1.已知函數(shù)已知函數(shù) f(x)=tanx, x (0, ), 若若 x1, x2 (0, ), 且且 x1 x2. 證明證明: f(x1)+f(x2)f( ).x1+x2 2122 2 證證: tanx1+tanx2= + sinx1 cosx1 sinx2 cosx2 sinx1cosx2+cosx1sinx2 cosx1cosx2 = sin(x1+x2) cosx1cosx2 = 2sin(x1+x2) =cos(x1+x2)+cos(x1- -x2) x1, x2 (0, ), 且且 x1 x2, 2 2sin(x1+x2)0, cosx1cosx20 且且 0cos(x1- -x2)1.0cos(x1+x2)+cos(x1- -x2) . 2sin(x1+x2) 1+cos(x1+x2) (tanx1+tanx2)tan . 12x1+x2 2 f(x1)+f(x2)f( ).12x1+x22典型例題典型例題由已知由已知 0t11, 0t2f( ).12x1+x22另證另證: 令令 tan =t1, tan =t2, 2x12x2則則 (tanx1+tanx2)= , tan = . 12(t1+t2)(1- -t1t2) (1- -t12)(1- -t22)x1+x2 2t1+t2 1- -t1t2 故要證不等式等價于故要證不等式等價于(t1+t2)(1- -t1t2) (1- -t12)(1- -t22)t1+t2 1- -t1t2 . 只需證明只需證明 (1- -t1t2)2(1- -t12)(1- -t22). 即證即證 1- -2t1t2+(t1t2)21- -t12- -t22+(t1t2)2. 即證即證 (t1- -t2)20. t1 t2, (t1- -t2)20 成立成立. 1.已知函數(shù)已知函數(shù) f(x)=tanx, x (0, ), 若若 x1, x2 (0, ), 且且 x1 x2. 證明證明: f(x1)+f(x2)f( ).x1+x2 2122 2 2.已知已知 cos( + )= , , 求求 cos(2 + ) 的值的值. 2 4 4 3523 解解: , 2 23 + 0, 35 + . 4 23 47 4 4 sin( + )=- - 1- -cos2( + ) 45=- - .又又 cos2 =sin(2 + )2 =2sin( + )cos( + )4 4 =2(- - ) 3545=- - , 2524sin2 =- -cos(2 + )2 4 =1- -2cos2( + )=1- -2( )235257= , cos(2 + )= (cos2 - -sin2 ) 4 22= (- - - - ) 2225242575031=- - 2 . 另解另解 , 2 23 + 0, 35 + . 4 23 47 4 4 sin( + )=- - 1- -cos2( + ) 45=- - .cos( + )= (cos - -sin ), 4 22sin( + )= (cos +sin ), 4 22cos - -sin = 2 , cos +sin =- - 2 . 3545解得解得 sin =- - 2 , cos =- - . 107210cos(2 + )=cos +( + ) 4 4 4 =cos cos( + )- -sin sin( + ) 4 =- - - -(- - 2 )(- - ) 21010735452.已知已知 cos( + )= , , 求求 cos(2 + ) 的值的值. 2 4 4 3523 注注 亦可由亦可由 =( + )- - 等方法求出等方法求出 sin , cos 后求值后求值.4 4 5031=- - 2 . 3.已知已知 O 為坐標原點為坐標原點, OA=(2cos2x, 1), OB=(1, 3 sin2x+a), 其中其中, x R, a R, a 為常數(shù)為常數(shù), 若若 y=OA OB. (1)求求 y 關(guān)于關(guān)于 x 的函數(shù)的函數(shù)關(guān)系式關(guān)系式 f(x); (2)若若 x 0, 時時, f(x) 的最大值為的最大值為 2, 求求 a 的值的值; (3)指出指出 f(x) 的單調(diào)區(qū)間的單調(diào)區(qū)間.2 (2)f(x)=2sin(2x+ )+a+1. 6 解解: (1)由已知由已知 y=OA OB=2cos2x+ 3 sin2x+a, f(x)=cos2x+ 3 sin2x+a+1. 6 由由 2x+ = 得得 x= 2 6 0, , 2 故當故當 x= 時時, f(x) 取最大值取最大值 3+a. 6 由題設(shè)由題設(shè) 3+a=2, a=- -1. (3)由由 2k - - 2x+ 2k + 得得: 6 2 2 k - - xk + . 3 6 f(x) 的單調(diào)遞增區(qū)間為的單調(diào)遞增區(qū)間為 k - - , k + (k Z); 6 3 由由 2k + 2x+ 2k + 得得: 6 2 23 k + x k + . 6 32 f(x) 的單調(diào)遞減區(qū)間為的單調(diào)遞減區(qū)間為 k + , k + (k Z). 6 32 4.若若 cos( +x)= , x , 求求 的值的值. 4 3547 12 17 1- -tanx sin2x+2sin2x 4 cos( +x)= , 354 4 sin( +x)=- - 1- -cos2( +x) 45=- - . +x2 . 4 35 解解: x , 47 12 17 有以下解法有以下解法:解法解法1 湊角處理湊角處理cosx=cos( +x)- - 4 4 4 4 =cos( +x)cos +sin( +x)sin 4 4 =- - .210sinx=- - , tanx=7.10 7 2 1- -tanx sin2x+2sin2x =1- -tanx 2sinxcosx+2sin2x =- - . 752821010 7 2 2(- - )(- - )+2(- - )210 7 2 1- -7 =sin2xtan( +x). 4 解法解法2 先化簡原式先化簡原式1- -tanx sin2x+2sin2x = 1- -tanx 2sinxcosx(1+tanx) 而而 sin2x=- -cos(2x+ )2 4 =1- -2cos2( +x)=1- -2( )235257= , 4 4 tan( +x)= 4 cos( +x) sin( +x) 43=- - .原式原式257= (- - ) 43=- - . 7528解法解法3 變式處理變式處理4 又又cos( +x)= , sin( +x)=- - . 354 45cos( +x)= (cosx- -sinx), 4 22sin( +x)= (cosx+sinx), 4 22cosx- -sinx= 2 , cosx+sinx=- - 2 . 3545解得解得 sinx=- - 2 , cosx=- - , tanx=7. 1072101- -tanx sin2x+2sin2x =1- -tanx 2sinxcosx+2sin2x =- - . 75282(- - )(- - )+2(- - )221010 7 2 10 7 2 1- -7 =應(yīng)用題舉例應(yīng)用題舉例 1.已知扇形的周長為已知扇形的周長為 30cm, 當它的半徑和圓心角各取什么當它的半徑和圓心角各取什么值時值時, 才能使扇形的面積最大才能使扇形的面積最大? 最大面積是多少最大面積是多少? 解解: 設(shè)扇形的設(shè)扇形的半徑為半徑為 r, 圓心角為圓心角為 , 面積為面積為 S, 弧長為弧長為 l , 依題意得依題意得 l +2r=30. 則則 l =30- -2r(0r0), 當當 為多少弧度時為多少弧度時, 該扇形有最大面該扇形有最大面積積? 解解: (1)設(shè)扇形的弧長為設(shè)扇形的弧長為 l , 該弧所在的弓形面積為該弧所在的弓形面積為 S弓弓. =60= , R=10cm, 3 l = (cm). 310S弓弓=S扇形扇形- -S三角形三角形= 10- - 102 sin60 3101212=50( - - )(cm2). 3 32(2)扇形的周長扇形的周長 C=2R+l =2R+ R, 2+ CR= . S扇形扇形= R2= ( )2 12122+ C= C2 12 4+4 + 2 = C2214+ + 4 C2214+2 4= . C216C216當且僅當當且僅當 = 即即 =2( ( =- -2舍去舍去) )時時, 該扇形有最大面該扇形有最大面 4積積 cm2. ABCDPQRST 3.如圖所示如圖所示, ABCD 是一塊邊長為是一塊邊長為 100m 的正方形地皮的正方形地皮, 其中其中AST 是一半徑為是一半徑為 90m 的扇形小山的扇形小山, 其余其余部分都是平地部分都是平地. 一開發(fā)商想在平地上建一開發(fā)商想在平地上建一個矩形停車場一個矩形停車場, 使矩形的一個頂點在使矩形的一個頂點在 ST 上上, 相鄰兩邊相鄰兩邊 CQ, CR 落在正方形的落在正方形的邊邊 BC, CD 上上, 求矩形停車場求矩形停車場 PQCR 面面積的最大值和最小值積的最大值和最小值.解解: 連結(jié)連結(jié) AP, 設(shè)設(shè) PAB= (0 90), 延長延長 RP, 交交 AB 于于 M, M則則 AM=90cos , MP=90sin . PQ=MB=100- -90cos , PR=MR- -MP=100- -90sin . S矩形矩形PQCR=PQ PR=(100- -90cos )(100- -90sin ) =10000- -9000(sin +cos )+8100sin cos 令令 t=sin +cos (1t 2 ), 則則 sin cos = . t2- -1 2S矩形矩形PQCR=10000- -9000t+4050(t2- -1) 故當故當 t= 時時, S矩形矩形PQCR 有最小值有最小值 950m2;910當當 t= 2 時時, S矩形矩形PQCR 有最大值有最大值 (14050- -9000 2 )m2. =4050t2- -9000t+5950. E=k ( (其中其中 k 是一個與電光強度有關(guān)的常數(shù)是一個與電光強度有關(guān)的常數(shù)) ), 問要使桌子問要使桌子邊緣處最亮即邊緣處最亮即E 最大最大, 應(yīng)怎樣選擇電燈懸掛的高度應(yīng)怎樣選擇電燈懸掛的高度 h( (指電燈離指電燈離開桌面的距離開桌面的距離) )? 4.在一張半徑為在一張半徑為 2 米的水平圓桌正中央上空掛一盞電燈米的水平圓桌正中央上空掛一盞電燈, 已已知桌子邊緣一點處的亮度為知桌子邊緣一點處的亮度為 E, 燈光射到桌子邊緣的光線與桌燈光射到桌子邊緣的光線與桌面的夾角面的夾角 及這一點到光源的距離及這一點到光源的距離 r 三者之間的關(guān)系為三者之間的關(guān)系為:r2sin 解解: 由已知由已知 r= .cos 24sin cos2 E=k (0 ). 2 E2= sin2 cos4 16k232k2 = 2sin2 cos2 cos2 332k2 ( )3 2sin2 +cos2 +cos2 108 k2 = . 當且僅當當且僅當 2sin2 =cos2 時取等號時取等號, 此時此時 tan2 = , tan = . 1222當當 h=2tan = 2 時時, E2 最大最大, 即即 E 最大最大.故電燈懸掛的高度故電燈懸掛的高度 h 為為 2 米時米時, 桌子邊緣處最亮桌子邊緣處最亮. h ABCDE 5.如圖如圖: 某地要修建一橫截面為梯形的水渠某地要修建一橫截面為梯形的水渠, 為降低成本為降低成本, 必必須盡量減少水與水渠壁的接觸面須盡量減少水與水渠壁的接觸面, 若水渠斷面面積為定值若水渠斷面面積為定值 a, 渠渠深深 8 分米分米, 則水渠的傾角則水渠的傾角 為多少時為多少時, 才能使修建成本最低才能使修建成本最低? 解解: 作作 CEAD 于于 E. 設(shè)水渠橫斷面設(shè)水渠橫斷面邊長之和為邊長之和為 l , 則則 l=BC+2CD.ED=8cot , CD= ,sin 8由由 =a 得得: 8(2BC+2DE)2BC= - -8cot . 8asin 16 l= - -8cot + 8a= +8 (0 0, 且且 ksin +cos =2. k2+1sin( + )=2. sin( + )1, k2+12. k 3 .3 故當故當 k= 3 , 即即 = 時時, l 最小最小, 此時成本最低此時成本最低. EDFCABO 6.平地上有一平地上有一水渠水渠, 渠邊是兩條長渠邊是兩條長 100 米的平行線段米的平行線段, 渠寬渠寬AB 長長 2 米米, 與渠邊垂直的平面與渠的交線是一段半圓弧與渠邊垂直的平面與渠的交線是一段半圓弧, 圓弧圓弧中點為中點為 C, 渠中水深為渠中水深為 0.4 米米. (1)求渠中水有多少立方米求渠中水有多少立方米( (sin0. 927=0.8) )? (2)若要把水渠改挖若要把水渠改挖( (不得填土不得填土) )成截面為等腰梯形的成截面為等腰梯形的水渠水渠, 使渠的底面與地面平行使渠的底面與地面平行, 改挖后的渠底寬為多少時改挖后的渠底寬為多少時, 所挖所挖的土最少的土最少( (結(jié)果保留根號結(jié)果保留根號) )? 解解: (1)如圖如圖, 依題意依題意, CF=0.4, OE=1, OF=0.6. EF=0.8, DE=2EF=1.6. 在在 OEF 中中, sin EOF=0.8, EOC=0.927. EOD=2 0.927. S扇形扇形DOE= 2 0.927 12 12=0.927. 而而 S三角形三角形DOE= OF DE=0.48, 12渠中有水渠中有水 100 (0.927- -0.48) =44.7( (立方米立方米) ). MNPO 6.平地上有一平地上有一水渠水渠, 渠邊是兩條長渠邊是兩條長 100 米的平行線段米的平行線段, 渠寬渠寬AB 長長 2 米米, 與渠邊垂直的平面與渠的交線是一段半圓弧與渠邊垂直的平面與渠的交線是一段半圓弧, 圓弧圓弧中點為中點為 C, 渠中水深為渠中水深為 0.4 米米. (2)若要把水渠改挖若要把水渠改挖( (不得填土不得填土) )成截面為等腰梯形的水渠成截面為等腰梯形的水渠, 使渠的底面與地面平行使渠的底面與地面平行, 改挖后的改挖后的渠底寬為多少時渠底寬為多少時, 所挖的土最少所挖的土最少( (結(jié)果保留根號結(jié)果保留根號) )? 解解: (2)如圖如圖, 依題意依題意, 只需等腰梯形面積最小只需等腰梯形面積最小. 設(shè)設(shè) ONP= , 則梯形面積則梯形面積 S= (2cot +2csc2 ) 12cos2 +2 sin2 = . 即即 Ssin2 - -cos2 =2, S2+1 sin(2 - - )=2(tan = ). S1|sin(2 - - )|1, S2+12 1. S 3 .S 的最小值為的最小值為 3 , 此時此時 = . 6 即即 sin(2 - - )=1. 6 = .3 3 故故 MN=2OPcot = . 3 2 3 即改挖后的渠底寬為即改挖后的渠底寬為 米米. 3 2 3 解解: 如圖如圖, 分兩種情況討論分兩種情況討論: AB=CD=a, AD=BC=b. 7.有一塊長為有一塊長為 a, 寬為寬為 b(ab) 的矩形木板的矩形木板, 在二面角為在二面角為 的墻的墻角處圍出一個直三棱柱的儲物倉角處圍出一個直三棱柱的儲物倉( (使木板垂直于地面的兩邊與使木板垂直于地面的兩邊與封面貼緊封面貼緊) ), 試問試問, 應(yīng)怎樣圍才能使儲物倉的容積最大應(yīng)怎樣圍才能使儲物倉的容積最大? 并求出并求出這個最大值這個最大值. ABCDOxy 設(shè)設(shè) OA=x, OB=y, 則則 a2=x2+y2- -2xycos , a22xy- -2xycos =2xy(1- -cos ). xy ( (當且僅當當且僅當 x=y 時取等號時取等號) ). 2(1- -cos ) a2又又V1=( xysin )b 124(1- -cos ) a2bsin = a2bcot . 142 當當 OA=OB 時時, 儲物倉的容積最大儲物倉的容積最大; (2)若使短邊緊貼地面若使短邊緊貼地面, 則則 xy ( (當且僅當當且僅當 x=y 時取等號時取等號) ). 2(1- -cos ) b2(1)若使長邊緊貼地面若使長邊緊貼地面, 則則 V2=( xysin )a 124(1- -cos ) ab2sin = ab2cot . 142 也是也是 OA=OB 時時, 儲物倉的容積最大儲物倉的容積最大. 2 ab0, cot 0, V1V2 . 故當長邊緊貼地面且故當長邊緊貼地面且倉的底面?zhèn)}的底面是以是以 a 為底邊的等腰三角形為底邊的等腰三角形時時, 儲物倉的容積最大儲物倉的容積最大. 最大值為最大值為 a2bcot . 142 EDFABQCPRS 解解: (1)AC=asin , AB=acos , 設(shè)正方形邊長為設(shè)正方形邊長為 x, 則則 BQ=xcot , RC=xtan . 8.如圖如圖, 某園林單位準備綠化一塊直徑為某園林單位準備綠化一塊直徑為 BC 的半圓形空地的半圓形空地, ABC 外的地方種草外的地方種草, ABC 的內(nèi)接正方形的內(nèi)接正方形 PQRS 為一水池為一水池, 其余的地方種花其余的地方種花. 若若 BC=a, ABC= , 設(shè)設(shè) ABC 的面積為的面積為 S1, 正方形的面積為正方形的面積為 S2. (1)用用 a, 表示表示 S1 和和 S2; S1S2化時化時, 求求 取最小值時的角取最小值時的角 . (2)當當 a 固定固定, 變變xcot +xtan +x=a. S1= a2sin cos = a2sin2 . 1214x= =cot +tan +1 a1+sin cos asin cos 2+sin2 asin2 = . S2=x2=( )2= . 2+sin2 asin2 a2sin22 4+sin22 +4sin2 (2)當當 a 固定固定, 變化時變化時, S1S2=( a2sin2 ) 14a2sin22 4+sin22 +4sin2 144sin2 4+sin22 +4sin2 = = ( +sin2 +4). sin2 44t令令 sin2 =t, 則則 = (t+ +4). S1S2142 0 , 0t1.記記 f(t)=t+ , 任取任取 t1, t2 (0, 1, 且且 t1t2, 則則 4t f(t1)- -f(t2)=(t1+ )- -(t2+ ) 4t14t2=(t1- -t2)- - t1t24(t1- -t2) =(t1- -t2)( ).t1t2t1t2- -4t1- -t20, t1t2- -40. t1t2t1t2- -4即即 f(t1)- -f(t2)0. f(t1)f(t2). f(t) 在在 (0, 1 上是減函數(shù)上是減函數(shù). 4 S1S2當當 t=1 時時, 取最小值取最小值, 此時此時, = .