用定義或判定定理用定義或判定定理證明線面垂直證明線面垂直 【例1】如圖，在四棱錐PABCD中，PA底面ABCD，ABAD，ACCD，ABC60，PAABBC，E是PC的中點證明：(1)CDAE；(2)PD平面ABE； 【證明】(1)在四棱錐PABCD中，因為PA底面ABCD，CD平面ABCD，故PACD.又因為ACCD，PAACA，所以CD平面PAC.而AE平面PAC，所以CDAE.(2)由PAABBC，ABC60，得ABC是等邊三角形，故ACPA.因為E是PC的中點，所以AEPC.由(1)知，AECD，且PCCDC，所以AE平面PCD.而PD平面PCD，所以AEPD.又因為PA底面ABCD，所以PAAB.由已知得ABAD，且PAADA，所以AB平面PAD.又PD平面PAD，所以ABPD.因為ABAEA，所以PD平面ABE. 本題考查直線與直線垂直、直線與平面垂直等基礎(chǔ)知識，考查空間想象能力和推理論證能力立體幾何的證明關(guān)鍵是學(xué)會分析和掌握一些常規(guī)的證明方法如：已知中點證明垂直時要首先考慮等腰三角形中的“三線合一”；已知線段或角度等數(shù)量關(guān)系較多時最好標示出來，充分進行計算，從而發(fā)現(xiàn)蘊含的垂直等關(guān)系；已知線面垂直時會有哪些結(jié)論，是選擇線線垂直還是選擇面面垂直；要證明結(jié)論或要得到哪個結(jié)論，就必須滿足什么條件等 【變式練習(xí)1】如圖，E，F(xiàn)分別為直角三角形ABC的直角邊AC和斜邊AB的中點，沿EF將AEF折起到A1EF的位置，連結(jié)A1B，A1C.求證：(1)EF平面A1EC；(2)AA1平面A1BC. 1111111111111111/ /12.EFACABEFBCACBCEFECEFAEAECEEAEAECCEAECEFAECACMEMEACEMAAAECEEMACAAACEFAECA AAECAAEFEFBC因為 ， 分別為和的中點，所以，因為，所以，又 ，平面，平面，所以平面取的中點，連結(jié)，又因為 為的中點，所以，所以，所以，又因為平面，平面，所以【證明，又】，所以1111.AABCACBCCAAABC，又 ，所以平面用線面垂直的性質(zhì)用線面垂直的性質(zhì)定理證明線線垂直定理證明線線垂直 111111920136.ABCABCACBCBCACCMCCABAM已知在直三棱柱中， ，是的中點，求證：【例 】【證明】如圖，ACB90，所以BCAC.又在直三棱柱ABCA1B1C1中，CC1平面ABC，所以BCCC1.而ACCC1C，所以BC平面AA1C1C，所以BCAM.連結(jié)A1C.可以證明RtACMRtAA1C，所以AMA1C.而A1CBCC，所以AM平面A1BC，所以A1BAM. 證明線線垂直常構(gòu)造一個平面經(jīng)過一條直線與另一條直線垂直，從而達到由線面垂直證明線線垂直的目的 111111111626012?ABCDABC DAAABCDABABCPBBD PACACBDOB PPBPOD AC【變式練如圖，直四棱柱中，側(cè)棱，底面是菱形， ， 為側(cè)棱上的動點求證：；設(shè) ，求當(dāng)?shù)扔诙嗌贂r，平面習(xí)2】 11111111111.1.ABCDACBDB DD DABCDACD DBDD DDACBB D DD PBB D DD PAC證明：因為為菱形，所以連結(jié)因為底面，所以又 ，所以平面因為平所以析，】面【解 11111111111.60236322362902B PPOD ACPBDOABCDOACBDPAPCOAOCPOACABCABABCBODOD DOBD DBBDOBPD DOOBPDODPOBPODODOACO當(dāng) 時，平面證明：連結(jié)，因為底面是菱形，所以 是，的中點，因為，所以，又因為， ，所以是等邊三角形，在矩形中，有，所以，所以，所以，又 ，所以1.POD AC 平面通過計算證明線通過計算證明線線垂直線垂直 【例3】如 圖 ， 在 正 方 體 A B C D A1B1C1D1中，E是BB1的中點，O是底面正方形ABCD的中心求證：OE平面ACD1. 11111122112212222211111111111.623232.AECEDOD BD EDBaAECEAOOCOEACDBDODDDOaOEBEOBaD ED BB EaDOOED EDOOEDOACODOACACDOEACD如圖，連結(jié)，設(shè)正方體的棱長為 易證又因為，所以在正方體中易求出：，所以，所以因為 ，平面，所以平面【證明】 要證線面垂直可找線線垂直，這是幾何中證明線面垂直時常用的方法，在證明線線垂直時，要注意從數(shù)量關(guān)系方面找垂直，如利用勾股定理等 【變式練習(xí)3】直棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD是直角梯形，BADADC90，AB2AD2CD2.求證：AC平面BB1C1C. 111111111111.902222452.ABCDABC DBBABCDBBACBADADCABADCDACCABBCBCACBBBCBBBBCBBCCACBBCC直棱柱中，平面，所以又因為， ，所以，所以，所以而 ，平面所以平面【證明】1.有下列四個命題：若一條直線垂直于一個平面內(nèi)無數(shù)條直線，則這條直線與這個平面互相垂直；若兩條直線互相垂直，其中一條垂直于一個平面，則另一條直線與該平面平行；若兩條直線同時垂直于同一個平面，則這兩條直線互相平行；若一條直線和一個平面不垂直，則這個平面內(nèi)不存在與該條直線垂直的直線其中錯誤的命題是_. 2.在正方體ABCDA1B1C1D1中，棱長為2，M是AD1上任意一點，M到平面BCB1的距離是_. 23.如圖，在正方形SG1G2G3中，E，F(xiàn)分別是G1G2，G2G3的中點，D是EF的中點，現(xiàn)沿SE，SF及EF把這個正方形折成一個幾何體，使G1，G2，G3三點重合于點G，這樣，下列五個結(jié)論：SG平面EFG；SD平面EFG；GF平面SEF；EF平面GSD；GD平面SEF.其中正確的是_. 5.如圖，已知PA矩形ABCD所在平面，M、N分別是AB、PC的中點(1)求證：MNCD；(2)若PDA45，求證：MN平面PCD. 【證明】(1)連結(jié)AC，取其中點O，連結(jié)NO、MO，并延長MO交CD于R.因為N為PC的中點，所以NO為PAC的中位線，所以NOPA.而PA平面ABCD，所以NO平面ABCD，所以NOCD.又四邊形ABCD是矩形，M為AB的中點，O為AC的中點，所以MOCD.而MONOO，所以CD平面MNO，所以CDMN.(2)連結(jié)NR，則NRMPDA45.又O為MR的中點，且NOMR，所以MNR為等腰三角形且NRMNMR45，所以MNR90，所以MNNR.又MNCD，且NRCDR，所以MN平面PCD. 1在線面垂直的定義中，一定要弄清楚“任意”與“無數(shù)”這兩個術(shù)語 內(nèi) 涵 的 差 異 ， 后 者 存 在 于 前 者中“任意”的理解最終轉(zhuǎn)化為“兩條相交直線”，證明時此條件不可缺少 2/ / /.ababbaabaaa判定線面垂直的方法，主要有五種：利用定義；利用判定定理；結(jié)合線線平行：若，則；面面垂直的性質(zhì)：若， ，則；面面平行的性質(zhì)：若，則 3面面垂直的性質(zhì)的理解中三個條件也不可缺少，即：兩個平面垂直；其中一個平面內(nèi)的直線；垂直于交線所以無論何時見到已知兩個平面垂直，都要首先找其交線，看是否存在直線垂直于交線來決定是否該作輔助線，這樣就能目標明確，事半功倍