球的體積與表面積球的體積與表面積復(fù)復(fù)習(xí)習(xí)柱體的體積公式柱體的體積公式錐體的體積公式錐體的體積公式臺體的體積公式臺體的體積公式V柱體柱體= s hV錐體錐體=1 1shsh3 3V V臺體臺體= =1 1h h( (s s + +s ss s + + s s) )3 3這些公式推導(dǎo)的依據(jù)是什么？這些公式推導(dǎo)的依據(jù)是什么？(一一)球的體積球的體積 兩等高的幾何體若在兩等高的幾何體若在所有所有等等高處的水平截面的面積相等，則高處的水平截面的面積相等，則這兩個(gè)幾何體的這兩個(gè)幾何體的體積相等體積相等祖暅原理：祖暅原理：思考思考 : 是否可運(yùn)用此原理得到球的體積是否可運(yùn)用此原理得到球的體積?R觀察：半球的體積與底面積相等的旋轉(zhuǎn)體體積對比觀察：半球的體積與底面積相等的旋轉(zhuǎn)體體積對比結(jié)論：結(jié)論：半球圓 錐圓 柱VVV(一一)球的體積球的體積Rrlo因此因此 S圓圓 = 2r= ( )22lR = 2R2llloll設(shè)球的半徑為設(shè)球的半徑為R,R,截面半徑為截面半徑為r,r,平平面面 與截面的距離為與截面的距離為那么那么 r = r = 22lRl(一一)球的體積球的體積Rrloo因此因此 S圓圓 = 2r= ( )22lR = 2R2l設(shè)球的半徑為設(shè)球的半徑為R,R,截面半徑為截面半徑為r,r,平平面面 與截面的距離為與截面的距離為那么那么 r = r = 22lRl(一一)球的體積球的體積olRrlooO1LPNKlBO2S圓環(huán) = 2R2l圓環(huán)面積圓環(huán)面積S圓 = S圓環(huán) 因此因此 S圓圓 = 2r= ( )22lR = 2R2l設(shè)球的半徑為設(shè)球的半徑為R,R,截面半徑為截面半徑為r,r,平平面面 與截面的距離為與截面的距離為那么那么 r = r = 22lRl(一一)球的體積球的體積RrlooO1LPNKlBO2(一一)球的體積球的體積根據(jù)祖暅原理，這兩個(gè)幾何體的體積相等，即根據(jù)祖暅原理，這兩個(gè)幾何體的體積相等，即=V球球 = 312 RRRR 2323R21所以所以 V球球 = 343R探究探究（二）球的表面積（二）球的表面積分割分割求近似值求近似值化為精確值化為精確值無限分割逼近精確值無限分割逼近精確值R球面球面球球RSV31 探究探究（二）球的表面積（二）球的表面積)(3131313131321321nnSSSSRRSRSRSRSV 球球當(dāng)當(dāng)n足夠大時(shí)足夠大時(shí)24 RS 球面球面準(zhǔn)錐體準(zhǔn)錐體iSiViSiV例例1、(1)鋼球直徑是鋼球直徑是5cm,則它的體積為則它的體積為 。 表面積為表面積為 。 三、公式的應(yīng)用三、公式的應(yīng)用225 cm 36125cm （2 2）某街心花園有許多鋼球）某街心花園有許多鋼球, ,每個(gè)鋼球重每個(gè)鋼球重145kg145kg，并且外徑，并且外徑等于等于50cm50cm，試根據(jù)以上數(shù)據(jù)，試根據(jù)以上數(shù)據(jù)，判斷鋼球是實(shí)心的還是空心判斷鋼球是實(shí)心的還是空心的如果是空心的，請你計(jì)的如果是空心的，請你計(jì)算出它的內(nèi)徑（鋼的密度是算出它的內(nèi)徑（鋼的密度是7.9g/cm7.9g/cm3 3，取取3.143.14，結(jié)果，結(jié)果精確到精確到1cm1cm）解：解：由于外徑為由于外徑為50cm50cm的鋼球的質(zhì)量為：的鋼球的質(zhì)量為： 街心花園中鋼球的質(zhì)量為街心花園中鋼球的質(zhì)量為145000g145000g，而，而145000517054145000517054，所以鋼球是空心的，所以鋼球是空心的，34507.9517054 ( )32g三、公式的應(yīng)用三、公式的應(yīng)用解得：解得：答：鋼球是空心的其內(nèi)徑約為答：鋼球是空心的其內(nèi)徑約為45cm3345047.9145000323x311239.42,x 22.4.x 設(shè)其內(nèi)徑是設(shè)其內(nèi)徑是2xcm，那么球的質(zhì)量為：，那么球的質(zhì)量為：所以所以2x = 44.845（3）如圖是一個(gè)獎杯的三視圖）如圖是一個(gè)獎杯的三視圖,單位是單位是cm，試畫出它的直觀圖，并計(jì)算這個(gè)獎杯的體積試畫出它的直觀圖，并計(jì)算這個(gè)獎杯的體積.(精確到精確到0.01cm)866185 515151111x/y/z/三、公式的應(yīng)用三、公式的應(yīng)用解：解：這個(gè)獎杯的體積為這個(gè)獎杯的體積為V=V正四棱臺正四棱臺+V長方體長方體+ V球球 其中其中 V正四棱臺正四棱臺2215 (1515 11+11 )851.6673 V長方體長方體=6818=864V球球=3433所以這個(gè)獎杯的體積為V 1828.76（cm3）三、公式的應(yīng)用三、公式的應(yīng)用097.113例例2、（、（1）把半徑為）把半徑為3cm鋼球放入一個(gè)正方體鋼球放入一個(gè)正方體的有蓋紙盒中的有蓋紙盒中,至少要用多少紙制作紙盒至少要用多少紙制作紙盒?球內(nèi)切于正方體球內(nèi)切于正方體分析：用料最省時(shí)分析：用料最省時(shí),球與正方體有什么位置關(guān)系球與正方體有什么位置關(guān)系?兩個(gè)幾何體相切兩個(gè)幾何體相切:一個(gè)幾何體的各個(gè)面與一個(gè)幾何體的各個(gè)面與 另一個(gè)幾何體的各面相切另一個(gè)幾何體的各面相切.三、公式的應(yīng)用三、公式的應(yīng)用例例2、 （2）把正方體的紙盒裝入半徑為）把正方體的紙盒裝入半徑為4cm的的球狀木盒里球狀木盒里,能否裝得下能否裝得下? 分析：半徑為分析：半徑為4cm的球狀木盒能裝下的最大正的球狀木盒能裝下的最大正方體與球盒有什么位置關(guān)系？方體與球盒有什么位置關(guān)系？ 球外接于正方體球外接于正方體兩個(gè)幾何體相接兩個(gè)幾何體相接:一個(gè)幾何體的所有頂點(diǎn)都一個(gè)幾何體的所有頂點(diǎn)都 在在 另一個(gè)幾何體的表面上。另一個(gè)幾何體的表面上。三、公式的應(yīng)用三、公式的應(yīng)用練習(xí)練習(xí)：（：（1）一個(gè)正方體內(nèi)接于半徑為一個(gè)正方體內(nèi)接于半徑為R的球內(nèi)的球內(nèi), 則正方體的體積為則正方體的體積為 。（2）棱長為）棱長為a的正方體內(nèi)有一個(gè)球與這的正方體內(nèi)有一個(gè)球與這 個(gè)正方體的個(gè)正方體的12條棱都相切，則這個(gè)條棱都相切，則這個(gè) 球的表面積為球的表面積為 。三、公式的應(yīng)用三、公式的應(yīng)用(3) 有三個(gè)球有三個(gè)球,一球切于正方體的各面一球切于正方體的各面,一球一球切于正方體的各側(cè)棱切于正方體的各側(cè)棱,一球過正方體的各頂一球過正方體的各頂點(diǎn)點(diǎn),則這三個(gè)球的體積之比為則這三個(gè)球的體積之比為 . 表面積之比為表面積之比為 .小結(jié)小結(jié)球的表面積體積的計(jì)算公式球的表面積體積的計(jì)算公式