第七節(jié)數(shù)學(xué)歸納法及其應(yīng)用第七節(jié)數(shù)學(xué)歸納法及其應(yīng)用1數(shù)學(xué)歸納法數(shù)學(xué)歸納法證明一個與正整數(shù)證明一個與正整數(shù)n有關(guān)的命題，可按下列步驟進(jìn)行：有關(guān)的命題，可按下列步驟進(jìn)行：(1)(歸納奠基歸納奠基)證明當(dāng)證明當(dāng)n取取_時命題成立；時命題成立；(2)(歸納遞推歸納遞推)假設(shè)假設(shè)nk(kn0，kN*)時命題成立，證明當(dāng)時命題成立，證明當(dāng)_時命題成立時命題成立只要完成這兩個步驟，就可以斷定命題對從只要完成這兩個步驟，就可以斷定命題對從n0開始的所有正整開始的所有正整數(shù)數(shù)n都成立都成立第一個值第一個值n0(n0N*)nk12數(shù)學(xué)歸納法的框圖表示數(shù)學(xué)歸納法的框圖表示1數(shù)學(xué)歸納法的第一步數(shù)學(xué)歸納法的第一步n取第一個值取第一個值n0(nN*)是否一定為是否一定為1呢？呢？【提示】【提示】不一定不一定n0的取值應(yīng)取命題成立的第的取值應(yīng)取命題成立的第1個值，不一個值，不一定是定是1.2數(shù)學(xué)歸納法的兩個步驟的作用分別是什么？數(shù)學(xué)歸納法的兩個步驟的作用分別是什么？【提示】【提示】數(shù)學(xué)歸納法中兩個步驟體現(xiàn)了遞推思想，第一步是數(shù)學(xué)歸納法中兩個步驟體現(xiàn)了遞推思想，第一步是遞推基礎(chǔ)，也叫歸納奠基，第二步是遞推的依據(jù)，也叫歸納遞遞推基礎(chǔ)，也叫歸納奠基，第二步是遞推的依據(jù)，也叫歸納遞推兩者缺一不可另外，在第二步中證明推兩者缺一不可另外，在第二步中證明nk1時命題成時命題成立，必須利用歸納假設(shè)，否則就不是數(shù)學(xué)歸納法立，必須利用歸納假設(shè)，否則就不是數(shù)學(xué)歸納法 【解析】【解析】三角形是邊數(shù)最少的凸多邊形，三角形是邊數(shù)最少的凸多邊形，故第一步應(yīng)檢驗故第一步應(yīng)檢驗n3.【答案】【答案】C【解析】【解析】k為偶數(shù)，則為偶數(shù)，則k2為偶數(shù)，選為偶數(shù)，選B.【答案】【答案】B【答案】【答案】C【思路點撥】【思路點撥】(1)第一步驗證第一步驗證n1時等式成立時等式成立(2)第二步假設(shè)第二步假設(shè)nk(kN*)時等式成立，證明時等式成立，證明nk1時，等式時，等式成立成立用數(shù)學(xué)歸納法證明等式用數(shù)學(xué)歸納法證明等式 1用數(shù)學(xué)歸納法證明等式問題，首先應(yīng)弄清等式的結(jié)構(gòu)特征，用數(shù)學(xué)歸納法證明等式問題，首先應(yīng)弄清等式的結(jié)構(gòu)特征，即弄清等式兩邊的構(gòu)成規(guī)律，等式兩邊各有多少項，初始值即弄清等式兩邊的構(gòu)成規(guī)律，等式兩邊各有多少項，初始值n0是多少是多少2用數(shù)學(xué)歸納法證明等式的關(guān)鍵是由用數(shù)學(xué)歸納法證明等式的關(guān)鍵是由nk時命題成立，遞推時命題成立，遞推出出nk1時，命題也成立，為此可寫出目標(biāo)式時，命題也成立，為此可寫出目標(biāo)式nk1時，時，命題是什么，并找出與命題是什么，并找出與nk時，命題的差別，明確變形的目時，命題的差別，明確變形的目標(biāo)，充分利用假設(shè)，進(jìn)行合理變形，正確寫出證明過程標(biāo)，充分利用假設(shè)，進(jìn)行合理變形，正確寫出證明過程用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式 當(dāng)當(dāng)nk1時，不等式成立，時，不等式成立，根據(jù)根據(jù)(1)，(2)知不等式對知不等式對nN*都成立都成立1用數(shù)學(xué)歸納法證明與用數(shù)學(xué)歸納法證明與n有關(guān)的不等式一般有兩種形式：一有關(guān)的不等式一般有兩種形式：一是直接給出不等式，按要求進(jìn)行證明；二是給出兩個式子，按是直接給出不等式，按要求進(jìn)行證明；二是給出兩個式子，按要求比較它們的大小對第二類形式往往要先對要求比較它們的大小對第二類形式往往要先對n取前幾個值取前幾個值的情況分別驗證比較，猜想出結(jié)論，并用數(shù)學(xué)歸納法證明的情況分別驗證比較，猜想出結(jié)論，并用數(shù)學(xué)歸納法證明2用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的關(guān)鍵是由用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的關(guān)鍵是由nk時命題成立得時命題成立得nk1時命題也成立，在歸納假設(shè)使用后可運用比較法、綜合時命題也成立，在歸納假設(shè)使用后可運用比較法、綜合法、分析法、放縮法等來加以證明法、分析法、放縮法等來加以證明【思路點撥】【思路點撥】根據(jù)求出的前根據(jù)求出的前n項，抽象出一般性的規(guī)律，然項，抽象出一般性的規(guī)律，然后利用數(shù)學(xué)歸納法證明后利用數(shù)學(xué)歸納法證明歸納歸納猜想猜想證明證明 1猜想猜想an的通項公式是一個由特殊到一般的過程，通過計的通項公式是一個由特殊到一般的過程，通過計算算a1，a2，a3發(fā)現(xiàn)規(guī)律，有時可能要多算幾項才行發(fā)現(xiàn)規(guī)律，有時可能要多算幾項才行2“歸納歸納猜想猜想證明證明”的模式，是不完全歸納法與數(shù)學(xué)歸納的模式，是不完全歸納法與數(shù)學(xué)歸納法綜合應(yīng)用的解題模式，這種方法在解決探索性問題、存在性法綜合應(yīng)用的解題模式，這種方法在解決探索性問題、存在性問題時起著重要作用，它的模式是先由合情推理發(fā)現(xiàn)結(jié)論，然問題時起著重要作用，它的模式是先由合情推理發(fā)現(xiàn)結(jié)論，然后經(jīng)邏輯推理證明結(jié)論的正確性，這種思維方式是推動數(shù)學(xué)研后經(jīng)邏輯推理證明結(jié)論的正確性，這種思維方式是推動數(shù)學(xué)研究和發(fā)展的重要方式究和發(fā)展的重要方式從近兩年的高考試題來看，用數(shù)學(xué)歸納法證明與正整數(shù)從近兩年的高考試題來看，用數(shù)學(xué)歸納法證明與正整數(shù)有關(guān)的命題以及與數(shù)列有關(guān)的命題是高考的熱點，題型為解答有關(guān)的命題以及與數(shù)列有關(guān)的命題是高考的熱點，題型為解答題，主要考查用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)學(xué)命題的能力，分析問題、題，主要考查用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)學(xué)命題的能力，分析問題、解決問題的能力，難度為中、高檔在求解時，應(yīng)注意答題步解決問題的能力，難度為中、高檔在求解時，應(yīng)注意答題步驟的規(guī)范化驟的規(guī)范化(12分分)(2012汕尾模擬汕尾模擬)已知已知ABC的三邊長是有理數(shù)的三邊長是有理數(shù)(1)求證：求證：cos A都是有理數(shù)；都是有理數(shù)；(2)求證：對任意正整數(shù)求證：對任意正整數(shù)n，cos nA是有理數(shù)是有理數(shù)規(guī)范解答之十一巧用數(shù)學(xué)歸納法證明三角問題規(guī)范解答之十一巧用數(shù)學(xué)歸納法證明三角問題(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明用數(shù)學(xué)歸納法證明cos nA和和sin Asin nA都是有理數(shù)都是有理數(shù)當(dāng)當(dāng)n1時，由時，由(1)知知cos A是有理數(shù)，是有理數(shù)，從而有從而有sin Asin A1cos 2A也是有理數(shù)也是有理數(shù).6分分假設(shè)當(dāng)假設(shè)當(dāng)nk(k1)時，時，cos kA和和sin Asin kA是有理數(shù)當(dāng)是有理數(shù)當(dāng)nk1時，則時，則cos (k1)Acos Acos kAsin Asin kA，sin Asin (k1)Asin A(sin Acos kAcos Asin kA)(sin Asin A)cos kA(sin Asin kA)cos A，10分分由由和歸納假設(shè)，知和歸納假設(shè)，知cos (k1)A與與sin Asin (k1)A都是有理都是有理數(shù)即當(dāng)數(shù)即當(dāng)nk1時，結(jié)論成立時，結(jié)論成立綜合綜合、可知，對任意正整數(shù)可知，對任意正整數(shù)n，cos nA是有理數(shù)是有理數(shù).12分分【解題程序】【解題程序】第一步：利用余弦定理證明第一步：利用余弦定理證明cos A是有理數(shù)；是有理數(shù)；第二步：證明第二步：證明n1時，時，cos nA，sin Asin nA是有理數(shù)；是有理數(shù)；第三步：假設(shè)第三步：假設(shè)nk時，時，cos kA，sin Asin kA是有理數(shù)；證明是有理數(shù)；證明nk1時，時，cos(k1)A是有理數(shù)是有理數(shù)易錯提示：易錯提示：(1)不能將不能將cos A與三角形邊長聯(lián)系起來，無法證明與三角形邊長聯(lián)系起來，無法證明第第(1)小題；小題；(2)在用數(shù)學(xué)歸納法證明第在用數(shù)學(xué)歸納法證明第(2)小題時，對小題時，對sin Asin kA束手無策，思維受阻，無法求解束手無策，思維受阻，無法求解防范措施：防范措施：(1)角角A是是ABC的內(nèi)角，且的內(nèi)角，且ABC的三邊長是有理的三邊長是有理數(shù)，可聯(lián)想到用邊長表示數(shù)，可聯(lián)想到用邊長表示cos A，即余弦定理，即余弦定理(2)在證明在證明cos(k1)A是有理數(shù)時，需要用到結(jié)論是有理數(shù)時，需要用到結(jié)論“sin Asin kA是有理數(shù)是有理數(shù)”，但此結(jié)論需要證明，但此結(jié)論需要證明【解析】【解析】當(dāng)當(dāng)nk時，左邊時，左邊123k2，當(dāng)當(dāng)nk1時，左邊時，左邊123k2(k21)(k22)(k1)2，選，選D.【答案】【答案】D2(2012珠海模擬珠海模擬)在數(shù)列在數(shù)列an，bn中，中，a12，b14，且，且an，bn，an1成等差數(shù)列，成等差數(shù)列，bn，an1，bn1成等比數(shù)列成等比數(shù)列(nN*)，求，求a2，a3，a4及及b2，b3，b4，由此猜測，由此猜測an，bn的通項公式，并的通項公式，并證明你的結(jié)論證明你的結(jié)論