利用均值與方差的定義求解(2)若隨機變量XB(n，p)，則可直接使用公式E(X)np，V(X)np(1p)求解 【訓(xùn)練2】 某人投彈命中目標(biāo)的概率p0.8.(1)求投彈一次，命中次數(shù)X的均值和方差；(2)求重復(fù)10次投彈時命中次數(shù)Y的均值和方差解(1)隨機變量X的分布列為因為X服從兩點分布，故E(X)p0.8，V(X)p(1p)0.80.20.16.(2)由題意知，命中次數(shù)Y服從二項分布，即YB(10,0.8)，E(Y)np100.88，V(Y)np(1p)100.80.21.6.X01P0.20.8 考點三均值與方差在決策中的應(yīng)用 【例3】 某投資公司在2014年年初準(zhǔn)備將1 000萬元投資到“低碳”項目上，現(xiàn)有兩個項目供選擇：(1)針對以上兩個投資項目，請你為投資公司選擇一個合理的項目，并說明理由；(2)若市場預(yù)期不變，該投資公司按照你選擇的項目長期投資(每一年的利潤和本金繼續(xù)用作投資)，問大約在哪一年的年底總資產(chǎn)(利潤本金)可以翻一番？(參考數(shù)據(jù)：lg 20.301 0，lg 30.477 1)解(1)若按“項目一”投資，設(shè)獲利為X1萬元則X1的分布列為若按“項目二”投資，設(shè)獲利X2萬元，則X2的分布列為：規(guī)律方法 (1)解決此類題目的關(guān)鍵是正確理解隨機變量取每一個值所表示的具體事件，求得該事件發(fā)生的概率，列出分布列(2)隨機變量的期望反映了隨機變量取值的平均水平，方差反映了隨機變量穩(wěn)定于均值的程度，它們從整體和全局上刻畫了隨機變量，是生產(chǎn)實際中用于方案取舍的重要理論依據(jù) 【訓(xùn)練3】 受轎車在保修期內(nèi)維修費等因素的影響，企業(yè)生產(chǎn)每輛轎車的利潤與該轎車首次出現(xiàn)故障的時間有關(guān)某轎車制造廠生產(chǎn)甲、乙兩種品牌轎車，保修期均為2年現(xiàn)從該廠已售出的兩種品牌轎車中各隨機抽取50輛，統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下：品牌甲乙首次出現(xiàn)故障時間x(年)0 x1 1202轎車數(shù)量(輛)2345545每輛利潤(萬元)1231.82.9將頻率視為概率，解答下列問題：(1)從該廠生產(chǎn)的甲品牌轎車中隨機抽取一輛，求其首次出現(xiàn)故障發(fā)生在保修期內(nèi)的概率(2)若該廠生產(chǎn)的轎車均能售出，記生產(chǎn)一輛甲品牌轎車的利潤為X1，生產(chǎn)一輛乙品牌轎車的利潤為X2，分別求X1，X2的分布列(3)該廠預(yù)計今后這兩種品牌轎車銷量相當(dāng)，由于資金限制，只能生產(chǎn)其中一種品牌的轎車若從經(jīng)濟效益的角度考慮，你認(rèn)為應(yīng)生產(chǎn)哪種品牌的轎車？說明理由 1數(shù)學(xué)期望與方差的性質(zhì)(1)E(aXb)aE(X)b，V(aXb)a2V(X)(a，b為常數(shù))(2)若X服從兩點分布，則E(X)p，V(X)p(1p)(3)若X服從二項分布，即XB(n，p)，則E(X)np，V(X)np(1p) 2求離散型隨機變量均值與方差的基本方法(1)已知隨機變量的分布列求它的均值、方差，按定義求解(2)已知隨機變量X的均值、方差，求X的線性函數(shù)YaXb的均值、方差，可直接用X的均值、方差的性質(zhì)求解(3)如果所給隨機變量是服從常用的分布(如兩點分布、二項分布等)，利用它們的均值、方差公式求解 易錯辨析10不能正確理解題目條件致誤 【典例】 (2014石家莊調(diào)研)根據(jù)以往的經(jīng)驗，某工程施工期間的降水量X(單位：mm)對工期的影響如下表：歷年氣象資料表明，該工程施工期間降水量X小于300,700,900的概率分別為0.3,0.7,0.9，求：(1)工程延誤天數(shù)Y的均值與方差；(2)在降水量X至少是300的條件下，工期延誤不超過6天的概率降水量XX300300X700700X900X900工期延誤天數(shù)Y02610錯解(1)由條件和概率的加法有：P(X300)0.3，P(300X700)P(X700)P(X300)0.70.30.4，P(700X900)P(X900)P(X700)0.90.70.2，P(X900)1P(X900)10.90.1.所以Y的分布列為：于是，E(Y)00.320.460.2100.13；V(Y)(03)20.3(23)20.4(63)20.2(103)20.19.8.故工期延誤天數(shù)Y的均值為3，方差為9.8.Y02610P0.30.40.20.1(2)由(1)知，在降水量X至少是300 mm條件下，工期不超過6天的概率為PP(Y2)P(Y6)0.40.20.6.錯因第(2)問中，在降水量X至少是300 mm的條件下，這一條件說明是在延誤工期的條件下，求工期延誤不超過6天的概率，錯解中沒有在這條件下求概率防范措施(1)求某事件概率，首先理解題意，分清概率模型，恰當(dāng)選擇概率計算公式，本題是條件概率，應(yīng)利用條件概率公式計算(2)解決期望和方差問題時，認(rèn)真計算，正確利用期望和方差公式，避免失誤 【自主體驗】(2013北京卷)下圖是某市3月1日至14日的空氣質(zhì)量指數(shù)趨勢圖，空氣質(zhì)量指數(shù)小于100表示空氣質(zhì)量優(yōu)良，空氣質(zhì)量指數(shù)大于200表示空氣重度污染某人隨機選擇3月1日至3月13日中的某一天到達該市，并停留2天(1)求此人到達當(dāng)日空氣重度污染的概率；(2)設(shè)X是此人停留期間空氣質(zhì)量優(yōu)良的天數(shù)，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望；(3)由圖判斷從哪天開始連續(xù)三天的空氣質(zhì)量指數(shù)方差最大？(結(jié)論不要求證明)