11.3 11.3 二項式定理二項式定理 知識梳理知識梳理t57301p21.1.二項式定理：二項式定理：L01122 211()nnnnnnnnnnnnnabC aC abC abCabC b-+=+2.2.二項展開式的通項：二項展開式的通項：1knkkknTC ab-+=k0 0，1 1，2 2，n. 3.3.二項式系數(shù)的性質：二項式系數(shù)的性質：（1 1）與首末兩端）與首末兩端“等距離等距離”的兩個二項的兩個二項式系數(shù)相等式系數(shù)相等. .（2 2）二項式系數(shù)的前半部分是遞增的，）二項式系數(shù)的前半部分是遞增的，后半部分是遞減的，且在中間取得最大后半部分是遞減的，且在中間取得最大值值. .當當n n為偶數(shù)時，正中間一項的二項式為偶數(shù)時，正中間一項的二項式系數(shù)最大；當系數(shù)最大；當n n為奇數(shù)時，正中間兩項的為奇數(shù)時，正中間兩項的二項式系數(shù)相等且為最大二項式系數(shù)相等且為最大. . （3 3）所有二項式系數(shù)之和等于）所有二項式系數(shù)之和等于2 2n， 所有奇數(shù)項的二項式系數(shù)之和與所有偶所有奇數(shù)項的二項式系數(shù)之和與所有偶數(shù)項的二項式系數(shù)之和相等，且都等于數(shù)項的二項式系數(shù)之和相等，且都等于 2 2n1 1，即，即0122nnnnnnCCCC+=LLL02413512nnnnnnnCCCCCC-+=+=4.4.楊輝三角：楊輝三角： 1 11 1 1 2 1 1 2 1 1 3 3 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 4 6 4 1 1 5 10 1 5 10 1010 5 1 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 6 15 20 15 6 1 （1 1）每行兩端的數(shù)都是）每行兩端的數(shù)都是1 1；（2 2）每行與兩端）每行與兩端“等距離等距離”的兩數(shù)相等；的兩數(shù)相等；（3 3）在相鄰的兩行中，除）在相鄰的兩行中，除1 1以外的每一個數(shù)以外的每一個數(shù)都等于它都等于它“肩上肩上”兩個數(shù)的和，等等兩個數(shù)的和，等等. .拓展延伸拓展延伸 1.1.二項式定理是以公式的形式給出的二項式定理是以公式的形式給出的一個恒等式，其中一個恒等式，其中n是正整數(shù)，是正整數(shù)，a，b可以可以任意取值，也可以是代數(shù)式任意取值，也可以是代數(shù)式. . 2.2.二項展開式在結構上有如下一些基二項展開式在結構上有如下一些基本特征：本特征：（1 1）共有）共有n n1 1項；項；（2 2）字母）字母a的最高次數(shù)為的最高次數(shù)為n且按降冪排且按降冪排列，字母列，字母b的最高次數(shù)為的最高次數(shù)為n且按升冪排列；且按升冪排列；（3 3）各項中）各項中a與與b的指數(shù)冪之和都是的指數(shù)冪之和都是n；（4 4）各項的二項式系數(shù)依次為：）各項的二項式系數(shù)依次為：012,nnnnnCCCCL 3.3.二項展開式中各項二項展開式中各項的系數(shù)與二項式的系數(shù)與二項式系數(shù)是兩個不同概念，各項的系數(shù)與系數(shù)是兩個不同概念，各項的系數(shù)與a，b的取值有關，各項的二項式系數(shù)與的取值有關，各項的二項式系數(shù)與a，b的取值無關，二項式系數(shù)的性質不能類的取值無關，二項式系數(shù)的性質不能類推到二項展開式的系數(shù)推到二項展開式的系數(shù). .4.(4.(ab) )n的二項展開式的通項是的二項展開式的通項是. .1( 1)kknkkknTC ab-+=-5.5.在在( (abx) )n的展開式中，令的展開式中，令x1 1，可，可求得各項的系數(shù)之和求得各項的系數(shù)之和. .令令ab1 1，可得，可得這是一種賦值的方法這是一種賦值的方法. . 0122(1)nkknnnnnnnxCC xC xC xC x+=+LL考點分析考點分析考點考點1 1 利用通項公式解決二項展開式中利用通項公式解決二項展開式中的問題的問題 例例1 1 已知已知 展開式中前三項展開式中前三項的系數(shù)成等差數(shù)列，求展開式中的所有的系數(shù)成等差數(shù)列，求展開式中的所有有理項有理項. .41()2nxx 例例2 2 已知已知 展開式中的二項展開式中的二項式系數(shù)之和比式系數(shù)之和比 展開式中的二項展開式中的二項式系數(shù)之和大式系數(shù)之和大992992，在，在 的展開的展開式中，求：式中，求：（1 1）二項式系數(shù)最大的項；）二項式系數(shù)最大的項； （2 2）系數(shù)的絕對值最大的項）系數(shù)的絕對值最大的項. .223()nxx(31)nx21(2)nxx 例例3 3 已知已知 的展開式中的展開式中x x3 3的的系數(shù)為系數(shù)為 ，求，求a的值的值. .9()2axx94【解題要點解題要點】用公式確定通項的系數(shù)與冪指數(shù)用公式確定通項的系數(shù)與冪指數(shù)用方用方程思想求未知數(shù)的值程思想求未知數(shù)的值用待定系數(shù)法求用待定系數(shù)法求項數(shù)項數(shù). .考點考點2 2 求展開式的系數(shù)和求展開式的系數(shù)和 例例4 4 設設求（求（1 1） ； （2 2） . .6521101211(1) (12 )xxaa xa xa x12311aaaa02410aaaa 例例5 5 設設1 1x xx x2 2x x3 3x x9 9 求求 的值的值. .290129(1)(1)(1)aa xaxax1238aaaa【解題要點解題要點】利用賦值思想求系數(shù)和與常數(shù)項利用賦值思想求系數(shù)和與常數(shù)項通過通過比較求最高次項系數(shù)比較求最高次項系數(shù). .考點考點3 3 二項式定理的應用二項式定理的應用 例例6 6 設設nNnN，n2n2，求證：，求證： （1 1） ； （2 2） . .12(1)3nn22(1)(1)4nn aaa 例例7 7 求下列各數(shù)的近似值求下列各數(shù)的近似值( (精確到精確到 0.001):0.001):（1 1）1.021.028 8； （2 2）0.9980.9986 6. . 例例8 8 求下列各式的和：求下列各式的和：(1) (1) (2) (2) 0123212222222333nnnnnnnnCCCCCC0112231nnnnnnnnnnC CC CC CCC【解題要點解題要點】利用二項式定理展開指數(shù)式利用二項式定理展開指數(shù)式適當放縮適當放縮變形變形逆用二項式定理求組合數(shù)的和逆用二項式定理求組合數(shù)的和構造二項恒等式比較系數(shù)求組合數(shù)的和構造二項恒等式比較系數(shù)求組合數(shù)的和. .