線(xiàn)性回歸方程 【課標(biāo)要求】 1通過(guò)收集現(xiàn)實(shí)問(wèn)題中兩個(gè)有關(guān)聯(lián)變量的數(shù)據(jù)作出散點(diǎn)圖，并利用散點(diǎn)圖直觀認(rèn)識(shí)變量間的相關(guān)關(guān)系； 2在兩個(gè)變量具有線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系時(shí)，會(huì)用線(xiàn)性回歸方程進(jìn)行預(yù)測(cè)； 3知道最小平方法的含義，知道最小平方法的思想，能根據(jù)給出的線(xiàn)性回歸方程系數(shù)公式建立線(xiàn)性回歸方程 【核心掃描】 1散點(diǎn)圖的畫(huà)法，回歸直線(xiàn)方程的求解方法(重點(diǎn)) 2回歸直線(xiàn)方程的求解方法，回歸直線(xiàn)方程在現(xiàn)實(shí)生活與生產(chǎn)中的應(yīng)用(難點(diǎn)) 1與函數(shù)關(guān)系不同，相關(guān)關(guān)系是一種 的關(guān)系 2能用直線(xiàn)方程bea近似表示的相關(guān)關(guān)系叫做線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系，該方程叫 ，給出一組數(shù)據(jù)(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)，線(xiàn)性回歸方程中的系數(shù)a，b滿(mǎn)足有關(guān)系，但不是確定性線(xiàn)性回歸方程自學(xué)導(dǎo)引 想一想：1.相關(guān)關(guān)系是不是都為線(xiàn)性關(guān)系？ 提示不是有些變量間的相關(guān)關(guān)系是非線(xiàn)性相關(guān)的 2散點(diǎn)圖只描述具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量所對(duì)應(yīng)點(diǎn)的圖形嗎？ 提示不是兩個(gè)變量統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的圖形都是散點(diǎn)圖 名師點(diǎn)睛 1相關(guān)關(guān)系與函數(shù)關(guān)系的異同點(diǎn)關(guān)系異同點(diǎn)函數(shù)關(guān)系相關(guān)關(guān)系相同點(diǎn)兩者均是指兩個(gè)變量之間的關(guān)系不同點(diǎn)是一種確定性關(guān)系是一種非確定的關(guān)系是兩個(gè)變量之間的關(guān)系一個(gè)為變量，另一個(gè)為隨機(jī)變量；兩個(gè)都是隨機(jī)變量是一種因果關(guān)系不一定是因果關(guān)系，也可能是伴隨關(guān)系 2.回歸直線(xiàn)方程 (1)回歸直線(xiàn)方程的思想方法 回歸直線(xiàn)：觀察散點(diǎn)圖的特征，發(fā)現(xiàn)各點(diǎn)大致分布在一條直線(xiàn)的附近，就稱(chēng)這兩個(gè)變量之間具有線(xiàn)性相關(guān)的關(guān)系，這條直線(xiàn)叫做回歸直線(xiàn) 可見(jiàn)，根據(jù)不同的標(biāo)準(zhǔn)可畫(huà)出不同的直線(xiàn)來(lái)近似表示這種線(xiàn)性關(guān)系比如，可以連接最左側(cè)點(diǎn)和最右側(cè)點(diǎn)得到一條直線(xiàn)；也可以讓畫(huà)出的直線(xiàn)上方的點(diǎn)和下方的點(diǎn)數(shù)目相等，這些辦法，能保證各點(diǎn)與此直線(xiàn)在整體上是最接近的嗎？它們雖然都有一定的道理，但總讓人感到可靠性不強(qiáng) 最小二乘法：實(shí)際上，求回歸直線(xiàn)方程的關(guān)鍵是如何用數(shù)學(xué)的方法來(lái)刻畫(huà)“從整體上看各點(diǎn)與此直線(xiàn)的距離最小”，即最貼近已知的數(shù)據(jù)點(diǎn)，最能代表變量x與y之間的關(guān)系 題型一相關(guān)關(guān)系的判斷 【例1】 下列兩個(gè)變量之間的關(guān)系中，角度和它的余弦值；正方形的邊長(zhǎng)和面積；正n邊形的邊數(shù)和其內(nèi)角度數(shù)之和；人的年齡和身高不是函數(shù)關(guān)系的是_(填序號(hào)) 思路探索 函數(shù)關(guān)系是一種變量之間確定性的關(guān)系而相關(guān)關(guān)系是非確定性關(guān)系 解析選項(xiàng)都是函數(shù)關(guān)系，可以寫(xiě)出它們的函數(shù)表達(dá)式：f()cos ，g(a)a2，h(n)n2，不是函數(shù)關(guān)系，對(duì)于相同年齡的人群中，仍可以有不同身高的人 答案 規(guī)律方法(1)兩變量間主要有兩種關(guān)系：一是確定的函數(shù)關(guān)系，另一是不確定的相關(guān)關(guān)系同時(shí)要注意，兩變量間也可能無(wú)相關(guān)關(guān)系，數(shù)學(xué)中只有統(tǒng)計(jì)部分研究不確定的相關(guān)關(guān)系 (2)函數(shù)關(guān)系與相關(guān)關(guān)系的區(qū)別的關(guān)鍵是“確定性”還是“隨機(jī)性” 【變式1】 下列兩個(gè)變量中具有相關(guān)關(guān)系的是_(填寫(xiě)相應(yīng)的序號(hào)) 正方體的棱長(zhǎng)和體積；角的弧度數(shù)和它的正弦值；單產(chǎn)為常數(shù)時(shí)，土地面積和總產(chǎn)量；日照時(shí)間與水稻的畝產(chǎn)量 解析正方體的棱長(zhǎng)x和體積V存在著函數(shù)關(guān)系Vx3；角的弧度數(shù)和它的正弦值y存在著函數(shù)關(guān)系ysin ；單產(chǎn)為常數(shù)a公斤/畝土地面積x(畝)和總產(chǎn)量y(公斤)之間也存在著函數(shù)關(guān)系yax.日照時(shí)間長(zhǎng)，則水稻的畝產(chǎn)量高，這只是相關(guān)關(guān)系，應(yīng)選. 答案 題型二線(xiàn)性回歸方程的求法 【例2】 假設(shè)關(guān)于某設(shè)備的使用年限x(年)和所支出的維修費(fèi)用y(萬(wàn)元)有如下統(tǒng)計(jì)資料： 若由資料知y對(duì)x呈線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系，求線(xiàn)性回歸方程bxa. 思路探索 本題已知x與y具有線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系，故無(wú)需畫(huà)散點(diǎn)圖進(jìn)行判斷，可直接用公式求解使用年限x(年)23456維修費(fèi)用y(萬(wàn)元)2.23.85.56.57.0 解制表i12345合計(jì)xi2345620yi2.23.8 5.5 6.5 7.025xiyi4.411.422.032.542.0112.3xi24916253690 【變式2】 某商店統(tǒng)計(jì)了近6個(gè)月某商品的進(jìn)價(jià)x與售價(jià)y(單位：元)，對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)如下： 求y對(duì)x的回歸直線(xiàn)方程x3528912y46391214 題型三利用回歸直線(xiàn)對(duì)總體進(jìn)行估計(jì) 【例3】 (14分)下表提供了某廠節(jié)能降耗技術(shù)改造后生產(chǎn)甲產(chǎn)品過(guò)程中記錄的產(chǎn)量x(噸)與相應(yīng)的生產(chǎn)能耗y(噸標(biāo)準(zhǔn)煤)的幾組對(duì)照數(shù)據(jù). (1)請(qǐng)畫(huà)出上表數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖； (2)請(qǐng)根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，用最小平方法求出y關(guān)于x的線(xiàn)性回歸方程； (3)已知該廠技改前100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗為90噸標(biāo)準(zhǔn)煤試根據(jù)(2)求出的線(xiàn)性回歸方程預(yù)測(cè)生產(chǎn)100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗比技改前降低多少?lài)崢?biāo)準(zhǔn)煤？(參考數(shù)值：32.5435464.566.5)x3456y2.5344.5 【題后反思】 解決此類(lèi)問(wèn)題首先根據(jù)所給數(shù)據(jù)畫(huà)出散點(diǎn)圖，根據(jù)散點(diǎn)圖判斷兩個(gè)變量之間是否具有相關(guān)關(guān)系，如果兩個(gè)變量之間不具有相關(guān)關(guān)系，或者說(shuō)，它們之間的關(guān)系不顯著，即使求得了線(xiàn)性回歸方程也是毫無(wú)意義的，而且用其估計(jì)和預(yù)測(cè)的結(jié)果也是不可信的 【變式3】 以下是某地搜集到的新房屋的銷(xiāo)售價(jià)格y和新房屋的面積x的數(shù)據(jù)： (1)畫(huà)出數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的散點(diǎn)圖； (2)求線(xiàn)性回歸方程，并在散點(diǎn)圖中加上回歸直線(xiàn)； (3)據(jù)(2)的結(jié)果估計(jì)當(dāng)新房屋面積為150 m2時(shí)的銷(xiāo)售價(jià)格新房屋面積(m2)11511080135105銷(xiāo)售價(jià)格(萬(wàn)元)24.821.618.429.222 誤區(qū)警示最小二乘法的原理不清而出錯(cuò) 【示例】 已知x、y之間的一組數(shù)據(jù)如下表：x13678y12345 思維突破 題目要求利用最小二乘法思想判斷哪條直線(xiàn)擬合程度更好，不是用散點(diǎn)圖上的點(diǎn)到擬合直線(xiàn)的距離之和最小來(lái)判斷 追本溯源 最小二乘法思想是：計(jì)算散點(diǎn)圖上的各散點(diǎn)與擬合直線(xiàn)ybxa在垂直方向(縱軸方向)上的距離的平方和S，用來(lái)衡量擬合直線(xiàn)ybxa與散點(diǎn)圖中所有點(diǎn)的接近程度，使S達(dá)到最小值的a，b的值就是最好的擬合直線(xiàn)ybxa方程中的a，b，這種方法叫做最小二乘法.