與長(zhǎng)度有關(guān)的幾何概型與長(zhǎng)度有關(guān)的幾何概型【例1】取一根長(zhǎng)為3 m的繩子，拉直后在任意位置剪斷，那么，剪得兩段的長(zhǎng)度都不短于1 m的概率有多大？ 1 m11.311 m.3AAP A如圖所示，記 剪得兩段繩子長(zhǎng)都不少于把繩子三等分，于是當(dāng)剪斷位置處在中間一段上時(shí)，事件 發(fā)生由于中間一段的長(zhǎng)度為 ，則故剪得兩【段的長(zhǎng)度都不短于的概率為解析】 從每一個(gè)位置剪斷繩子，都是一個(gè)基本事件，剪斷位置可以是長(zhǎng)度為3 m的繩子上的任意一點(diǎn)，基本事件有無(wú)限多個(gè)，顯然不能應(yīng)用古典概型計(jì)算，可考慮用幾何概型計(jì)算 【變式練習(xí)1】如圖，A，B兩盞路燈之間的距離是30米，由于光線較暗，想在其間再隨意安裝一盞路燈C，問(wèn)A與C，B與C之間的距離都不小于10米的概率是多少？ “10”11013010.3303EACBCABP E記 與 ， 與 之間的距離都不小于 米 把三等分，由于中間長(zhǎng)度為 米，【解析】與面積有關(guān)的幾何概型與面積有關(guān)的幾何概型【例2】老王的晚報(bào)在下午5：306：30之間的任何一個(gè)時(shí)間隨機(jī)地被送到，老王在下午6：007：00之間的任何一個(gè)時(shí)間隨機(jī)地開(kāi)始晚餐(1)晚報(bào)在晚餐開(kāi)始之前被送到和在晚餐開(kāi)始之后被送到哪一種可能性更大？(2)晚報(bào)在晚餐開(kāi)始之前被送到的概率是多少？【解析】(1)晚報(bào)在5：306：30之間送到或晚餐在6：307：00之間開(kāi)始，這兩種情況都使得晚報(bào)的送達(dá)是在晚餐開(kāi)始之前，故晚報(bào)在晚餐開(kāi)始之前被送到的可能性大 675.56.5.(67 5.56.5)“”7,187.82xxyyGxyxyGyxggGP在平面上建立如右圖的直角坐標(biāo)系圖中直線 ， ， 圍成一個(gè)正方形區(qū)域設(shè)晚餐在 時(shí)開(kāi)始，晚報(bào)在 時(shí)送達(dá)，于是此試驗(yàn)的所有結(jié)果就與 中的所有點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)晚報(bào)在晚餐前送達(dá)當(dāng)且僅當(dāng)，因此圖中陰影區(qū)域 就表示 晚報(bào)在晚餐前送達(dá) 易求得 的面積為的面積為 ，故所求概率為 本題的關(guān)鍵是設(shè)置晚報(bào)送到的時(shí)間和晚餐開(kāi)始的時(shí)間分別為直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)，進(jìn)而構(gòu)造出對(duì)應(yīng)的幾何圖形 【變式練習(xí)2】設(shè)關(guān)于x的一元二次方程x22axb20，若a是從區(qū)間0,3內(nèi)任取的一個(gè)數(shù)，b是從區(qū)間0,2內(nèi)任取的一個(gè)數(shù)，求上述方程有實(shí)根的概率 22222“20”0020|03 02()|03,02132222.323AxaxbabxaxbabababAabababP A設(shè)事件 為方程 有實(shí)根 ，當(dāng)，時(shí)方程 有實(shí)根的充要條件為，試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域?yàn)?，?gòu)成事件 的區(qū)域?yàn)?，如圖，由幾何概型的定義得【解析】與體積有關(guān)的幾與體積有關(guān)的幾何概型何概型【例3】一個(gè)球型容器的半徑為3 cm，里面裝有純凈水因?yàn)閷?shí)驗(yàn)人員不小心混入了一個(gè)AIDS病毒，從中任取1 mL水，含有AIDS病毒的概率是多少？ 3331 mL44336cm36mL331 mLAIDS10.00884.36RP病毒在水中的分布可以看作是隨機(jī)的，從中取得水可看作構(gòu)成事件的區(qū)域，所有水可看作試驗(yàn)的所有結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域，可用體積比公式計(jì)算其概率水的體積為故從中任取水，含有病毒的概率為【解析】 把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，這道題主要是體積之間的關(guān)系1111116ABCDABC DMMABCD正方體的棱長(zhǎng)為 ，在正方【變式練習(xí)3】體內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，求使四棱錐的體積小于 的概率.113611.21.612MABCDABCDABCDMABCDhVShShMABCDAMABCD正方形正方形設(shè)點(diǎn)到平面的距離為若 ，則因?yàn)?，所以 記四棱錐的體積小于為事件因此，只要點(diǎn)到平面的距離小【】于解析， 11111.61212121121.12MABCDMABCDABCDABCDABC DP A即可使四棱錐的體積小于因?yàn)闈M足點(diǎn)到平面的距離小于 的點(diǎn)組成一個(gè)以正方形為底面，高為的長(zhǎng)方體，其體積為 ，又正方體的體積為 ，所以1.在1 L高產(chǎn)小麥種子中混入了一粒帶麥銹病的種子，從中隨機(jī)取出10 mL，則含有麥銹病種子的概率為_(kāi)1100101.1000100P【解析】2.如圖的矩形長(zhǎng)為5，寬為2.在矩形內(nèi)隨機(jī)地撒300顆黃豆，數(shù)得落在陰影部分的黃豆為138顆則我們可以估計(jì)出陰影部分的面積為 _2351382352.3005 【由幾何概型知所求面積為解析】3.4SABCABPSPBC在面積為 的的邊上任取一點(diǎn) ，則的面積大于的概率為_(kāi)344.一個(gè)路口的紅綠燈，紅燈的時(shí)間為30秒，黃燈的時(shí)間為5秒，綠燈的時(shí)間為40秒，當(dāng)你到達(dá)路口時(shí)，看見(jiàn)下列三種情況的概率各是多少？(1)紅燈；(2)黃燈；(3)不是紅燈 “”“”“”7530540302755517515408.7121535ABCABCP AP BP C記 到達(dá)路口看見(jiàn)紅燈 為事件 ，到達(dá)路口看見(jiàn)黃燈 為事件 ， 到達(dá)路口看見(jiàn)的不是紅燈 為事件 ，則整個(gè)區(qū)域的時(shí)間長(zhǎng)度為秒，事件 所占時(shí)間長(zhǎng)度為秒，事件 所占時(shí)間長(zhǎng)度為 秒，事件所占時(shí)間長(zhǎng)度為秒故 ；【解析】 25.0,1abf xxaxbx在區(qū)間上任取兩個(gè)數(shù) ， ，求使函數(shù) 的圖象與 軸有公共點(diǎn)的概率 2“”()|01,0140()|01,0140111124.18Af xxaxbxDababAabdabababP A 設(shè)事件 ：函數(shù) 的圖像與 軸有公共點(diǎn) ，區(qū)域 ，如圖，要使事件 發(fā)生，則 ，所以區(qū)域， ，如圖中的陰影部分【解析】 1對(duì)于幾何概型的應(yīng)用題，關(guān)鍵是構(gòu)造出隨機(jī)事件A對(duì)應(yīng)的幾何圖形，利用幾何圖形的測(cè)度來(lái)求隨機(jī)事件的概率根據(jù)實(shí)際問(wèn)題的具體情況，合理設(shè)置參數(shù)，建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系在此基礎(chǔ)上將試驗(yàn)的每一個(gè)結(jié)果一一對(duì)應(yīng)于該坐標(biāo)系的一點(diǎn)，便可構(gòu)選出度量區(qū)域 2分清古典概型與幾何概型的關(guān)鍵就是古典概型與幾何概型中基本事件發(fā)生的可能性都是相等的，但古典概型要求基本事件有有限個(gè)，而幾何概型則是無(wú)限個(gè)