追及和相遇問題追及和相遇問題情境設(shè)置情境設(shè)置 一輛汽車在十字路口等候綠燈，當(dāng)綠燈亮起時一輛汽車在十字路口等候綠燈，當(dāng)綠燈亮起時汽車以汽車以3m/s2的加速度開始行駛，恰在這時一輛的加速度開始行駛，恰在這時一輛自行車以自行車以6m/s的速度勻速駛來，從后面超過汽的速度勻速駛來，從后面超過汽車。試求：車。試求：1秒末自行車與汽車的距離：秒末自行車與汽車的距離：2秒末自行車與汽車的距離：秒末自行車與汽車的距離：3秒末自行車與汽車的距離：秒末自行車與汽車的距離：4秒末自行車與汽車的距離：秒末自行車與汽車的距離：5秒末自行車與汽車的距離：秒末自行車與汽車的距離：6秒末自行車與汽車的距離：秒末自行車與汽車的距離：x1=4.5mx2=6.0mx3=4.5mx4= 0 mx5=7.5mx6=18m【思考分析【思考分析】1汽車從路口開動后，在追上自行車之前經(jīng)汽車從路口開動后，在追上自行車之前經(jīng)過多長時間兩車相距最遠(yuǎn)？此時距離是多少？過多長時間兩車相距最遠(yuǎn)？此時距離是多少？分析：汽車追上自行車之前，分析：汽車追上自行車之前， v汽汽v自自時時 x變小變小解法一解法一 物理分析法物理分析法兩者速度相等時，兩車相距最遠(yuǎn)。兩者速度相等時，兩車相距最遠(yuǎn)。 （速度關(guān)系）（速度關(guān)系） v汽汽=at=v自自 t= v自自/a=6/3=2sx= v自自t at2/2=62 3 22 /2=6m小結(jié)：初速度為零的勻加速直線運動物體追小結(jié)：初速度為零的勻加速直線運動物體追及同向勻速物體時，追上前具有最大距離的及同向勻速物體時，追上前具有最大距離的條件：條件： 解法二解法二 用數(shù)學(xué)求極值方法來求解用數(shù)學(xué)求極值方法來求解設(shè)汽車在追上自行車之前經(jīng)過t時間兩車相距最遠(yuǎn)x=x1x2=v自自t at2/2 （位移關(guān)系）（位移關(guān)系） x=6t 3t2/2由二次函數(shù)求極值條件知由二次函數(shù)求極值條件知t= b/2a = 6/3s = 2s時，時， x最大最大 xm=6t 3t2/2= 62 3 22 /2=6 m 兩者速度相等兩者速度相等解法三解法三 用相對運動求解更簡捷用相對運動求解更簡捷 選勻速運動的自行車為參考系，則從運動開始到相距選勻速運動的自行車為參考系，則從運動開始到相距最遠(yuǎn)這段時間內(nèi)，汽車相對參考系的各個物理量為：最遠(yuǎn)這段時間內(nèi)，汽車相對參考系的各個物理量為：初速度初速度 v0= v汽初汽初v自自=0 6= 6 m/s末速度末速度 vt= v汽末汽末v自自=6 6= 0加速度加速度 a= a汽汽a自自=3 0= 3 m/s2 相距最遠(yuǎn)相距最遠(yuǎn) x= = = 6 mvt2 v02 2a 6223解法四解法四 用圖象求解用圖象求解1）自行車和汽車的）自行車和汽車的v t 圖象圖象 如圖如圖v/（ms-1）v60t/sttV汽汽V自自由于圖線與橫坐標(biāo)軸所包圍的面積表由于圖線與橫坐標(biāo)軸所包圍的面積表示位移的大小，所以由圖上可以看出示位移的大小，所以由圖上可以看出在相遇之前，在在相遇之前，在t時刻兩車速度相等時，時刻兩車速度相等時， 自行車的位移（矩形面積）與汽車位移（三角形面積）自行車的位移（矩形面積）與汽車位移（三角形面積）之差（即斜線部分）達(dá)最大，所以之差（即斜線部分）達(dá)最大，所以t=v自自/a= 6 / 3=2 s2）由圖可看出，在）由圖可看出，在t時刻以后，由時刻以后，由v自自線與線與v汽汽線組成的三線組成的三角形面積與標(biāo)有斜線的三角形面積相等時，兩車的位移相角形面積與標(biāo)有斜線的三角形面積相等時，兩車的位移相等（即相遇）。所以由圖得相遇時，等（即相遇）。所以由圖得相遇時， t=2t=4 s v = 2v自自=12 m/s mtt662212621自自vvs 2什么時候汽車追上自行車，此時汽車的什么時候汽車追上自行車，此時汽車的速度是多少？速度是多少？ 解：汽車追上自行車時，解：汽車追上自行車時，二車位移相等（位移關(guān)系）二車位移相等（位移關(guān)系）則則 vt=at2/26t= at2/2， t=4 s v= at= 34=12 m/s 小結(jié)：分析相遇問題時，一定要分析所需滿小結(jié)：分析相遇問題時，一定要分析所需滿足的兩個關(guān)系：足的兩個關(guān)系： 1.找出兩個物體的運動時間之間的關(guān)系找出兩個物體的運動時間之間的關(guān)系;2.利用兩個物體相遇時必須處于同一位置利用兩個物體相遇時必須處于同一位置,找出兩找出兩個物體位移之間的關(guān)系個物體位移之間的關(guān)系 思考：若自行車超過汽車思考：若自行車超過汽車2s后，汽車才開始加速。那后，汽車才開始加速。那么，前面的么，前面的1、2兩問如何？兩問如何？ 追及和相遇問題的分析方法追及和相遇問題的分析方法: 1.1.根據(jù)對兩個物體的運動過程的分析，畫出運動過程的根據(jù)對兩個物體的運動過程的分析，畫出運動過程的示意圖示意圖2.2.根據(jù)追逐的兩個物體的運動性質(zhì)根據(jù)追逐的兩個物體的運動性質(zhì), ,選擇同一參照物選擇同一參照物, ,列列出兩個物體的位移方程，注意要將兩物體運動時間的關(guān)出兩個物體的位移方程，注意要將兩物體運動時間的關(guān)系反映在方程中系反映在方程中3.3.由運動示意圖找出兩個物體的位移間的關(guān)系方程，這由運動示意圖找出兩個物體的位移間的關(guān)系方程，這是是關(guān)鍵關(guān)鍵4.4.聯(lián)立方程進(jìn)行求解聯(lián)立方程進(jìn)行求解.追及問題中常用的臨界條件追及問題中常用的臨界條件: :速度小者追速度大者速度小者追速度大者, ,追上前兩個物體速度相等時追上前兩個物體速度相等時, ,有有最大距離最大距離; ;速度大者減速追趕速度小者速度大者減速追趕速度小者, ,追上前在兩個物體速度追上前在兩個物體速度相等時相等時, ,有最小距離有最小距離. .即必須在此之前追上即必須在此之前追上, ,否則就不能追否則就不能追上上. .例例2、一車從靜止開始以、一車從靜止開始以1m/s2的加速度前進(jìn)，車后相距的加速度前進(jìn)，車后相距x0為為25m處，某人同時開始以處，某人同時開始以6m/s的速度勻速追車，能的速度勻速追車，能否追上？如追不上，求人、車間的最小距離。否追上？如追不上，求人、車間的最小距離。 解析：解析：依題意，人與車運動的依題意，人與車運動的時間相等時間相等，設(shè)為，設(shè)為t,當(dāng)人追上車時，兩者之間的當(dāng)人追上車時，兩者之間的位移關(guān)系位移關(guān)系為：為：x車車+x0= x人人即：即： at22 + x0= v人人t由此方程求解由此方程求解t，若有解，則可追上；，若有解，則可追上； 若無解，則不能追上。若無解，則不能追上。 代入數(shù)據(jù)并整理得：代入數(shù)據(jù)并整理得：t212t+50=0=b24ac=1224501=560所以，人追不上車。所以，人追不上車。x0v=6m/sa=1m/s2 在剛開始追車時，由于人的速度大于車的速度，因在剛開始追車時，由于人的速度大于車的速度，因此人車間的距離逐漸減??；當(dāng)車速大于人的速度時，此人車間的距離逐漸減小；當(dāng)車速大于人的速度時，人車間的距離逐漸增大。因此，人車間的距離逐漸增大。因此，當(dāng)人車速度相等時，當(dāng)人車速度相等時，兩者間距離最小。兩者間距離最小。at= v人人 t=6s在這段時間里，人、車的位移分別為：在這段時間里，人、車的位移分別為：x人人=v人人t=66=36mx車車=at2/2=162/2=18mx=x0+x車車x人人=25+1836=7m 例例3.3. 在平直公路上有兩輛汽車在平直公路上有兩輛汽車A、B平行同向行駛，平行同向行駛，A車以車以vA=4m/s 的速度做勻速直線運動，的速度做勻速直線運動，B車以車以vB=10m/s的速度做勻速直線運動，當(dāng)?shù)乃俣茸鰟蛩僦本€運動，當(dāng)B車行駛到車行駛到A車車前前x=7m處時關(guān)閉發(fā)動機以處時關(guān)閉發(fā)動機以2m/s2的加速度做勻減速直的加速度做勻減速直線運動，則從此時開始線運動，則從此時開始A車經(jīng)多長時間可追上車經(jīng)多長時間可追上B車？車？ 分析：分析：畫出運動的示意圖如圖所示：畫出運動的示意圖如圖所示：vA= 4m/svB= 10m/s7m追上處追上處a= -2m/s2A A車追上車追上B B車可能有兩種不同情況：車可能有兩種不同情況：B B車停止前被追及和車停止前被追及和B B車停止后被追及。車停止后被追及。究竟是哪一種情況，應(yīng)根據(jù)解答結(jié)果，由實際情況究竟是哪一種情況，應(yīng)根據(jù)解答結(jié)果，由實際情況判斷。判斷。解答：解答：設(shè)經(jīng)時間設(shè)經(jīng)時間t 追上。依題意：追上。依題意： vBt + at2/2 + x = vAt 10t - t 2 + 7 = 4 t t=7s t=-1s(舍去舍去)B車剎車的時間車剎車的時間 t= vB / a =5s顯然，顯然，B車停止后車停止后A再追上再追上B。B車剎車的位移車剎車的位移 xB=vB2/2a=102/4=25m A車的總位移車的總位移 xA=xB+x=32m t =xA/vA=32/4=8s思考：思考：若將題中的若將題中的7m改為改為3m，結(jié)果如何？，結(jié)果如何？答：答：甲車停止前被追及甲車停止前被追及例例4.汽車正以汽車正以10m/s的速度在平直公路上做勻速直線運動的速度在平直公路上做勻速直線運動,突突然發(fā)現(xiàn)正前方然發(fā)現(xiàn)正前方10m處有一輛自行車以處有一輛自行車以4m/s的速度同方向做的速度同方向做勻速直線運動勻速直線運動,汽車立即關(guān)閉油門汽車立即關(guān)閉油門,做加速度為做加速度為6m/s2的勻減的勻減速運動速運動,問：問：（1）汽車能否撞上自行車）汽車能否撞上自行車?若汽車不能撞上自行車，汽車若汽車不能撞上自行車，汽車與自行車間的最近距離為多少？與自行車間的最近距離為多少？（2）汽車減速時，他們間距離至少多大不相撞？）汽車減速時，他們間距離至少多大不相撞？ 汽車在關(guān)閉油門減速后的一段時間內(nèi)，其速度大于自行車汽車在關(guān)閉油門減速后的一段時間內(nèi)，其速度大于自行車速度，因此，汽車和自行車之間的距離在不斷的縮小，當(dāng)速度，因此，汽車和自行車之間的距離在不斷的縮小，當(dāng)這距離縮小到零時，若汽車的速度減至與自行車相同，則這距離縮小到零時，若汽車的速度減至與自行車相同，則能滿足汽車恰好不碰上自行車能滿足汽車恰好不碰上自行車v汽汽= 10m/sv自自= 4m/s10m追上處追上處a= -6m/s2分析：分析：畫出運動的示意圖如圖所示畫出運動的示意圖如圖所示解：解：（1）汽車速度減到汽車速度減到4m/s時運動的時間時運動的時間和發(fā)生的位移分別為和發(fā)生的位移分別為t=(v自自- v汽汽)/a=（4-10）/(-6）s=1sx汽汽= （v自自2-v汽汽2）/2a=(16-100)/(-12)=7m這段時間內(nèi)自行車發(fā)生的位移這段時間內(nèi)自行車發(fā)生的位移x自自= v自自t=4m因為因為 x0+x自自x汽汽所以，汽車不能撞上自行車。所以，汽車不能撞上自行車。汽車與自行車間的最近距離為汽車與自行車間的最近距離為x=x0+x自自x汽汽=（10+47）m=7m（2）要使汽車與自行車不相撞）要使汽車與自行車不相撞 則汽車減速時它們之間的距離至少為則汽車減速時它們之間的距離至少為 x=x汽汽x自自=（7-4）m=3m分析追及和相遇問題時要注意：分析追及和相遇問題時要注意：1.一定要抓住一個條件兩個關(guān)系一定要抓住一個條件兩個關(guān)系（1）一個條件是兩個物體）一個條件是兩個物體速度相等速度相等時滿足的臨界條件時滿足的臨界條件，如兩個物體的距離是最大還是最小，是否恰好追上，如兩個物體的距離是最大還是最小，是否恰好追上等。等。（2）兩個關(guān)系是）兩個關(guān)系是時間時間關(guān)系和關(guān)系和位移位移關(guān)系關(guān)系時間關(guān)系指兩物體是同時運動還是一前一后時間關(guān)系指兩物體是同時運動還是一前一后位移關(guān)系指兩物體同地運動還是一前一后，位移關(guān)系指兩物體同地運動還是一前一后，通過畫運通過畫運動示意圖找兩物體間的位移關(guān)系是解題的關(guān)鍵。動示意圖找兩物體間的位移關(guān)系是解題的關(guān)鍵。2.若被追趕的物體做若被追趕的物體做勻減速運動勻減速運動，一定要注意，一定要注意，追上追上前該物體是否停止運動前該物體是否停止運動。3.仔細(xì)審題，注意抓住題目中的關(guān)鍵字眼，充分挖掘仔細(xì)審題，注意抓住題目中的關(guān)鍵字眼，充分挖掘題目中隱含條件，如題目中隱含條件，如“剛好剛好”、“恰巧恰巧”、“最多最多”、“至少至少”等，往往對應(yīng)一個臨界狀態(tài)，滿足相應(yīng)的等，往往對應(yīng)一個臨界狀態(tài)，滿足相應(yīng)的臨界條件。臨界條件。