第22課特殊三角形 基礎知識 自主學習1等腰三角形： (1)性質： 相等， 相等，底邊上的高線、中線、 頂角的角平分線“三線合一”； (2)判定：有兩邊相等、兩角相等或兩線合一的三角形是等腰 三角形2等邊三角形： (1)性質： 相等，三內角都等于 ； (2)判定：三邊相等、三內角相等或有一個角是60的等腰三 角形是等邊三角形要點梳理要點梳理兩腰兩腰兩底角兩底角三邊三邊603直角三角形：在ABC中，C90. (1)性質：邊與邊的關系：(勾股定理)a2b2 ； (2)角與角的關系：AB ； (3)邊與角的關系： 若A30，則ac，bc； 若ac，則A30； 若A45，則abc； 若ac，則A45； 斜邊上的中線mcR.其中R為三角形外接圓的半徑 (4)判定：有一個角是直角的三角形是直角三角形；如果三角形 的三邊長a、b、c滿足a2b2c2，那么這個三角形是直角三 角形；如果三角形一條邊上的中線等于這條邊的一半，那么 這個三角形是直角三角形c290難點正本疑點清源 1等腰三角形的特殊性 “等邊對等角”是今后我們證明角相等的又一個重要依據“等角對等邊”可以判定一個三角形是等腰三角形，同時也是今后證明兩條線段相等的重要依據 等邊三角形是等腰三角形，但等腰三角形不一定是等邊三角形，等邊三角形擁有等腰三角形的所有性質，但不分頂角、底角、腰、底邊因為等邊三角形任何一個角都為60，任何一條邊都可看做腰或底邊 解答等腰三角形的有關問題時，常作輔助線，構造出“三線合一”的基本圖形在添加輔助線時，要根據具體情況而定，表達輔助線的語句，不能限制條件過多，如一邊上的高并且要平分這條邊；作一邊上的中線并且垂直平分這條邊；作一個角的平分線并且垂直對邊等等，這些都是不正確的 2直角三角形的特殊性 直角三角形是重要的基本圖形之一，它的特征和識別應用非常廣泛，把勾股定理運用到實際生活中解決實際問題，常常滲透著數形結合、方程思想 在利用勾股定理時，一定要看清題中所給的條件是不是直角三角形，所給的邊是直角邊還是斜邊，如果題目無法確定是直角邊還是斜邊，則需要分類討論勾股定理的逆定理是把數轉化為形，是通過計算判定一個三角形是否為直角三角形 實際問題可根據實際情況轉化為直角三角形去解，圖中無直角時，可通過添加輔助線來構造直角三角形若圖形中有特殊角，如30、45、60的角，在作輔助線時，要注意保留其完整性，以便應用特殊三角形的性質基礎自測1(2011濟寧)如果一個等腰三角形的兩邊長分別是5 cm和6 cm，那么此三角形的周長是() A15 cm B16 cm C17 cm D16 cm或17 cm 答案D 解析這個三角形的周長是55616或66517.2(2011銅仁)下列關于等腰三角形的性質敘述錯誤的是() A等腰三角形兩底角相等 B等腰三角形底邊上的高、底邊上的中線、頂角的平分線互 相重合 C等腰三角形是中心對稱圖形 D等腰三角形是軸對稱圖形 答案C 解析等腰三角形是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形3(2011蕪湖)如圖，已知ABC中，ABC45， F是高AD和BE的交點，CD4，則線段DF的長度為() A2 B4 C3 D4 答案B 解析在RtABD中，ABD45，可得ADBD，易證BDF ADC，所以DFCD4.5(2011雞西)如圖，在RtABC中，ABCB，BOAC，把ABC折疊，使AB落在AC上，點B與AC上的點E重合，展開后，折痕AD交BO于點F，連結DE、EF.下列結論： tanADB2； 圖中有4對全等三角形； 若將DEF沿EF折疊， 則點D不一定落在AC上； BDBF； S四邊形DFOESAOF， 上述結論中正確的個數是() A1個 B2個 C3個 D4個答案答案C題型分類 深度剖析【例 1】(1)方程x29x180的兩個根是等腰三角形的底和腰，則這個三角形的周長為() A12 B12或15 C15 D不能確定 答案C 解析解方程x29x180，得x13，x26，周長為36615，應選C.(2)如果等腰三角形的一個內角是80，那么頂角是_度 答案80或20 解析頂角是80，或當底角是80時，頂角是18028020.探究提高在等腰三角形中，如果沒有明確底邊和腰，某一邊可以是底， 也可以是腰同樣，某一角可以是底角也可以是頂角，必須仔細分類討 論題型一等腰三角形有關邊角的討論題型一等腰三角形有關邊角的討論 知能遷移1(1)(2011株洲)如圖， ABC中，ABAC，A36，AC的垂直平分線交AB于E，D為垂足，連接EC. 求ECD的度數； 若CE5，求BC長解解法一： DE垂直平分AC， CEAE，ECDA36. 解法二： DE垂直平分AC， ADCD，ADECDE90. 又DEDE，ADE CDE，ECDA36. 解法一： ABAC，A36，BACB72. ECDA36， BCEACBECD36， BEC180367272B， BCEC5. 解法二： ABAC，A36， BACB72， BECAECD72， BECB， BCEC5.(2)(2011煙臺)等腰三角形的周長為14，其一邊長為4，那么，它的底邊為_ 答案4或6 解析等腰三角形的底邊為4；等腰三角形的兩腰為4時，則底邊等于14446.題型二等腰三角形的性質【例 2】如圖，在等腰RtABC中，BAC90，點D是BC的中點，且AEBF，試判斷DEF的形狀解題示范規(guī)范步驟，該得的分，一分不丟！解：連接AD，在等腰RtABC中， AD是中線， ADBC，DAEBAC45，ADBD. 又BC45， BDAE.2分 在BDF和ADE中， BDF ADE(SAS)4分 DFDE，12. 又3190， 2390，即EDF90. DEF也是等腰直角三角形6分探究提高作等腰三角形的底邊中線，構造等腰三角形“三線合一”的基本圖形，是常見的輔助線的作法之一知能遷移2 已知：如圖，D是等腰ABC底邊BC上一點，它到兩腰AB、AC的距離分別為DE、DF.當D點在什么位置時，DEDF？并加以證明解當點D在BC的中點時，DEDF. ABAC，BC. DEAB，DFAC， DEBDFC90. 點D是BC的中點， BDCD， BDE CDF(AAS)， DEDF.題型三等邊三角形【例 3】(1)已知：如圖，P、Q是ABC邊BC上兩點，且BPPQQCAPAQ，求BAC的度數解APPQAQ，APQ是等邊三角形 PAQ60，APQ60. APBP，BBAP6030. 同理：CCAQ30， BAC306030120.(2)(2010大興安嶺)如圖所示，已知ABC和DCE均是等邊 三角形，點B、C、E在同一條直線上，AE與BD交于點 O，AE與CD交于點G，AC與BD交于點F，連接OC、FG， 則下列結論： AEBD； AGBF； FGBE； BOCEOC. 其中正確結論的個數() A1個 B2個 C3個 D4個 答案D解析由BCD ACE， 可得AEBD成立； 由ACG BCF， 可得AGBF成立； ACG BCF， CGCF， 又ACD60， FCG是等邊三角形， CFG60ACB， FGBE成立； 過C畫CMBD，CNAE，垂足分別是M、N， BCD ACE， CMCN， 點C在BOE的角平分線上，OC平分BOE， 即BOCEOC成立探究提高在解題的過程中要充分利用等邊三角形特有的性質，每個角都相等，每條邊都相等，這可以讓我們輕松找到證明全等所需的條件知能遷移3如圖，在等邊ABC中，點D、E分別在邊BC、AB上，且BDAE，AD與CE交于點F. (1)求證：ADCE； (2)求DFC的度數解(1)在等邊ABC中， ABAC，BACCBA60， 又BDAE， ABD CAE， ADCE. (2)ABD CAE， BADECA. DFC是AFC的外角， DFCECADAC BADDAC BAC60.題型四直角三角形、勾股定理【例 4】(1)如圖，已知ABC中，ABC90，ABBC，三角形的頂點在相互平行的三條直線l1、l2、l3上，且l1、l2之間的距離為2，l2、l3之間的距離為3，則AC的長是() A2 B2 C4 D7 答案A(2)如圖，在鈍角三角形ABC中，BC9，AB17， AC10，ADBC，交BC的延長線于D，求AD 的長探究提高 在線段的長無法直接求出時，可利用另一線段把這一線段表示出來，然后利用勾股定理得到一個方程，最后得解，這是利用勾股定理解決線段長的常用方法知能遷移4(1)如圖，直線l上有三個正方形a、b、c，若a、c的面積分別為5和11，則b的面積為() A4 B6 C16 D55 答案C(2)(2011雞西)已知三角形相鄰兩邊長分別為20 cm和 30 cm，第三邊上的高為10 cm，則此三角形的面積 為_cm2.答題規(guī)范考題再現在ABC中，高AD和高BE相交于H，且BHAC，求ABC的度數學生作答 解：如圖1， 在RtBHD和RtACD中， CCAD90， CHBD90， HBDCAD. 又BHAC，BHD ACD， BDAD. ADB90，ABC45. 9三角形的高可能在形外 圖1規(guī)范解答 解：這里的ABC有兩種情況，ABC是銳角(圖1)或 ABC是鈍角(圖2) 如圖2，在RtBHD和RtACD中， 易得DCADHB. 又ACBH， DHB DCA， ADDB， DBA45， ABC135. 綜上：ABC45或ABC135.圖2老師忠告1同學們都知道，三角形的高有可能在形外，但在實際解題中，常因忽略這一點而造成錯誤為什么常常會忽略三角形的高可能在形外呢？一個主要原因就是同學們頭腦中已形成思維定勢，一畫三角形就不由自主地畫成銳角三角形，從而造成漏解的失誤2在解答幾何問題時，如果沒有給出具體的圖形，都應該先考慮是否有多種情況，有些命題在一種情況下成立是真命題，而在另一種情況下就可能不成立，是假命題10易出錯的等腰三角形問題 考題再現已知ABC是等腰三角形，由A所引BC邊上的高恰好等于BC邊長的一半，試求BAC的度數學生作答 圖3規(guī)范解答 解：題目中并沒有指明BC是等腰ABC的底或腰 當BC為底時，可求得BAC90； 當BC為腰時，還應對B的大小進行討論：圖4 圖5 老師忠告1對于等腰三角形問題，當給出的條件(如邊、角情況)不明時，一般要分情況逐一考察，否則，容易出現錯解或漏解的錯誤2當頂角是銳角時，腰上的高在三角形內；當頂角為直角時，腰上的高與另一腰重合；當頂角為鈍角時，腰上的高在三角形外這是在解與等腰三角形腰上的高有關的問題時，應考慮的幾個方面. 思想方法 感悟提高方法與技巧 1. 掌握分類的思想和方法，可深入理解，有效記憶，便于應用例如：從三角形三邊長的比較，可把三角形分為不等邊三角形和等腰三角形，等腰三角形又分為等邊三角形和其它等腰三角形；而從最大內角的大小出發(fā)，又可以把三角形分為銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形 由于兩種分類的標準不同，所以一個具體的三角形，在兩種分類中，必各屬于其中的一類如等腰直角三角形，在第一種分類中，屬于其它等腰三角形；在第二種分類中，屬于直角三角形 2. 在一個三角形中“等邊對等角，等角對等邊”，當所要求證的兩邊、兩角位于同一個三角形中，利用等腰三角形來論證它們的相等關系是常用的方法 3. 等腰三角形“三線合一”的性質，運用廣泛而又靈活，在于三線中只要有任兩線重合，則可判定三角形等腰，即第三線也重合 4. 證明等邊三角形的方法一般有兩種：一是直接論證三邊或三角相等；二是先證明是等腰三角形，再證明其中一角為60. 5. 在直角三角形中斜邊上中線等于斜邊的一半，同時這條中線將直角三角形分成了兩個等腰三角形，這一特征在解題中時有運用；在直角三角形中，含銳角30、45這兩類是較為特殊的，它們的邊、角有一些特殊的數量關系，應該熟記在心失誤與防范 1在解有關等腰三角形的問題時，有一種習慣上的認識，總認為腰大于底，這是造成錯解的原因實際上底也可以大于腰，此時也能構成三角形 2有關等腰三角形的問題，若條件中沒有明確底和腰時，一般應從某一邊是底還是腰這兩個方面進行討論，還要特別注意構成三角形的條件；同樣，在底角沒有被指定的等腰三角形中，應就某角是頂角還是底角進行討論我們要細心謹慎，注意運用分類討論的方法，將問題考慮全面，不能想當然 3在已知三角形三邊的前提下，判斷這個三角形是否為直角三角形，首先要確定三條邊中的最大邊，再根據勾股定理的逆定理來判定在解題時，往往受思維定式的影響，誤認為如果是直角三角形，則c就是斜邊，從而造成誤解完成考點跟蹤訓練22