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正五邊形的畫法(共4頁)

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正五邊形的畫法(共4頁)

精選優(yōu)質(zhì)文檔-----傾情為你奉上 正五邊形尺規(guī)作圖的畫法及其他 正五邊形的畫法 圓內(nèi)接正五邊形的畫法如下: 1、 作一個(gè)圓,設(shè)它的圓心為O; 2、作圓的兩條互相垂直的直徑AZ和XY; 3、作OY的中點(diǎn)M; 4、以點(diǎn)M為圓心,MA為半徑作圓,交OX于點(diǎn)N; 5、以點(diǎn)A為圓心,AN為半徑,在圓上連續(xù)截取等弧,使弦AB=BC=CD=DE=AN,則五邊形ABCDE即為正五邊形。 以上兩種圖形的作法運(yùn)用了所求圖形邊長(zhǎng)與已知的線段長(zhǎng)度的關(guān)系,用構(gòu)造直角三角形的方法作出與所求圖形的邊長(zhǎng)相等的線段,從而作出整個(gè)圖形,這是尺規(guī)作圖中常用的一種方法——等線段法,即用已知圖形的線段作出與所求圖形邊長(zhǎng)相等的線段。 正多邊形的尺規(guī)作圖是大家感興趣的.正三邊形很好做;正四邊形稍難一點(diǎn);正六邊形也很好做;正五邊形就更難一點(diǎn),但人們也找到了正五邊形的直規(guī)作圖方法.確實(shí),有的困難一些,有的容易一些.正七邊形的尺規(guī)作圖是容易一些,還是困難一些呢?人們很久很久未找到作正七邊形的辦法,這一事實(shí)本身就說明作正七邊形不容易;一直未找到這種作法,也使人懷疑:究竟用尺規(guī)能否作出正七邊形來?數(shù)學(xué)不容許有這樣的判斷:至今一直沒有人找到正七邊形的尺規(guī)作圖方法來,所以斷言它是不能用尺規(guī)作出的.      人們迅速地解決了正三、四、五、六邊形的尺規(guī)作圖問題,卻在正七邊形面前止步了:究竟能作不能作,得不出結(jié)論來.這個(gè)懸案一直懸而未決兩千余年.       17世紀(jì)的費(fèi)馬,就是我們?cè)谇懊嬉褍纱翁岬搅说哪莻€(gè)法國(guó)業(yè)余數(shù)學(xué)家,他研究了形如 Fi (i為右下角標(biāo))=22i(底數(shù)2指數(shù)2的i次冪)+1 的數(shù). 費(fèi)馬的一個(gè)著名猜想是,當(dāng) n≥3時(shí),不定方程xn+yn=zn沒有正整數(shù)解.現(xiàn)在他又猜測(cè)Fi都是素?cái)?shù),對(duì)于i=0,1,2,3,4時(shí),容易算出來相應(yīng)的Fi: F0=3,F(xiàn)1=5,F(xiàn)2=17, F3=257,F(xiàn)4=65 537      驗(yàn)證一下,這五個(gè)數(shù)的確是素?cái)?shù).F5=225+1是否素?cái)?shù)呢??jī)H這么一個(gè)問題就差不多一百年之后才有了一個(gè)結(jié)論,偉大的歐拉發(fā)現(xiàn)它竟不是素?cái)?shù),因而,偉大的費(fèi)馬這回可是猜錯(cuò)了!F5是兩素?cái)?shù)之積: F5=641×6 700 417.      當(dāng)然,這一事例多少也說明:判斷一個(gè)較大的數(shù)是否素?cái)?shù)也決不是件簡(jiǎn)單的事,不然,何以需要等近百年?何以需要?dú)W拉這樣的人來解決問題?      更奇怪的是,不僅F5不是素?cái)?shù),F(xiàn)6,F(xiàn)7也不是素?cái)?shù),F(xiàn)8,F(xiàn)9,F(xiàn)10,F(xiàn)11等還不是素?cái)?shù),甚至,對(duì)于F14也能判斷它不是素?cái)?shù),但是它的任何真因數(shù)還不知道.至今,人們還只知F0,F(xiàn)1,F(xiàn)2,F(xiàn)3,F(xiàn)4這樣5個(gè)數(shù)是素?cái)?shù).由于除此而外還未發(fā)現(xiàn)其他素?cái)?shù),于是人們產(chǎn)生了一個(gè)與費(fèi)馬的猜想大相徑庭的猜想,形如22i+1的素?cái)?shù)只有有限個(gè).但對(duì)此也未能加以證明.      當(dāng)然,形如Fi=22i+1的素?cái)?shù)被稱為費(fèi)馬素?cái)?shù).由于素?cái)?shù)分解的艱難,不僅對(duì)形如Fi=22i+1的數(shù)的一般結(jié)論很難做出,而且具體分解某個(gè)Fi也不是一件簡(jiǎn)單的事.      更加令人驚奇的事情發(fā)生在距歐拉發(fā)現(xiàn)F5不是素?cái)?shù)之后的60多年,一位德國(guó)數(shù)學(xué)家高斯,在他僅20歲左右之時(shí)發(fā)現(xiàn),當(dāng)正多邊形的邊數(shù)是費(fèi)馬素?cái)?shù)時(shí)是可以尺規(guī)作圖的,他發(fā)現(xiàn)了更一般的結(jié)論:正n邊形可尺規(guī)作圖的充分且必要的條件是 n=2k(2的k次冪)或 2k×p1×p2×…×ps,(1,2…s為右下角標(biāo))      其中,p1,p2,…,ps是費(fèi)馬素?cái)?shù).      正7邊形可否尺規(guī)作圖呢?否!因?yàn)?是素?cái)?shù),但不是費(fèi)馬素?cái)?shù).      倒是正17邊形可尺規(guī)作圖,高斯最初的一項(xiàng)成就就是作出了正17邊形.根據(jù)高斯的理論,還有一位德國(guó)格丁根大學(xué)教授作了正257邊形.      就這樣,一個(gè)懸而未決兩千余年的古老幾何問題得到了圓滿的解決,而這一問題解決的過程是如此的蹊蹺,它竟與一個(gè)沒有猜對(duì)的猜想相關(guān)連.      正17邊形被用最簡(jiǎn)單的圓規(guī)和直尺作出來了,而正多邊形可以換個(gè)角度被視為是對(duì)圓的等分,那么這也相當(dāng)于僅用圓規(guī)和直尺對(duì)圓作了17等分,其圖形更覺完美、好看.高斯本人對(duì)此也頗為欣賞,由此引導(dǎo)他走上數(shù)學(xué)道路(他早期曾在語言學(xué)與數(shù)學(xué)之間猶豫過),而且在他逝后的墓碑上就鐫刻著一個(gè)正17邊形圖案.      高斯把問題是解決得如此徹底,以致有了高斯的定理,我們對(duì)于早已知道如何具體作圖的正三邊形、正五邊形,還進(jìn)而知道了它們?yōu)槭裁茨苡贸咭?guī)作圖,就因?yàn)?和5都是費(fèi)馬素?cái)?shù)(3=F0,5=F1);對(duì)于很久以來未找到辦法來作出的正七邊形,乃至于正11邊形、正 13邊形,現(xiàn)在我們能有把握地說,它們不可能由尺規(guī)作圖,因?yàn)?、11、13都不是費(fèi)馬素?cái)?shù);對(duì)于正257邊形、正65 537邊形,即使我們不知道具體如何作,可是理論上我們已經(jīng)知道它們是可尺規(guī)作圖的;此外,為什么正四邊形、正六邊形可尺規(guī)作圖呢?因?yàn)?=22,因?yàn)?6= 2· 3而 3=F0. 專心---專注---專業(yè)

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