卡諾循環(huán)的原理精品資料卡諾循環(huán)科技名詞定義中文名稱：卡諾循環(huán)英文名稱： Carnot cycle定義：由兩個可逆的等溫過程和兩個可逆的絕熱過程所組成的理想循環(huán)。百科名片卡諾循環(huán)卡諾循環(huán) (Carnot cycle) 是由法國工程師尼古拉 ·萊昂納爾 ·薩迪 ·卡諾于 1824年提出的，以分析熱機的工作過程，卡諾循環(huán)包括四個步驟：等溫膨脹， 絕熱膨脹，等溫壓縮，絕熱壓縮。即理想氣體從狀態(tài)1（ 1， 1， 1）等溫膨脹到狀態(tài) 2（ 2， 2， 2），再從狀態(tài)2 絕熱膨脹到狀態(tài)3（ 3， 3， 3），此后，從狀態(tài) 3 等溫壓縮到狀態(tài)4（ 4， 4， 4），最后從狀態(tài)4 絕熱壓縮僅供學(xué)習(xí)與交流，如有侵權(quán)請聯(lián)系網(wǎng)站刪除謝謝 2精品資料回到狀態(tài) 1。這種由兩個等溫過程和兩個絕熱過程所構(gòu)成的循環(huán)成為卡諾循環(huán)。簡介卡諾循環(huán)包括四個步驟：等溫膨脹、絕熱膨脹、等溫壓縮、絕熱壓縮等溫膨脹，在這個過程中系統(tǒng)從環(huán)境中吸收熱量；絕熱膨脹，在這個過程中系統(tǒng)對環(huán)境作功；等溫壓縮，在這個過程中系統(tǒng)向環(huán)境中放出熱量；絕熱壓縮，系統(tǒng)恢復(fù)原來狀態(tài)，在這個過程中系統(tǒng)對環(huán)境作負功?？ㄖZ循環(huán)可以想象為是工作與兩個恒溫?zé)嵩粗g的準靜態(tài)過程，其高溫?zé)嵩吹臏囟葹?1，低溫?zé)嵩吹臏囟葹?。這一概念是1824 年卡諾在對熱機的最大可能效 率問題作理論研究時提出的?？ㄖZ假設(shè)工作物質(zhì)只與兩個恒溫?zé)嵩唇粨Q熱量，沒有散熱、漏氣、摩擦等損耗。為使過程是準靜態(tài)過程，工作物質(zhì)從高溫?zé)嵩次鼰釕?yīng)是無溫度差的等溫膨脹過程，同樣，向低溫?zé)嵩捶艧釕?yīng)是等溫壓縮過程。因限制只與兩熱源交換熱量，脫離熱源后只能是絕熱過程。作卡諾循環(huán)的熱機叫做 卡諾熱機 1 。原理卡諾循環(huán)的效率通過熱力學(xué)相關(guān)定理我們可以得出，卡諾循環(huán)的效率c1-2/ 1，由此可以看出，僅供學(xué)習(xí)與交流，如有侵權(quán)請聯(lián)系網(wǎng)站刪除謝謝 3精品資料卡諾循環(huán)卡諾循環(huán)的效率只與兩個熱源的熱力學(xué)溫度有關(guān)，如果高溫?zé)嵩吹臏囟? 愈高，低溫?zé)嵩吹臏囟? 愈低，則卡諾循環(huán)的效率愈高。因為不能獲得1的高溫?zé)嵩椿?2=0K（-273）的低溫?zé)嵩?，所以，卡諾循環(huán)的效率必定小于1。任何工作物質(zhì)作卡諾循環(huán)，其效率都一致可以證明，以任何工作物質(zhì)作卡諾循環(huán)，其效率都一致；還可以證明，所有實際循環(huán)的效率都低于同樣條件下卡諾循環(huán)的效率，也就是說，如果高溫?zé)嵩春偷蜏責(zé)嵩吹臏囟却_定之后，卡諾循環(huán)的效率是在它們之間工作的一切熱機的最高效率界限。因此，提高熱機的效率，應(yīng)努力提高高溫?zé)嵩吹臏囟群徒档偷蜏責(zé)嵩吹臏囟?，低溫?zé)嵩赐ǔＪ侵車h(huán)境，降低環(huán)境的溫度難度大、成本僅供學(xué)習(xí)與交流，如有侵權(quán)請聯(lián)系網(wǎng)站刪除謝謝 4精品資料高，是不足取的辦法?，F(xiàn)代熱電廠盡量提高水蒸氣的溫度，使用過熱蒸汽推動汽輪機，正是基于這個道理。提高熱機效率的方向卡諾定理闡明了熱機效率的限制，指出了提高熱機效率的方向（提高T1，降低 T3，減少散熱、漏氣、摩擦等不可逆損耗，使循環(huán)盡量接近卡諾循環(huán)）。成為熱機研究的理論依據(jù)、熱機效率的限制。實際熱力學(xué)過程的不可逆性及其間聯(lián)系的研究，導(dǎo)致熱力學(xué)第二定律的建立。在卡諾定理基礎(chǔ)上建立的與測溫物質(zhì)及測溫屬性無關(guān)的絕對熱力學(xué)溫標，使溫度測量建立在客觀的基礎(chǔ)之上。此外，應(yīng)用卡諾循環(huán)和卡諾定理，還可以研究表面張力、飽和蒸氣壓與溫度的關(guān)系及可逆電池的電動勢等。還應(yīng)強調(diào)，卡諾這種撇開具體裝置和具體工作物質(zhì)的抽象而普遍的理論研究，已經(jīng)貫穿在整個熱力學(xué)的研究之中?？ㄖZ循環(huán)正文由兩個定溫過程和兩個絕熱過程（見熱力過程）所組成的可逆的熱力循環(huán)。卡諾循環(huán)是19 世紀法國工程師S.卡諾提出的，因而得名。卡諾循環(huán)分正、僅供學(xué)習(xí)與交流，如有侵權(quán)請聯(lián)系網(wǎng)站刪除謝謝 5精品資料逆兩種。在壓 -容(p-V) 圖和溫 -熵(T-S)圖中（見圖） , -b-c-d-為正卡諾循環(huán)， -b 為可逆定溫吸熱過程，工質(zhì)在溫度T1 下從相同溫度的高溫?zé)嵩次霟崃縌1；b-c 為可逆絕熱過程 ,工質(zhì)溫度自 T1 降為 T2； c-d 為可逆定溫放熱過程，工質(zhì)在溫度 T2 下向相同溫度的低溫?zé)嵩磁欧艧崃縌2；d-為可逆絕熱過程 ,工質(zhì)溫度自T2 升高到 T1，完成一個可逆循環(huán) ,對外作出凈功 W 。逆卡諾循環(huán)與上述正向循環(huán)反向 ,沿 -d-c-b-方向 ,因而 Q2 是工質(zhì)從低溫?zé)嵩次氲臒崃?通稱制冷量 ),Q1是工質(zhì)排放給高溫?zé)嵩吹臒崃?W 是完成逆向循環(huán)所需的外界輸入的凈功。正卡諾循環(huán) 的熱經(jīng)濟指標用卡諾循環(huán)熱效率t表示正卡諾循環(huán)逆卡諾循環(huán) 的熱經(jīng)濟指標用卡諾制冷系數(shù)表示或用卡諾供暖系數(shù)表示逆卡諾循環(huán)根據(jù)熱力學(xué)第二定律，在相同的高、低溫?zé)嵩礈囟萒1 與 T2 之間工作的一切循環(huán)中 ,以卡諾循環(huán)的熱效率為最高，稱為卡諾定理?？ㄖZ循環(huán)具有極為重要的理論和實際意義。雖然，完全按照卡諾循環(huán)工作的裝置是難以實現(xiàn)的，但是卡諾循環(huán)卻為提高各種循環(huán)熱效率指明了方向和給出了極限值。創(chuàng)建背景19 世紀初，蒸汽機在工業(yè)、交通運輸中的作用越來越重要，但關(guān)于控制蒸汽機把熱轉(zhuǎn)變?yōu)闄C械運動的各種因素的理論卻未形成。法國軍事工程師薩迪?卡諾（ S Carnot，17961832）于 1824 年出版了 關(guān)于火的動力的思考一僅供學(xué)習(xí)與交流，如有侵權(quán)請聯(lián)系網(wǎng)站刪除謝謝 6精品資料書，總結(jié)了他早期的研究成果。卡諾以找出熱機不完善性的原因作為研究的出發(fā)點，闡明從熱機中獲得動力的條件就能夠改進熱機的效率?？ㄖZ分析了蒸汽機的基本結(jié)構(gòu)和工作過程，撇開一切次要因素，由理想循環(huán)卡諾循環(huán)入手， 以普遍理論的形式，作出關(guān)于消耗熱而得到機械功的結(jié)論。他指出，熱機必須在高溫?zé)嵩春偷蜏責(zé)嵩粗g工作，“凡是有溫度差的地方就能夠產(chǎn)生動力；反之，凡能夠消耗這個力的地方就能夠形成溫度差，就可能破壞熱質(zhì)的平衡。 ”他構(gòu)造了在加熱器與冷凝器之間的一個理想循環(huán)：汽缸與加熱器相連，汽缸內(nèi)的工作物質(zhì)水和飽和蒸汽就與加熱器的溫度相同，汽缸內(nèi)的蒸汽如此緩慢地膨脹著，以致在整個過程中，蒸汽和水都處于熱平衡。然后使汽缸與加熱器隔絕，蒸汽絕熱膨脹到溫度降至與冷凝器的溫度相同為止。然后活塞緩慢壓縮僅供學(xué)習(xí)與交流，如有侵權(quán)請聯(lián)系網(wǎng)站刪除謝謝 7精品資料蒸汽，經(jīng)過一段時間后汽缸與冷凝器脫離，作絕熱壓縮直到回復(fù)原來的狀態(tài)。這是由兩個等溫過程和兩個絕熱過程組成的循環(huán)，即后來所稱的“卡諾循環(huán) ”?？ㄖZ根據(jù)熱質(zhì)守恒思想和永動機不可能制成的原理，進一步證明了在相同溫度的高溫?zé)嵩春拖嗤瑴囟鹊牡蜏責(zé)嵩粗g工作的一切實際熱機，其效率都不會大于在同樣的熱源之間工作的可逆卡諾熱機的效率?？ㄖZ由此推斷：理想的可逆卡諾熱機的效率有一個極大值，這個極大值僅由加熱器和冷凝器的溫度決定，一切實際熱機的效率都低于這個極值?？ㄖZ意義卡諾的研究具有多方面的意義。他的工作為提高熱機效率指明了方向；他的結(jié)論已經(jīng)包含了熱力學(xué)第二定律的基本思想，只是熱質(zhì)觀念的阻礙，他未能完全探究到問題的最終答案。由于卡諾英年早逝，他的工作很快被人遺忘。后來，由于法國工程師克拉珀瓏（B PEClapeyron， 1799 1864）在 1834 年的重新研究和發(fā)展，卡諾的理論才為人們所注意?？死戥噷⒖ㄖZ循環(huán)在一種“壓（力） -容（積）圖 ”上表示出來，并證明卡諾熱機在一次循環(huán)中所做的功，其數(shù)值恰好等于循環(huán)曲線所圍的面積。克拉珀瓏的工作為卡諾理論的進一步發(fā)展創(chuàng)造了條件。名詞解釋：卡諾熱機 1卡諾熱機他是最省能量的熱機，但僅是理論上能實現(xiàn)。第一階段，溫度為的等溫膨脹過程，系統(tǒng)從高溫?zé)嵩次諢崃浚坏诙A段，絕熱膨脹過程，系統(tǒng)溫度從降到；第三階段，溫度為的等溫壓縮過程，系統(tǒng)把熱量釋放給低溫?zé)嵩?；僅供學(xué)習(xí)與交流，如有侵權(quán)請聯(lián)系網(wǎng)站刪除謝謝 8精品資料第四階段，絕熱壓縮過程，系統(tǒng)溫度從升高到。他研究的結(jié)論，就是人們總結(jié)的卡諾定理，其核心內(nèi)容是：在相同高溫?zé)嵩磁c相同低溫?zé)嵩粗g工作的一切可逆卡諾熱機效率相同（在實現(xiàn)熱的動力過程中，不存在任何不是由于體積變化而引起的溫度變化的熱機）。學(xué)物理者必知的邏輯證明卡諾定理及熱力學(xué)第二定律錯誤源自科技創(chuàng)新導(dǎo)報2010 年 25 期10 頁。本文旨在探索沒有任何假設(shè)條件下，認識物質(zhì)的物理規(guī)律時如何遵守邏輯規(guī)則推理形成正確結(jié)論，今后不被證明存在錯誤。亞里士多德物理學(xué)關(guān)于重物下落更快的理論存在一千多年后，某一天被伽里略是用一根繩子鏈接輕重物體時，推證亞里士多德的物理學(xué)錯誤。我做了一個試驗：用兩個乒乓球，一個注滿水，一個是空的，然后同時從高處落下，現(xiàn)象確實是重的下落更快。說明伽里略的發(fā)現(xiàn)并沒有改變現(xiàn)象，伽里略和亞里士多德都看見了重物下落更快的。但是現(xiàn)象還不是科學(xué)，亞里士多德的錯誤屬于物理學(xué)錯誤。卡諾定理存在同樣的嚴重缺陷 我們發(fā)現(xiàn)卡諾熱機的內(nèi)部熱容可以任意改變，新型理想熱機是在卡諾熱機的內(nèi)部增加了固體物質(zhì)的熱機，因此可以隨意改變卡諾熱機的內(nèi)部熱容，對它的循環(huán)工作進行分析發(fā)現(xiàn)最高理想工作效率大于 ，這樣邏輯推理就能證明卡諾定理錯誤。不要因為看見了熱從高溫向低溫流動的現(xiàn)象就認為熱力學(xué)第二定律成立?？ㄖZ熱機的循環(huán)過程中其內(nèi)部熱容只有二種變化情形：卡諾熱機的恒溫膨脹或壓縮過程其實就是讓卡諾熱機的熱容變?yōu)闊o窮大的一種情形，而絕熱膨脹或壓縮過程就是讓它的熱容變?yōu)樽钚〉囊环N情形。在卡諾熱機的內(nèi)部加入固體僅供學(xué)習(xí)與交流，如有侵權(quán)請聯(lián)系網(wǎng)站刪除謝謝 9精品資料物質(zhì)后產(chǎn)生了隨意改變它的熱容的新情形。實際上就使得絕熱過程從始態(tài)到終態(tài)的 PV 線可以被任意改變，據(jù)此可知在不留下痕跡時熱機效率可以大于。分析首次發(fā)現(xiàn)了自然界還存在一個熱動力原理。如果一個理論在邏輯形式上表達出現(xiàn)錯誤，那就難以成立。名詞解釋：熱力學(xué)第二定律熱力學(xué)第二定律科技名詞定義中文名稱：熱力學(xué)第二定律英文名稱： second law of thermodynamics定義：不可能把熱從低溫物體傳到高溫物體而不產(chǎn)生其他影響；不可能從單一熱源取熱使之完全轉(zhuǎn)換為有用的功而不產(chǎn)生其他影響；不可逆熱力過程中熵的微增量總是大于零。僅供學(xué)習(xí)與交流，如有侵權(quán)請聯(lián)系網(wǎng)站刪除謝謝 10精品資料熱力學(xué)第二定律 ，熱力學(xué)基本定律之一，內(nèi)容為不可能把熱從低溫物體傳到高溫物體而不產(chǎn)生其他影響；不可能從單一熱源取熱使之完全轉(zhuǎn)換為有用的功而不產(chǎn)生其他影響；不可逆熱力過程中熵的微增量總是大于零。概述 /定義英文翻譯： the second law of thermodynamics不可能把熱量從低溫物體傳向高溫物體而不引起其它變化。 不可能從單一熱源取熱，使之完全變?yōu)楣Χ灰鹌渌兓?這是從能量消耗的角度說的,它說明第二類永動機是不可能實現(xiàn)的）。說明熱力學(xué)第二定律熱力學(xué)第二定律是熱力學(xué)的基本定律之一，是指熱永遠都只能由熱處轉(zhuǎn)到冷處 (在自然狀態(tài)下 )。它是關(guān)于在有限空間和時間內(nèi)，一切和熱運動有關(guān)的物理、化學(xué)過程具有不可逆性的經(jīng)驗總結(jié)。上述 (1)中 的講法是克勞修斯 (Clausius)在 1850 年提出的。 的講法是開爾文于 1851 年提出的。這些表述都是等效的。在 的講法中，指出了在自然條件下熱量只能從高溫物體向低溫物體轉(zhuǎn)移，而不能由低溫物體自動向高溫物體轉(zhuǎn)移，也就是說在自然條件下，這個轉(zhuǎn)變過程是不可逆的。要使熱傳遞方向倒轉(zhuǎn)過來，只有靠消耗功來實現(xiàn)。在 的講法中指出，自然界中任何形式的能都會很容易地變成熱，而反過來熱卻不能在不產(chǎn)生其他影響的條件下完全變成其他形式的能，從而說明了這種轉(zhuǎn)變在自然條件下也是不可逆的。熱機能連續(xù)不斷地將熱變?yōu)闄C械功1 ，一定伴隨有熱量的損失。第二定律和第一定律不同，第一定律否定了創(chuàng)造能量和僅供學(xué)習(xí)與交流，如有侵權(quán)請聯(lián)系網(wǎng)站刪除謝謝 11精品資料消滅能量的可能性，第二定律闡明了過程進行的方向性，否定了以特殊方式利用能量的可能性。 人們曾設(shè)想制造一種能從單一熱源取熱，使之完全變?yōu)橛杏霉Χ划a(chǎn)生其他影響的機器，這種空想出來的熱機叫第二類永動機。它并不違反熱力學(xué)第一定律，但卻違反熱力學(xué)第二定律。有人曾計算過，地球表面有10 億立方千米的海水，以海水作單一熱源，若把海水的溫度哪怕只降低O.25 度，放出熱量，將能變成一千萬億度的電能足夠全世界使用一千年。但只用海洋做為單一熱源的熱機是違反上述第二種講法的，因此要想制造出熱效率為百分之百的熱機是絕對不可能的。從分子運動論的觀點看，作功是大量分子的有規(guī)則運動，而熱運動則是大量分子的無規(guī)則運動。顯然無規(guī)則運動要變?yōu)橛幸?guī)則運動的幾率極小，而有規(guī)則的運動變成無規(guī)則運動的幾率大。一個不受外界影響的孤立系統(tǒng)，其內(nèi)部自發(fā)的過程總是由幾率小的狀態(tài)向幾率大的狀態(tài)進行，從此可見熱是不可能自發(fā)地變成功的。熱力學(xué)第二定律只能適用于由很大數(shù)目分子所構(gòu)成的系統(tǒng)及有限范圍內(nèi)的宏觀過程。而不適用于少量的微觀體系，也不能把它推廣到無限的宇宙。根據(jù)熱力學(xué)第零定律 ，確定了態(tài)函數(shù) 溫度；根據(jù)熱力學(xué)第一定律 ，確定了態(tài)函數(shù) 內(nèi)能和焓；根據(jù)熱力學(xué)第二定律，也可以確定一個新的態(tài)函數(shù) 熵?？梢杂渺貋韺Φ诙勺鞫康谋硎觥崃W(xué)第二定律過程僅供學(xué)習(xí)與交流，如有侵權(quán)請聯(lián)系網(wǎng)站刪除謝謝 12精品資料第二定律指出在自然界中任何的過程都不可能自動地復(fù)原，要使系統(tǒng)從終態(tài)回到初態(tài)必需借助外界的作用，由此可見，熱力學(xué)系統(tǒng)所進行的不可逆過程的初態(tài)和終態(tài)之間有著重大的差異，這種差異決定了過程的方向，人們就用態(tài)函數(shù)熵來描述這個差異，從理論上可以進一步證明：可逆絕熱過程 Sf=Si，不可逆絕熱過程 Sf>Si，式中 Sf 和 Si 分別為系統(tǒng)的最終和最初的熵。也就是說，在孤立系統(tǒng)內(nèi)對可逆過程，系統(tǒng)的熵總保持不變；對不可逆過程，系統(tǒng)的熵總是增加的。這個規(guī)律叫做熵增加原理 。這也是熱力學(xué)第二定律的又一種表述。熵的增加表示系統(tǒng)從幾率小的狀態(tài)向幾率大的狀態(tài)演變，也就是從比較有規(guī)則、有秩序的狀態(tài)向更無規(guī)則，更無秩序的狀態(tài)演變。熵體現(xiàn)了系統(tǒng)的統(tǒng)計性質(zhì)。條件第二定律在有限的宏觀系統(tǒng)中也要保證如下條件：1、該系統(tǒng)是線性的；2、該系統(tǒng)全部是各向同性的。另外有部分推論很有意思：比如熱輻射：恒溫黑體腔內(nèi)任意位置及任意波長的輻射強度都相同，且在加入任意光學(xué)性質(zhì)的物體時，腔內(nèi)任意位置及任意波長的輻射強度都不變。熱力學(xué)第二定律與時間的單方向性所有不涉及熱現(xiàn)象的物理規(guī)律均時間反演對稱, 它們沒有對時間的方向作出規(guī)定 . 所謂時間反演 , 通俗地講就是時光倒流 ; 而物理定律時間反演對稱則指, 經(jīng)僅供學(xué)習(xí)與交流，如有侵權(quán)請聯(lián)系網(wǎng)站刪除謝謝 13精品資料過時間反演后 , 該定律依然成立 .以牛頓定律為例 , 它是時間反演對稱的 . 不妨考察自由落體運動 : 一物體由靜止開始 , 在重力作用下自由下落 , 其初速度V(0)=0, 加速度 a=g, 設(shè)其末速度為 V(t), 下落高度為 h. 現(xiàn)進行時間反演 , 則有其初速度 V'(0)=-V(t), 加速度 a'=g, 末速度 V'(t)=V(0), 上升高度為 h, 易證這依然滿足牛頓定律 .但熱現(xiàn)象則不同 , 一杯水初始溫度等于室溫, 為 T(0), 放在點燃酒精燈上 , 從酒精燈火焰吸收熱量Q 后溫度為 T(t). 現(xiàn)進行時間反演 , 則是水的初溫為 T'(0)=T(t), 放在點燃酒精燈上 , 放出熱量 Q 給酒精燈火焰 , 自身溫度降為T'(t)=T(0). 顯然這違背了熱力學(xué)第二定律關(guān)于熱量只能從高溫物體傳向低溫物體的陳述 . 故熱力學(xué)第二定律禁止時間反演. 在第一個例子中 , 如果考慮到空氣阻力 ,時間反演后也會與理論相悖, 原因在于空氣阻力做功產(chǎn)生了熱。熱力學(xué)第二定律單方性熱力學(xué)第二定律體現(xiàn)了客觀世界時間的單方向性, 這也正是熱學(xué)的特殊性所在 .熱力學(xué)第二定律是熱力學(xué)定律之一，是指熱永遠都只能由熱處轉(zhuǎn)到冷處。1824 年法國工程師薩迪 ·卡諾提出了卡諾定理，德國人克勞修斯（RudolphClausius）和英國人開爾文（ Lord Kelvin ）在熱力學(xué)第一定律建立以后重新審查了卡諾定理，意識到卡諾定理必須依據(jù)一個新的定理，即熱力學(xué)第二定律。他們分別于 1850 年和 1851 年提出了克勞修斯表述和開爾文表述。這兩種表述在理念上是相通的。近年來對熱力學(xué)第二定律的質(zhì)疑僅供學(xué)習(xí)與交流，如有侵權(quán)請聯(lián)系網(wǎng)站刪除謝謝 14精品資料熱力學(xué)第二定律是建立在對實驗結(jié)果的觀測和總結(jié)的基礎(chǔ)上的定律。雖然在過去的一百多年間未發(fā)現(xiàn)與第二定律相悖的實驗現(xiàn)象，但始終無法從理論上嚴謹?shù)刈C明第二定律的正確性。自1993 年以來， Denis J.Evans等學(xué)者在理論上對熱力學(xué)第二定律產(chǎn)生了質(zhì)疑，從統(tǒng)計熱力學(xué)的角度發(fā)表了一些關(guān)于“熵的漲落“的理論，比如其中比較重要的FT 理論 2 。而后等人于 2002 在Physical Review Letters上發(fā)表了題為小系統(tǒng)短時間內(nèi)有悖熱力學(xué)第二定律的實驗證明 3 。從實驗觀測的角度證明了在一定條件下熱，孤立系統(tǒng)的自發(fā)熵減反應(yīng)是有可能發(fā)生的。雖然這些新的發(fā)現(xiàn)不至于影響到現(xiàn)存熱力學(xué)的應(yīng)用，但必然將對未來熱力學(xué)的研究產(chǎn)生一定的影響。僅供學(xué)習(xí)與交流，如有侵權(quán)請聯(lián)系網(wǎng)站刪除謝謝 15