想一想想一想, 做一做做一做 在等腰三角形中作出一些線(xiàn)段在等腰三角形中作出一些線(xiàn)段(如角平分線(xiàn)、中線(xiàn)、如角平分線(xiàn)、中線(xiàn)、高等高等)，你能發(fā)現(xiàn)其中一些相等的線(xiàn)段嗎，你能發(fā)現(xiàn)其中一些相等的線(xiàn)段嗎? 你能證明你的你能證明你的結(jié)論嗎結(jié)論嗎? 作圖觀察作圖觀察,我們可以發(fā)現(xiàn)：我們可以發(fā)現(xiàn)：等腰三角形兩底角的平分等腰三角形兩底角的平分線(xiàn)相等；兩腰上的高、中線(xiàn)也分別相等線(xiàn)相等；兩腰上的高、中線(xiàn)也分別相等 我們知道，觀察或度量是不夠的，感覺(jué)不可靠這我們知道，觀察或度量是不夠的，感覺(jué)不可靠這就需要以公理和已證明的定理為基礎(chǔ)去證明它，讓人們就需要以公理和已證明的定理為基礎(chǔ)去證明它，讓人們堅(jiān)定不移地去承認(rèn)它，相信它堅(jiān)定不移地去承認(rèn)它，相信它 下面我們就來(lái)證明上面提到的線(xiàn)段中的一種：下面我們就來(lái)證明上面提到的線(xiàn)段中的一種：等腰等腰三角形兩底角的平分線(xiàn)相等三角形兩底角的平分線(xiàn)相等已知：如圖，在已知：如圖，在ABC中，中， AB=AC， BD、CE是是ABC的角平分線(xiàn)的角平分線(xiàn)例例1. 證明證明: 等腰三角形兩底角的平分線(xiàn)相等等腰三角形兩底角的平分線(xiàn)相等.用心想一想，馬到功成用心想一想，馬到功成21EDCBA求證：求證：BD=CE證明：證明：AB=AC，ABC=ACB(等邊對(duì)等角等邊對(duì)等角) 1= ABC，2= ACB，1=2 在在BDC和和CEB中，中， ACB=ABC，BC=CB，1=2 BDC CEB(ASA) BD=CE(全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等)2121已知：如圖，在已知：如圖，在ABC中，中， AB=AC， BD、CE是是ABC的角平分線(xiàn)的角平分線(xiàn)例例1. 證明證明: 等腰三角形兩底角的平分線(xiàn)相等等腰三角形兩底角的平分線(xiàn)相等.用心想一想，馬到功成用心想一想，馬到功成43EDCBA求證：求證：BD=CE證明：證明：AB=AC，ABC=ACB 3= ABC，4= ACB， 3=4 在在ABD和和ACE中，中， 3=4，AB=AC，A=A ABD ACE(ASA) BD=CE(全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等)2121已知：如圖，在已知：如圖，在ABC中，中， AB=AC， BD、CE是是ABC的高的高1. 證明證明: 等腰三角形兩腰上的高相等等腰三角形兩腰上的高相等.求證：求證：BD=CEEDCBA 分析：分析：要證要證BD=CE，就需證，就需證BD和和CE所在的兩所在的兩個(gè)三角形的全等個(gè)三角形的全等已知：如圖，在已知：如圖，在ABC中，中， AB=AC， BD、CE是是ABC的中線(xiàn)的中線(xiàn)2. 證明證明: 等腰三角形兩腰上的中線(xiàn)相等等腰三角形兩腰上的中線(xiàn)相等.求證：求證：BD=CEEDCBA 分析：分析：要證要證BD=CE，就需證，就需證BD和和CE所在的兩所在的兩個(gè)三角形的全等個(gè)三角形的全等 剛才，我們只是發(fā)現(xiàn)并證明了等腰三角形中比較剛才，我們只是發(fā)現(xiàn)并證明了等腰三角形中比較特殊的線(xiàn)段特殊的線(xiàn)段(角平分線(xiàn)、中線(xiàn)、高角平分線(xiàn)、中線(xiàn)、高)相等，還有其他的相等，還有其他的結(jié)論嗎結(jié)論嗎?你能從上述證明的過(guò)程中得到什么啟示你能從上述證明的過(guò)程中得到什么啟示? 把腰二等分的線(xiàn)段相等，把底角二等分的線(xiàn)段相把腰二等分的線(xiàn)段相等，把底角二等分的線(xiàn)段相等如果是三等分、四等分等如果是三等分、四等分結(jié)果如何呢結(jié)果如何呢?想一想想一想, 做一做做一做議一議議一議 1在等腰三角形在等腰三角形ABC中，中，(1)如果如果ABD= ABC，ACE= ACB，那么，那么BD=CE嗎嗎?如果如果ABD= ABC，ACE= ACB呢呢?由此，你能得到一個(gè)什么結(jié)論由此，你能得到一個(gè)什么結(jié)論?(2)如果如果AD= AC，AE= AB，那么，那么BD=CE嗎嗎?如果如果AD= AC，AE= AB呢呢?由此你得到什么結(jié)論由此你得到什么結(jié)論?3131313141414141小結(jié)小結(jié) （1）在）在ABC中，如果中，如果AB=AC，ABD= ABC，ACE= ACB，那么，那么BD=CE. （2）在）在ABC中，如果中，如果AB=AC，AD= AC，AE= AB，那么，那么BD=CE.n1n1n1n1 簡(jiǎn)述為：簡(jiǎn)述為： （1）在）在ABC中，如果中，如果AB=AC，ABD=ACE，那么，那么BD=CE. （2）在）在ABC中，如果中，如果AB=AC，AD=AE，那么，那么BD=CE. 2前面已經(jīng)證明了等腰三角形的兩個(gè)底角相等，前面已經(jīng)證明了等腰三角形的兩個(gè)底角相等，反過(guò)來(lái)，有兩個(gè)角相等的三角形是等腰三角形嗎反過(guò)來(lái)，有兩個(gè)角相等的三角形是等腰三角形嗎?議一議議一議已知：在已知：在ABC中，中，B=C，求證：求證：AB=AC 分析：分析：只要構(gòu)造兩個(gè)全等的三角形，使只要構(gòu)造兩個(gè)全等的三角形，使AB與與AC成為對(duì)應(yīng)邊就可以了成為對(duì)應(yīng)邊就可以了. 比如作比如作BC的中線(xiàn)，或的中線(xiàn)，或作角作角A的平分線(xiàn)，或作的平分線(xiàn)，或作BC上的高，都可以把上的高，都可以把ABC分成兩個(gè)全等的三角形分成兩個(gè)全等的三角形 CBA定理：定理：有兩個(gè)角相等的三角形是等腰三角形有兩個(gè)角相等的三角形是等腰三角形. (等角對(duì)等邊等角對(duì)等邊.)等腰三角形的判定定理：等腰三角形的判定定理：想一想想一想 小明說(shuō)，在一個(gè)三角形中，如果兩個(gè)角不相等，那么這小明說(shuō)，在一個(gè)三角形中，如果兩個(gè)角不相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也不相等你認(rèn)為這個(gè)結(jié)論成立嗎兩個(gè)角所對(duì)的邊也不相等你認(rèn)為這個(gè)結(jié)論成立嗎?如果成如果成立，你能證明它嗎立，你能證明它嗎? 我們來(lái)看一位同學(xué)的想法：我們來(lái)看一位同學(xué)的想法： 如圖，在如圖，在ABC中，已知中，已知BC，此，此時(shí)時(shí)AB與與AC要么相等，要么不相等要么相等，要么不相等 假設(shè)假設(shè)AB=AC，那么根據(jù)，那么根據(jù)“等邊對(duì)等角等邊對(duì)等角”定理可得定理可得C=B，但已知條件是，但已知條件是BC“C=B”與已知條件與已知條件“BC”相矛相矛盾，因此盾，因此 ABAC 你能理解他的推理過(guò)程嗎你能理解他的推理過(guò)程嗎?CBA 再例如，我們要證明再例如，我們要證明ABC中不可能有兩個(gè)直角，也可中不可能有兩個(gè)直角，也可以采用這位同學(xué)的證法以采用這位同學(xué)的證法. 假設(shè)有兩個(gè)角是直角，不妨設(shè)假設(shè)有兩個(gè)角是直角，不妨設(shè)A=90，B=90，可得可得A+B=180，但，但ABC中中A+B+C=180“A+B=180”與與“A+B+C=180”相矛盾，相矛盾，因此因此ABC中不可能有兩個(gè)直角中不可能有兩個(gè)直角 上面的證法有什么共同的特點(diǎn)呢上面的證法有什么共同的特點(diǎn)呢? 在上面的證法中，都是先假設(shè)命題的結(jié)論不成立，然在上面的證法中，都是先假設(shè)命題的結(jié)論不成立，然后由此推導(dǎo)出了與已知或公理或已證明過(guò)的定理相矛盾，后由此推導(dǎo)出了與已知或公理或已證明過(guò)的定理相矛盾，從而證明命題的結(jié)論一定成立我們把它叫做從而證明命題的結(jié)論一定成立我們把它叫做反證法反證法 已知：如圖，已知：如圖，CAE是是ABC的外角，的外角，ADBC且且1=2求證：求證：AB=AC隨堂練習(xí)隨堂練習(xí) 21BACED課時(shí)小結(jié)課時(shí)小結(jié) 本節(jié)課我們通過(guò)觀察探索、發(fā)現(xiàn)并證明了等腰三本節(jié)課我們通過(guò)觀察探索、發(fā)現(xiàn)并證明了等腰三角形中相等的線(xiàn)段，并由特殊結(jié)論歸納出一般結(jié)論，角形中相等的線(xiàn)段，并由特殊結(jié)論歸納出一般結(jié)論，接著用接著用“反過(guò)來(lái)反過(guò)來(lái)”思考問(wèn)題的方法獲得并證明了等腰思考問(wèn)題的方法獲得并證明了等腰三角形的判定定理三角形的判定定理“等角對(duì)等邊等角對(duì)等邊”，最后結(jié)合實(shí)例了，最后結(jié)合實(shí)例了解了反證法的含義解了反證法的含義 活動(dòng)與探究活動(dòng)與探究 如圖，如圖，BD平分平分CBA，CD平分平分ACB，且，且MNBC，設(shè)設(shè)AB=12，AC=18，則，則AMN的周長(zhǎng)是的周長(zhǎng)是 . 分析：分析：要求要求AMN的周長(zhǎng)，的周長(zhǎng)，則需求出則需求出AM+MN+AN，而這三條，而這三條邊都是未知的由已知邊都是未知的由已知AB=12，AC=18，可使我們聯(lián)想到，可使我們聯(lián)想到AMN的周長(zhǎng)需轉(zhuǎn)化成與的周長(zhǎng)需轉(zhuǎn)化成與AB、AC有關(guān)系有關(guān)系的形式而已知中的角平分線(xiàn)和平的形式而已知中的角平分線(xiàn)和平行線(xiàn)告訴我們圖形中有等腰三角形行線(xiàn)告訴我們圖形中有等腰三角形出現(xiàn)，因此，找到問(wèn)題的突破口出現(xiàn)，因此，找到問(wèn)題的突破口 NMCBAD